U ovoj će aktivnosti učenici otkriti pravilo za derivaciju potencije. U skupinama, s pomoću definicije derivacije funkcije u točki, učenici će određivati pravilo deriviranja za konkretnu potenciju. Na osnovi zaključaka skupina izvest će pravilo za derivaciju potencije.

Kao uvod učenici mogu pogledati primjer i definiciju derivacije funkcije u točki:

e-Škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.3.

Nakon što su učenici samostalno pogledali uvodni primjer prikažite im putem, npr., prezentacije u PowerPointu nekoliko jednostavnih zadataka primjene i potaknite ih da odrede i objasne značenje derivacije funkcije u zadanoj točki.

Primjeri zadataka:

1. Funkcija $h\left(x\right)=2x$ prikazuje visinu snježnog pokrivača (u cm) od 22 sata pa do prestanka padanja, gdje je x vrijeme u satima proteklo od 22 sata. Primjenom definicije derivacije funkcije u točki izračunajte derivaciju funkcije u točki x = 5. Objasnite značenje dobivenog rezultata i razliku između vrijednosti funkcije i vrijednosti derivacije u zadanoj točki.

2. Funkcija $h\left(x\right)=-x^2+2$ opisuje putanju vode iz vrtne prskalice, gdje je x (u m) udaljenost od mjesta na kojem voda doseže najveću visinu, a h (x) visina vode (u m). Primjenom definicije derivacije funkcije u točki izračunajte derivaciju funkcije u točki x = 0.5. Objasnite značenje dobivenog rezultata i razliku između vrijednosti funkcije i vrijednosti derivacije u zadanoj točki.

3. Funkcija $f\left(x\right)=x^3$ prikazuje broj članova nove skupine na društvenoj mreži, gdje je x vrijeme u danima proteklo od osnivanja. Primjenom definicije derivacije funkcije u točki izračunajte derivaciju funkcije u točki x = 10. Objasnite značenje dobivenog rezultata i razliku između vrijednosti funkcije i vrijednosti derivacije u zadanoj točki.

Na primjerima primjene iz svakidašnjeg života učenici uočavaju značenje i važnost derivacije funkcije. Pitajte ih kako bi riješili prethodne zadatke da izaberu neku drugu točku na grafu. Moraju ponoviti cijeli postupak. Pozovite ih da otkriju pravila za derivaciju potencije.

Učenike podijelite u nekoliko skupina te svakoj skupini zadajte jednu funkciju potencije s različitim eksponentom.

$\left(f\right(x)=x,g(x)=x^2,h(x)=x^3,k(x)=x^4,...)$

Učenici trebaju, primjenjujući definiciju, izračunati derivaciju zadane funkcije u pet, prema želji, odabranih točaka. Dobivena rješenja prikazuju u tablici u bilježnici ili u programu MS Word. Nakon riješenog zadatka unutar skupine raspravljaju, pokušavaju otkriti pravilnost i zapisati funkciju koja je derivacija zadane. Zaključak provjeravaju primjenom definicije derivacije u, prema želji, odabranoj točki apscise x.

Izvedeno pravilo za zadanu funkciju učenici objavljuju na Padlet ploči tako da potencije slažu prema redoslijedu.

Na osnovi prvih nekoliko redaka na ploči, u kojima su prikazane derivacije funkcija za prvu, drugu, treću... potenciju, učenici navode svoja razmišljanja o mogućnosti popunjavanja sljedećih redaka otkrivajući pritom pravilo za derivaciju potencije $\left(x^n\right)\text{'}=n{x}^{n-1}.$ Možete ih pozvati da, služeći se pravilima, sada provjere rezultate uvodnih zadataka.

Nakon usvajanja pravila učenici samostalno deriviraju funkcije oblika: $f\left(x\right)=\sqrt{x},g\left(x\right)=\frac{1}{x}...$ Zadane funkcije mogu derivirati tako da ih prikažu kao funkciju potencije racionalnog, odnosno negativnog eksponenta ili primjenjujući definiciju derivacije funkcije u točki. Učenici mogu sami odabrati način na koji će rješavati zadatak, a koristeći se Padlet pločom mogu usporediti rezultate.

Za kraj aktivnosti zadajte učenicima konstantnu funkciju $f\left(x\right)=\mathrm{c.}$ Prije izvoda neka pokušaju predvidjeti izgled derivacije. Pustite neka sami zaključe da je derivacija jednaka nuli izvodeći zaključak preko definicije derivacije funkcije u točki ili možda zamišljanjem funkcije kao $f\left(x\right)=c{x}^0,$ što je izvrsna motivacija za iduću jedinicu u kojoj će primjenjivati pravila deriviranja. U tom zadatku zatražite od učenika da navedu nekoliko primjera konstantnih funkcija kako bi uočili da se kao konstante mogu pojaviti i brojevi kao što je $\pi$ jer praksa pokazuje da ih upravo takvi primjeri često zbunjuju.

