Učenici su još u osnovnoj školi usvojili pravokutni koordinatni sustav i zapis točaka s pomoću standardnih algebarskih koordinata. U ovoj aktivnosti otkrivaju prikaz točke s pomoću polarnih koordinata.

Učenike slučajnim odabirom podijelite u tročlane ili četveročlane grupe. Svakoj grupi pripremite ispisani plan nekog mjesta u koji ste ucrtali pravokutni koordinatni sustav tako da je ishodište neka poznata lokacija (npr. glavni trg). Izaberite grad u kojem je škola, mjesto iz kojeg putuje neki učenik, možda lokaciju planiranog izleta i sl. U navedenom planu označite nekoliko objekata koji se nalaze u različitim kvadrantima (škola, muzej, poznati klub…). Plan grada pronađite na mrežnim stranicama, u alatu Word prema potrebi izrežite željeni dio slike pa u GeoGebri dodajte pravokutni koordinatni sustav.

U prvom dijelu aktivnosti učenici očitaju pravokutne koordinate izabranih točaka. Nakon toga trebaju otkriti druga dva podatka s pomoću kojih mogu locirati izabranu točku. Pitajte ih, npr., kako bi napisali upute osobi koja od trga (ishodište) treba doći u školu. Pri radu, ako žele, mogu upotrijebiti geometrijski pribor (trokut, ravnalo, šestar, kutomjer). Svoja razmišljanja s ostalim učenicima dijele putem, npr., Padlet ploče.

Potaknite raspravu o njihovim rezultatima. Očekuje se da će barem neke grupe zaključiti da točku u koordinatnom sustavu možemo locirati s pomoću udaljenosti od ishodišta i kutom koji spojnica ishodišta s točkom zatvara s pozitivnim smjerom osi x. Pozovite učenike da na mrežnim stranicama istraže koristi li se u matematici i taj način određivanja položaja točke u koordinatnom sustavu te kako nazivamo tako definirane koordinate. Nakon što grupe s pomoću Padlet ploče otkriveno pokažu ostalima, zajednički izdvojite točnu definiciju i oznake polarnih koordinata.

Za kraj aktivnosti neka učenici (nastavljajući rad u grupama) na mrežnim stranicama istraže primjenu polarnih koordinata u svakidašnjem životu (lokacija, navigacija, pomorske karte…) te s pomoću alata Canva pripreme kratku prezentaciju za ostale učenike.

Postupci potpore

Tijekom prilagodbe scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na osobnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa o tome da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

U raspravi ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to sami ne izraze želju. Tijekom razredne rasprave nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Učenici su do sada kompleksne brojeve zapisivali u algebarskom obliku te ih prikazivali u Gaussovoj ravnini. U ovoj će aktivnosti učenici otkriti prikaz kompleksnog broja s pomoću polarnih koordinata i zapisati u trigonometrijskom obliku.

Za početak aktivnosti pozovite učenike da otvore e-škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.4. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Učenici trebaju proučiti sadržaje podnaslova Polarne koordinate i Trigonometrijski oblik te samostalno riješiti prvih šest zadataka.

U nastavku aktivnosti učenike podijelite u dvije jednakobrojne grupe i s pomoću alata Google Classroom svakoj grupi pošaljite tri kompleksna broja zapisana u algebarskom obliku. Učenici samostalno rješavaju zadatak, za zadane brojeve određuju modul i argument, zapisuju ih u trigonometrijskom obliku i prikazuju u koordinatnom sustavu (u alatu GeoGebra pripremite listić s koordinatnim sustavom u koji upisuju samo tri točke bez opisa). U drugom dijelu zadatka listić zamjenjuju s nekim od učenika iz druge grupe. Na listiću se nalaze točke kojima trebaju pridružiti pripadne kompleksne brojeve zapisane u oba oblika. Kad su riješili zadatak, sa svojim parom (učenikom s kojim su zamijenili listić) uspoređuju, komentiraju i prema potrebi ispravljaju rješenja. Na taj način možete utvrditi jesu li svi učenici ostvarili ishode. Ako neki od parova imaju različita rješenja, a nisu sigurni što je ispravno, pozovite ih neka surađuju s drugim parom.

Za kraj aktivnosti da bi se učenici zabavili i uočili primjenu polarnih koordinata (karte i navigacija), u istim parovima igraju prilagođenu igru Podmornica. Učenici u paru na mrežnim stranicama izaberu plan nekoga grada, zabavnog parka, more... U alatu, npr., GeoGebra. postavljaju na plan koordinatni sustav. U planu svaki član para bira pet do deset točaka u kojima se nalaze poznate lokacije (u gradu, npr.: škola, kolodvor, kino..., u zabavnom parku lokacije nekih atrakcija, u moru svjetionik, otočić...), određuju koordinate te trigonometrijski zapis kompleksnog broja kojem su pridružene odabrane točke. Prvi učenik drugom učeniku govori trigonometrijski prikaz broja, a drugi učenik otkriva o kojoj je lokaciji riječ. Nastavljaju otkrivati lokacije izmjenjujući uloge. Za svaku točno otkrivenu lokaciju učenik dobiva bod. Ako je učenik pogrešno odredio trigonometrijski zapis izabrane točke, gubi bod.

Kako provesti aktivnost u online okruženju

Uspostavite videopoziv putem Zooma. Podijelite u chatu s učenicima poveznicu na Digitalni obrazovni sadržaj e-škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.4. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Učenici trebaju proučiti sadržaje podnaslova Polarne koordinate i Trigonometrijski oblik te samostalno riješiti prvih šest zadataka.

