Ovom aktivnošću možete provjeriti razumiju li učenici pojam intervala i znaju li prepoznati isti skup brojeva prikazan na različite načine.

Pitajte učenike kako bi intervalom zapisali npr. dob u kojoj je u Hrvatskoj dopušteno upravljati automobilom, moguće temperature na Zemlji, mogući udio voća u soku i sl.

Neka zatim pristupe Desmos aktivnosti Iz istog intervala, u kojoj trebaju grupirati kartice na kojima je prikazan isti skup brojeva (ili izjava koja je istinita za taj skup). Učenici aktivnosti pristupaju na poveznici upisujući razredni kod (Class Code) koji generirate prijavom u Desmos. Na kraju aktivnosti učenici trebaju za zadani interval osmisliti kontekst i zapisati ga svakodnevnim (nematematičkim) jezikom (primjerice za interval [0.2,1] netko može napisati „Dnevno popijem između 0.2 i 1 litre mlijeka.“). Učenici će vidjeti što su drugi smislili i uvidjeti da se brojni podatci i veličine iz našeg svakodnevnog života mogu prikazati intervalima.

Postupci potpore

U prvome dijelu aktivnosti vrlo je važno potaknuti učenike na iznošenje više primjera intervala iz vlastitog života kako bi se dobro pripremili za drugi dio aktivnosti. Osim davanja upute za uporabu alata (verbalno, demonstracijom i pokusnim zadatcima), zadatke je potrebno prilagoditi tako da predvidite koliko je kartica primjereno za konkretnog učenika s teškoćama, trebaju li kartice (font) biti veće te kakvi zadatci trebaju biti s obzirom na težinu. Dobro je navesti zorne primjere kako bi učenici imali predložak za rješavanje zadatka. Preporučuje se zadavati zadatke po načelu lakši – teži – lakši.

Učenici ovom brzom igrom u Geogebrinu apletu mogu uvježbati rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom.

Učenike razgovorom navedite na zaključak što je rješenje sustava linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom i kako bi postupak rješavanja trebao teći. Motivirajte ih jednostavnim primjerom iz svakodnevnice, npr. Najjeftinije tenisice u trgovini stoje 159,99 kn. Imate ušteđeno 500,00 kn. Iz kojeg cjenovnog intervala možete kupiti tenisice?Osvijestite učenike da se radi o rješavanju sustava dviju nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Riješite zajedno jedan složeniji primjer, a zatim podijelite učenike u parove kako bi naučeno uvježbali. Podijelite parovima nastavni listić u kojem će voditi evidenciju sustava i njihovih rješenja. Listić izradite u tablici u nekom programu za obradu teksta, primjerice Word. Svaki učenik, uz pomoć skraćene poveznice, neka otvori Geogebrin applet Moja linearna nejednadžba, koji nasumično prikazuje jednu od 40 linearnih nejednadžbi. Nejednadžbe učenika koji čine par čine sustav. Zadatak je svakoga para riješiti dobiveni sustav – na nastavni listić neka učenici upisuju oznake svojih nejednadžbi i rješenje tako dobivenog sustava. Zatim svaki učenik klikom na gumb Nova nejednadžba dobiva sljedeću nejednadžbu (nasumično) i nastavlja s rješavanjem novoga sustava dviju linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Cilj je igre točno riješiti što više sustava u zadanom vremenu. Najuspješniji par možete nagraditi. Predložite parovima da svatko riješi svoju nejednadžbu, a da zatim zajedno utvrde što je rješenje sustava. Nakon isteka vremena parovi neka vam vrate nastavne listiće. Točnost rješenja utvrdite uz pomoć Geogebrina apleta Sustav dviju linearnih nejednadžbi – rješenja, upisivanjem oznaka nejednadžbi. Zatim učenike podijelite u trojke i svakoj skupini dajte novi nastavni listić. Svakom učeniku iz skupine Geogebrin aplet Moja linearna nejednadžba dodjeljuje jednu nejednadžbu. Te tri nejednadžbe čine sustav. Na jednak način, u zadanom vremenu, skupine trebaju riješiti što više sustava triju linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. Na listić upisuju oznake nejednadžbi kako biste Geogebrinim apletom Sustav triju linearnih nejednadžbi – rješenja mogli provjeriti rješenja i proglasiti pobjednike.

Nakon predaje listića porazgovarajte s učenicima kako im je bilo na takav način rješavati sustave, na kakve su probleme nailazili, kako su surađivali itd.

Postupci potpore

U uvodnom dijelu aktivnosti potrebno je temeljito ponoviti način rješavanja sustava linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom. To učinite uz pomoć jednostavnog primjera s malim brojevima. Neka taj primjer (postupak rješavanja) učenicima bude na raspolaganju tijekom igranja igre. Budući da igra ima zadan vremenski okvir u kojem treba riješiti što više zadataka, nastavni listić koji će uz pomoć QR koda otvoriti učenik s teškoćama može sadržavati zadatke koji su jednim dijelom već riješeni. Za učenike oštećena vida potrebno je napisati jednadžbe Brailleovim pismom, a rješenja svojih jednadžbi mogu pročitati svojem paru, koji će ih upisati u tablicu. S obzirom na to da je u aktivnosti zadano vrijeme za rješavanje zadataka, učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju i učenicima s poremećajem pažnje dajte zadatke koje će doista moći riješiti u zadanom vremenu, inače nećete postići efekt poučavanja kroz igru i natjecanje.

