Za upoznavanje s osnovnim principima vjerojatnosti ponudite učenicima igru Utrka automobila koju mogu igrati s igraćim kockama ili upotrebljavati online simulator bacanja kocke. Za svaki par učenika koji igra pripremite dva papirnata modela automobila i ploču za igru (A3 format papira). Smanjite mreže automobila pri ispisu tako da duljinom odgovaraju poljima na ploči za igru. Možete unaprijed zadati učenicima da kod kuće izrežu modele i oboje prema želji. Na početku dogovorite pravila igre: automobili se naizmjenično pomiču za jedno polje unaprijed ako igrač dobije odgovarajući broj na kocki. Recimo, u prvom krugu se dogovorite da se prvi automobil može pomicati ako na kocki padne broj manji ili jednak broju 2, a drugi ako padne broj veći od 2. Prije početka porazgovarajte s učenicima za koji je automobil veća vjerojatnost da će prvi stići na cilj i zašto (faza predviđanja).

Otvorite novu sekciju učeničke bilježnice unutar OneNote Bilježnice za predmete (Class Notebook) i parovima podijelite različite uvjete kretanja automobila. Neka ponove igru prema danim uvjetima. Dogovorite se s učenicima da za dane uvjete kretanja u učeničku bilježnicu zapišu svoje pretpostavke koji će automobil vjerojatnije pobijediti i zašto. Na taj način ćete na svom računalu moći pratiti pretpostavke svakog para učenika, a svi će učenici imati priliku podijeliti s ostalima svoje pretpostavke. Neka učenici u svakom krugu više puta odigraju igru (faza eksperimentiranja) i usporede rezultate sa svojim predviđanjima. Na kraju povedite razrednu diskusiju uspoređujući predviđanja i rezultate igre među parovima. Potaknite učenike na razgovor o eventualnim razlikama između njihova predviđanja i rezultata igre te zašto je došlo do tih razlika. Svakako iskoristite priliku da porazgovarate s učenicima o tome kako su razlike između vjerojatnosti nekog ishoda i samog ishoda u igrama na sreću često posljedica slučaja i sreće pojedinca i zato je teško konačan rezultat predvidjeti sa sigurnošću.

Postupci potpore

U ovoj aktivnosti učenicima s teškoćama pravila igre treba učiniti jasnima kroz objašnjenje i probnu igru. U prvom krugu treba dodatno pojasniti zašto je veća vjerojatnost da drugi automobil prvi stigne na cilj što možemo učiniti tako da učenike potaknemo da sami, promatrajući igraću kocku, dođu do zaključka. Isti postupak ponovimo i u drugom krugu. Učenicima se mogu i ponuditi rješenja između kojih odabiru ono za koje smatra da je točno. Kako potaknuti učenike s teškoćama na sudjelovanje u raspravi opisano je u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama. Učenici s oštećenjem vida mogu imati igraću kocku s ispupčenim točkama ili im suučenici čitaju brojke s kocke.

Kako bi učenici shvatili da je neki ishod manje ili više vjerojatan od drugog, upoznajte ih s kontinuitetom vjerojatnosti između nemogućeg i sigurnog ishoda. Uz pomoć online kola sreće istražite s učenicima kontinuitet vjerojatnosti pojavljivanja narančaste boje kao ishoda vrtnje. Možete učenicima postaviti pitanje: Ako bacim kamenčić u krug, kolika je vjerojatnost da će pasti na narančasti dio? Neka učenici promjenom položaja točke Pomiči povežu vjerojatnost pojavljivanja narančaste boje, odnosno vjerojatnost da će kamenčić pasti na narančasti dio s položajem točke na dužini kontinuuma. Zatim istražite složenije primjere uz pomoć online prilagodljivog kola sreće, u kojem možete mijenjati broj i razmještaj pojedinih boja i njihov udjel, a možete odmah i simulirati okretanje kola (pritiskom na gumb Spin) i usporediti učenička predviđanja s ishodom pokusa. Kroz razgovor i raspravu uvedite pojmove sigurno, nemoguće, jednako vjerojatno, malo vjerojatno i vrlo vjerojatno.