Učenike podijelite u dvije jednakobrojne grupe i putem chata svakoj grupi pošaljite tri kompleksna broja zapisana u algebarskom obliku. Učenici samostalno rješavaju zadatak, za zadane brojeve određuju modul i argument, zapisuju ih u trigonometrijskom obliku i prikazuju u koordinatnom sustavu koji ste pripremili u alatu GeoGebra (u koordinatni sustav upisuju samo tri točke bez opisa). U drugom dijelu zadatka svoj rad u GeoGebri šalju nekom od učenika iz druge grupe (vi odredite tko će kome poslati). Sada svaki učenik treba pridružiti točkama pripadne kompleksne brojeve zapisane u oba oblika. Kad su riješili zadatak, sa svojim parom (učenikom s kojim su zamijenili radove u GeoGebri) uspoređuju, komentiraju i prema potrebi ispravljaju rješenja.

Za kraj aktivnosti da bi se učenici zabavili i uočili primjenu polarnih koordinata (karte i navigacija) u istim parovima igraju prilagođenu igru Podmornica. Koristeći se alatima NatGeo MapMaker, izradite plan svojega mjesta te ga kao predložak postavite u koordinatni sustav izrađen u GeoGebri. U planu neka svaki učenik odabere pet do deset točaka u kojima se nalaze poznate lokacije u mjestu (škola, kolodvor, kino, knjižnica...), odredi koordinate te trigonometrijski zapis kompleksnog broja kojem su pridružene odabrane točke. Nakon toga prvi učenik drugom učeniku govori trigonometrijski prikaz broja, a drugi učenik otkriva o kojoj je lokaciji riječ. Nastavljaju otkrivati lokacije izmjenjujući uloge. Za svaku točno otkrivenu lokaciju učenik dobiva bod. Ako je učenik pogrešno odredio trigonometrijski zapis izabrane točke, gubi bod.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Pri podjeli u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Izbjegnite situaciju u kojoj se nagrađuje brzina rješavanja zadataka.

Tijekom provedbe aktivnosti na daljinu provjeravajte s učenicima s teškoćama kako se snalaze u pojedinim fazama aktivnosti te im prema potrebi pomognite. Kod učenika s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti provjeravajte prati li događaje jer je u izvođenju nastave na daljinu slabija kontrola nastavnika.

Za učenike koji žele znati više

Učenicima koji žele više zadajte da u alatu, npr., GeoGebra izrade aplet u kojem će umjesto klasične koordinatne mreže birati polarnu mrežu u kojoj će prikazati kliznu točku s istaknutim polarnim koordinatama. Pozovite ih da pokažu ostalim učenicima kako se pomicanjem točke po kvadrantima mijenjaju modul i argument. Zajednički će se dodatno uvjeriti u smislenost lociranja točke tim podatcima, tj. primjenjivosti izbora polarnih koordinata.

Učenike koji žele znati više dodatno će zanimati primjena tog prikaza u svakidašnjem životu i ostalim područjima. Recite im da se zamisle kao vlasnici tvrtke koji žele postaviti veliki logotip kao reklamu. Zadatak je istražiti u kojem formatu treba pripremiti logotip da povećavanjem ispisa ne izgubi na kvaliteti.

U ovoj je aktivnosti naglasak na razumijevanju i uvježbavanju prikaza kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku u posebnim slučajevima kada se pripadne točke nalaze na koordinatnim osima.

Podijelite učenike u četiri grupe. Svakoj grupi zadajte nekoliko kompleksnih brojeva zapisanih u algebarskom obliku tako da su brojevi zadani prvoj grupi pridruženi točkama na pozitivnom dijelu osi x, drugoj na negativnom dijelu osi x, trećoj na pozitivnom dijelu osi y i četvrtoj na negativnom dijelu osi y. Učenici trebaju zaključiti koliko su pripadne točke udaljene od ishodišta i koji kut spojnica s ishodištem zatvara s pozitivnim smjerom osi x. Kada su odredili modul i argument, zadane brojeve zapisuju u trigonometrijskom obliku.

Ako se ne snalaze, uputite ih da otvore e-škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.4. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja i pročitaju podnaslov Na koordinatnim osima.

Nakon što su pročitali trebaju ponovno pokušati riješiti zadatak. Rješenja putem, npr., Padlet ploče prikazuju svim učenicima. Kada se na ploči nalaze sva četiri posebna slučaja, komentirajte s učenicima zaključke koje zapisuju u bilježnicu.

Za vježbu učenici samostalno s pomoću alata, npr., Wizer.me izrađuju interaktivni listić u koji upisuju četiri kompleksna broja koja su pridružena točkama na koordinatnim osima zapisujući ih u algebarskom i trigonometrijskom obliku. Zadatak je upariti algebarski i trigonometrijski zapis. Učenici unutar razreda slučajnim odabirom razmjenjuju poveznice na zadatak koji samostalno rješavaju.

Nakon što su učenici uspješno riješili zadatak, podijelite ih u parove i pozovite da osmisle zadatak primjene. Ako se ne snalaze, pomozite im smjernicama, primjerice: na mrežnim stranicama potražite kartu kojom se koristi brodska navigacija, u alatu GeoGebra postavite koordinatni sustav, pronađite i imenujte lokacije na koordinatnim osima te zapišite njihove koordinate...

Za kraj aktivnosti u alatu, npr., Match the Memory pripremite igru pamćenja u kojoj kombinirajte prikaz broja u Gaussovoj ravnini s trigonometrijskim ili algebarskim zapisom, a koju će učenici odigrati s istim parom.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste pri samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).