Tijekom prilagodbe scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na individualnim obilježjima pojedinog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) te na značajkama same teškoće. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

S učenicima s teškoćama je posebno važno provjeriti znanja koja se smatraju usvojenima. Prema potrebi, za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz grafički prikaz te im dopustite da se njime koriste.

U samostalnom radu predvidite da će učenici sa specifičnim teškoćama u učenju trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka.

Pri radu u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjegla situacija da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Također je važno pri svrstavanju učenika u skupine pripaziti na to u koju ćete skupinu smjestiti učenika s teškoćama- važno je da je u skupini u kojoj će se osjećati prihvaćenim i opuštenim kako bi bio učinkovit. Učenike s teškoćama potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju - savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici upoznati i primijeniti pravila deriviranja.

Učenici su dosad svladali značenje derivacije funkcije i pravilo za derivaciju potencije. Tijekom aktivnosti, a prije uvođenja novog pravila prikažite im putem, npr., prezentacije u PowerPointu motivacijski zadatak o kojem možete i zajednički raspravljati.

Primjer prvog zadatka:

Košarkaška lopta bačena s visine 2 m opisuje putanju $f\left(x\right)=-0.25x^2+1.5x+2$ , gdje je x udaljenost od mjesta bacanja (u m). Kojom se brzinom mijenja visina na kojoj se nalazi lopta u odnosu prema udaljenosti od mjesta bacanja?

Učenici uočavaju da je potrebno derivirati zbroj funkcija i vjerojatno naslućuju pravilo. Uputite ih da to provjere i utvrde u e-škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.4

Trebaju samostalno pročitati sadržaj podnaslova Derivacija umnoška konstante i funkcije i Derivacija zbroja funkcija. Za procjenu razumijevanja, osim rješavanja uvodnog zadatka, možete pripremiti listić s nekoliko jednostavnih primjera primjene navedenih pravila te pozvati učenike da s učenikom u klupi provjere točnost rješenja. Listiće možete podijeliti i virtualno preko platforme Google Učionica.

Primjer drugog zadatka:

U zabavnom parku posjetitelji ulaze u čamac na visini 2 metra od tla te se u atrakciji "Rafting" kreću putanjom $f\left(x\right)=(x^2-8x)(0.025x-0.25)$, gdje je t vrijeme (u s) od trenutka polaska. Kojom se brzinom mijenja visina na kojoj se nalazi čamac s obzirom na vrijeme?

Učenici će vjerojatno uočiti da mogu pomnožiti faktore polinoma i dobiti zbroj/razliku funkcija. Pohvalite njihov zaključak, ali i objasnite da množenjem nije uvijek moguće pojednostavniti zadanu funkciju.

(Posebno obratite pozornost na čestu pogrešku tijekom samostalnog otkrivanja, neki će učenici sigurno derivirati svaki faktor te pomnožiti dobivene derivacije.)

Uputite učenike ih da pročitaju sadržaj Derivacija umnoška (isti dokument kao za prvo pravilo). Kako od većine učenika ne očekujemo da samostalno izvedu formulu, nakon što zapišu pravilo svakako neka funkciju iz postavljenog zadatka deriviraju i prema pravilu za derivaciju umnoška.

Za dodatno uvježbavanje možete im zadati vježbu u paru kojom će pravilo provjeriti na još dva konkretna primjera. Podijelite im zadatke s funkcijama zapisanima u obliku umnoška dvaju polinoma. Prvi član para funkciju derivira prema pravilu za derivaciju umnoška, a drugi množi faktore pa funkciju derivira kao jedan polinom. U drugom zadatku učenici zamjenjuju uloge. Nakon što riješe oba zadatka, uspoređuju rješenja.

( npr.: $f\left(x\right)=5x^2(2x^3-x+3),g\left(x\right)=(2-x)(x^2+x+1)$ )

Primjenjujući pravilo za derivaciju umnoška sada mogu samostalno dokazati pravilo za derivaciju umnoška konstante i funkcije.

Sljedeći primjer je derivacija kvocijenta, pravilo koje je učenicima zahtjevnije otkriti. Zainteresirajte ih primjerom koji će poželjeti riješiti nakon što pročitaju pravilo.

Primjer trećeg zadatka:

Luka je zapisivao broj gledatelja u kinu po tjednu za novi film i zaključio da se može opisati funkcijom $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2-x+1}$, gdje je x broj tjedana proteklih od prvog prikazivanja filma. Kolika je brzina promjene broja gledatelja u kinu u odnosu prema tjednu u kojem se film prikazuje?