Pripremite za učenike radni list sa zadatcima kao na slici ispod. Primjerice, na dužini ispod kola sreće označite točku koja je polovište te dužine. Učenici trebaju odlučiti koliko će polja na kolu sreće obojiti određenom bojom kako bi vjerojatnost da će ta boja biti rezultat vrtnje bila jednaka onoj na dužini. Postupak ponovite s različito označenim točkama na dužini. Raspravite s učenicima o tome da vjerojatnost pojavljivanja određene boje ovisi samo o udjelu te boje na kolu sreće, a ne i o položaju. Sliku kola sreće možete preuzeti sa sljedeće poveznice.

Postupci potpore

Pri istraživanju kontinuiteta vjerojatnosti učenicima s teškoćama dajte dovoljno vremena kako bi percipirali i pomicanje točke na dužini i pojavljivanja narančaste boje u krugu. Isto tako, više vremena i usmjerenog promatranja bit će potrebno učenicima da povežu vjerojatnost padanja kamenčića na narančasti dio kruga i pomicanja točke na dužini. Pitanje tipa „Ako bacim kamenčić u krug, kolika je vjerojatnost da će pasti na narančasti dio?“ postavite tako da izbjegnete riječ „ako” i rastavite pitanje na dvije rečenice: „Kamenčić bacaš u krug. Kolika je vjerojatnost da će pasti na narančasti dio?”

Ponudite učenicima različite događaje i neka odluče jesu li oni nemogući, sigurni ili mogući. Neka učenici zatim samostalno izmisle neke događaje i klasificiraju ih po istome principu. Tijekom razgovora potaknite učenike da primijete kako su neki od mogućih događaja više vjerojatni od drugih. Primjerice, ako je Martina izvrsna u matematici, vrlo je vjerojatno da će dobiti višu ocjenu na ispitu, iako to nije sigurno.

Nakon toga izradite s učenicima kartice za društvenu igru Moguće – nemoguće. Podijelite učenike u parove i neka svaki par, primjerice u online Wordu, služeći se tablicama, izradi dva obrasca: obrazac za kartice s „kuglicama“ tako da izrade kartice s različitim brojem kružića („kuglica“) i obrazac za kartice s ishodima tako da izrade prazne kartice u koje će kasnije upisati ishode. Primjer možete pogledati ovdje. Ispišite oba obrasca u jednakom broju primjeraka. Neka svaki par odabere dvije boje (primjerice crvenu i plavu) i događaj prema kojem će obojiti kuglice na karticama (primjerice: Ako bez gledanja iz vreće izvučeš kuglicu, koliko je vjerojatno da ćeš izvući crvenu kuglicu?). Učenici zatim boje odgovarajući broj kuglica na karticama odabranim bojama (u ovom primjeru crvena i plava) tako da odgovaraju ishodima: sigurno, nemoguće, jednako vjerojatno, malo vjerojatno i vrlo vjerojatno. U prazne kartice upisuju navedene ishode popunjavajući potreban broj kartica. Primjer obojenih kartica i kartica s ishodima možete vidjeti na poveznici. Uputite učenike da oboje barem po jednu karticu za svaki ishod, a za dinamičnost igre bolje ih je obojiti više.

Nakon što pripreme kartice, parovi međusobno razmijene setove kartica tako da ne igraju s onim setom koji su sami izradili. Igraju tako da jedan učenik nasumce izvuče karticu s obojenim kuglicama i postavi pitanje, a drugi učenik mora odabrati karticu s odgovarajućim ishodom. Primjerice, prvi učenik postavi pitanje: Ako bez gledanja iz vreće izvučeš kuglicu, koliko je vjerojatno da ćeš izvući crvenu kuglicu? i može odabrati primjerice karticu na kojoj su sve kuglice obojene crvenom bojom (odgovarajući ishod je sigurno), ali istu karticu može upotrijebiti i za pitanje s plavom bojom (tada je, za istu karticu, odgovarajući ishod nemoguće). Na taj način modeliraju odgovarajuće parove događaj – ishod tijekom same igre.