U aktivnosti učenici umjesto rješavanja problema kreću od zadanih nejednadžbi i pokušavaju kreirati tekstualni zadatak koji odgovara toj situaciji.

Koristeći se alatom Padlet objavite nekoliko sustava nejednadžbi. Nakon što učenici vide nejednadžbe i pokušaju ih smjestiti u kontekst, skice svojih ideja neka upisuju kao komentare ispod odgovarajućeg sustava. Neka se učenici koje je zainteresirao isti sustav fizički grupiraju (2 – 3 učenika), rasprave o svojim idejama i zajedničkim snagama formuliraju tekst zadatka. Svoj zadatak zatim neka objave.

Prokomentirajte sve zadatke i zajedno promislite jesu li dobro postavljeni, tj. jesu li navedeni svi uvjeti i jesu li problem i njegovo rješenje smisleni.

Od osmišljenih zadataka možete izraditi igru povezivanja u kojoj je karticu s tekstualnim zadatkom potrebno povezati s karticom sa sustavom nejednadžbi. Za to možete upotrijebiti alat Speed Match s mrežnog sjedišta Super Teacher Tools.

Postupci potpore

Pri osmišljavanju tekstualnih zadataka od zadanih nejednadžbi potrebno je krenuti od jednostavnih prema težim primjerima, a ako je potrebno, krenite od riješenih primjera kako bi učenici uočili što se od njih traži. Osmišljavanje tekstualnih zadataka sigurno će biti otežano učenicima s jezičnim teškoćama i učenicima oštećena sluha. Moraju dobiti jedan primjer kako bi prema njemu sami mogli napraviti sljedeći. Tek tada im možete dati novi primjer (ovisno o učenikovim sposobnostima). Nakon toga učenici trebaju dobiti upute za uporabu alata kako bi mogli sudjelovati u nastavku aktivnosti.

Nakon obrade koordinatnog sustava u ravnini i grafa linearne funkcije korisno je spomenuti grafičko rješavanje sustava nejednadžbi s dvije nepoznanice. Učenicima postupak pokažite na primjeru tipa:

Mala tvornica proizvodi dvije vrste betona. Svaka vreća visokokvalitetnog betona sadržava 10 kg šljunka i 5 kg cementa, dok svaka vreća niskokvalitetnog betona sadržava 12 kg šljunka i 3 kg cementa. U skladištu je trenutno 2000 kg šljunka i 800 kg cementa. Koliko vreća visokokvalitetnog, a koliko niskokvalitetnog betona ta tvornica može proizvesti od sirovina iz skladišta? Nacrtaj sve mogućnosti.

Uvedite nepoznanice pa postavite uvjete u obliku nejednakosti. Svaku nejednakost nacrtajte uz pomoć Geogebre Online, upisujući nejednadžbu u prozor Algebra i uočite dio ravnine u kojem vrijede sve četiri nejednakosti. Presjek istaknite tako da upišete znak „∧“ između nejednakosti.

(Slika je slika zaslona.)

Osjenčani dio ravnine zove se skup dopustivih točaka – tu se nalaze svi uređeni parovi (x, y) koji mogu biti rješenja (u ovom su primjeru prihvatljiva samo cjelobrojna rješenja). Pametno je odabrati onaj uređeni par koji će tvornici donijeti najveću dobit – to se zove optimizacija.

Porazgovarajte s učenicima o pojmu optimizacija – što oni misle da ona znači, optimiziraju li oni ponekad, je li važno znati optimizirati itd.

Izradite za učenike nastavni listić sa zadatcima zadanim riječima u kojima trebaju uvesti nepoznanice, postaviti uvjete u obliku nejednakosti pa nacrtati skup dopustivih točaka.

Postupci potpore

Prije rješavanja predloženog zadatka potrebno je ponoviti rješavanje sustava nejednadžbi s dvije nepoznanice. S obzirom na složenost zadatka, bit će ga potrebno rastaviti na manje korake, a za učenike s diskalkulijom osmisliti primjer s manjim brojevima. Učenicima pružite postupnu potporu uz kratke i jasne upute pri uvođenju nepoznanica i postavljanju uvjeta u nejednakosti. Crtanje nejednakosti u alatu Geogebra treba biti vođeno te provjeriti razumiju li učenici dobiveni rezultat, odnosno mogućnost više rješenja. U tom kontekstu objasnite pojam optimizacija. Za trajanja aktivnosti vodite računa o tome da je za učenike s teškoćama iznimno važno da imaju dovoljno vremena za rješavanje zadataka.

Za učenike koji žele znati više

Motivirajte učenike da saznaju nešto više o linearnom programiranju – što je funkcija cilja i kako se pronalazi optimalno rješenje. Otkrijte im da se optimalno rješenje (osim u posebnim slučajevima) nalazi u jednom od vrhova poligona koji nazivamo skup dopustivih točaka. Učenici mogu jednostavno odrediti koordinate vrhova u Geogebri Online, za njih odrediti vrijednost funkcije cilja i zaključiti koje je rješenje optimalno.

Za primjer iz Aktivnosti D možete dodati: Proizvođač ostvaruje zaradu od 6 kn za svaku vreću visokokvalitetnog, a 5 kn za svaku vreću niskokvalitetnog betona. Koliko vreća jedne i druge vrste betona treba proizvesti iz dostupnih sirovina za najveću zaradu?

Učenici kao projektni zadatak mogu osmisliti jednostavan problem linearnog programiranja iz svoje okoline i prikazati ga u obliku plakata. Za to mogu upotrijebiti alat Zoho Show.