Da bi učenici riješili postavljeni zadatak pozovite ih da pročitaju sadržaj Derivacija kvocijenta. Nakon riješenog početnog primjera, da bi uvježbali i provjerili točnost pravila, u zadatcima za vježbu u paru zadajte racionalnu funkciju u kojoj su brojnik i nazivnik polinomi, ali takvi da je brojnik djeljiv s nazivnikom ili da je u nazivniku monom. Prvi član para derivira primjenom pravila za derivaciju kvocijenta, a drugi derivira funkciju dobivenu dijeljenjem brojnika i nazivnika primjenjujući pravilo za derivaciju zbroja i razlike. U drugom zadatku učenici ponovno zamijene uloge i na kraju uspoređuju rješenja.

(npr.: $f\left(x\right)=\frac{6x^3-12x^2+4x-1}{2x^2},g\left(x\right)=\frac{x^2-6x+9}{x-3}$ )

Za kraj aktivnosti učenici izrađuju umnu mapu u kojoj će sistematizirati pravila deriviranja. Umnu mapu mogu izraditi koristeći se digitalnim alatom Bubbl.us.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju biti potrebno dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka.

Tijekom pripreme listića vodite računa o jezičnoj i grafičkoj prilagodbi listića koje su važne za učenike sa specifičnim teškoćama u učenju i učenike s oštećenjem jezično-glasovne-govorne komunikacije. Jezična prilagodba podrazumijeva kraće rečenice uobičajenog poretka riječi u rečenici s jasno izrečenim svim njezinim dijelovima, bez metafora, s izdvojenim i objašnjenim nepoznatim i/ili ključnim pojmovima. Grafička prilagodba podrazumijeva prilagodbe poput upotrebe određene vrste fonta (npr. OmoType, Arial, Verdana) koji je uvećan, dvostruki prored, povećani razmak među slovima te lijevostrano poravnanje.

Vodite računa da je učenik s teškoćom u paru s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Uvijek postoje učenici koji su senzibilniji i mogu pružiti potporu učenicima s teškoćama usmjeravajući ih ili pomažući im te je takve vršnjake važno na vrijeme prepoznati. Provjeravajte s parom kako napreduju u obavljanju zadatka.

Sa svim učenicima u razredu točnost pravila deriviranja za umnožak i kvocijent dviju funkcija provjeravali smo samo na konkretnom primjeru. Učenike koji žele znati više možete uputiti da sami izvedu (dokažu) pravila primjenjujući definiciju derivacije i svojstva limesa funkcije. Prema potrebi, mogu potražiti pomoć u e-Škole DOS Matematika 4, Jedinica 4.4.. Svoj rad mogu predstaviti i ostalim učenicima koristeći se prezentacijskim alatom Prezi, u kojem prezentaciju izrađuju suradnički tako da jedna skupina učenika izvodi pravilo za derivaciju umnoška, a druga za derivaciju kvocijenta.

Nakon što su učenici upoznali pravila deriviranja, trebaju uvježbati i njihovu primjenu. Kako često nemaju strpljenja i koncentracije rješavati desetak zadataka zadanih tradicionalno iz udžbenika ili nastavnog listića, da bismo im aktivnost učinili zanimljivijom, a istodobno ostvarili postavljene ishode, pravila deriviranja možemo uvježbati putem igre.

U digitalnom alatu Purpose Games pripremite igru „Spajanje parova” u kojoj će učenici pojedinačno ili u paru spariti funkciju i derivaciju. Funkcije nazovite različitim slovima da učenici nemaju informaciju koje od funkcija su početne funkcije, a koje derivacije zadanih funkcija. Primjere zadajte tako da ne mogu na prvi pogled zaključiti koje su funkcije povezane, važno je da ne mogu pogoditi rješenje bez primjene pravila za deriviranje. Također, možete zadati funkciju čija je derivacija funkcija koja se dobije pogrešnim deriviranjem neke druge zadane funkcije. Pritom se prisjetite nekih pogrešaka koje učenici često čine pri deriviranju: konstantu ne deriviraju, zaborave primijeniti pravilo do kraja... Igrajući igru prikladno je uočiti i na vrijeme ispraviti navedene pogreške.

Igru možete organizirati i tako da zadatke ispišete i složite ih kao domino-pločice.

Primjer prijedloga nekoliko zadataka možete vidjeti ovdje.

Za igranje igre „Domino” učenicima s teškoćama, posebno učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju, dopustite da se u radu koriste podsjetnikom. Provjerite s učenicima s teškoćama jesu li razumjeli pravila igre te, prema potrebi, zorno prikažite prvih nekoliko koraka. Demonstracija je iznimno važna za učenike s teškoćama jer nerijetko propuste ključne dijelove u uputama. Za učenike s teškoćama predvidite više vremena za rješavanja zadataka u igri, zato se preporučuje osigurati manji broj pločica domina za njih. Prema potrebi, uparite učenika s teškoćom s učenikom koji djeluje poticajno i na taj način osigurava vršnjačko učenje.