Igra se može odigrati na različite načine. Primjerice, jedan učenik odabere karticu s ishodom malo vjerojatno i traži od drugog učenika da odabere karticu s obojenim kuglicama koja prikazuje malu vjerojatnost za izvlačenje crvene odnosno plave kuglice. Mogu odigrati i Memory tako da odaberu određen broj kartica s obojenim kuglicama i isto toliko kartica s pripadnim ishodima, okrenu ih licem prema dolje i traže odgovarajuće parove. I ovdje mogu istu karticu s obojenim kuglicama uparivati s različitim ishodima, ovisno o događaju.

Porazgovarajte s učenicima o formuliranju pitanja, modelu odabira i uparivanja kartica kako bi im ponudili pomoć i dali eventualna dodatna objašnjenja.

Postupci potpore

U prvome dijelu aktivnosti učenike s teškoćama potičemo na slušanje/osmišljavanje događaja i njihovo klasificiranje kako bi što bolje shvatili pojam vjerojatnosti. Potrebno je posebno naglasiti i objasniti pojmove sigurni, nemogući i mogući. U daljnjem tijeku aktivnosti, ako procijenite da je 5 pojmova previše (sigurno, moguće, jednako vjerojatno, malo vjerojatno, vrlo vjerojatno), možete se zadržati samo na tri prethodno navedena pojma, pogotovo za učenike s intelektualnim teškoćama. Bez obzira na broj pojmova, važno je uzeti u obzir da će učenicima s teškoćama biti potrebno više vremena i višekratna pojašnjenja i ponavljanja da svladaju navedene pojmove, odnosno njihovo značenje. Učenici s oštećenjem vida u usmenim će dijelovima aktivnosti sudjelovati zajedno s drugim učenicima, a za razine vjerojatnosti možete im dati kugle od plastelina u pet veličina, pri čemu će najveća označavati siguran događaj, a najmanja nemoguć. Govorimo im rečenice s događajima, a podizanjem kugle učenici pokazuju jesu li razumjeli vjerojatnost. Igru Moguće – nemoguće možemo pojednostavniti tako da učenici s teškoćama u vrećicu stavljaju određen broj crvenih i plavih kuglica te, s obzirom na njihov broj, predviđaju koju će kuglicu izvući.

Stavite učenike u situaciju u kojoj neće moći odmah predvidjeti zašto je neki događaj vjerojatniji, već će biti potrebno raspraviti o tome i istražiti moguće ishode. U tu svrhu provedite s učenicima pokus s igraćom „kockom“ u obliku tetraedra. Neka iz mreže izrade tetraedar i u prazna polja upišu brojeve od 1 do 4. „Kocku“ bacaju dvaput zaredom i zbroje ishode (brojeve) koje su dobili na strani okrenutoj licem prema dolje. Kako bi pratili ishode, dajte im tablicu koju popunjavaju tako da nakon svakog kruga upisuju X u odgovarajući redak. Pokus ponavljaju sve dok jedan redak tablice ne bude u potpunosti ispunjen. Prije početka aktivnosti neka učenici pokušaju predvidjeti koji će red tablice biti prvi popunjen.

Nakon pokusa povedite raspravu s učenicima o tome koji se zbroj pojavio najviše, a koji najmanje puta; kad bi ponovno izveli pokus, za koji bi zbroj pretpostavili da će pobijediti; koji je ishod u tablici nemoguć, a koji najviše vjerojatan i sl. Razgovorom potaknite učenike da potraže odgovore na postavljena pitanja istraživanjem svih mogućih ishoda navedenog pokusa. Rezultate mogu prikazati u obliku popisa, tablice, dijagrama i sl., npr. u jednome od Office 365 alata. Na temelju rezultata neka izračunaju i teorijsku vjerojatnost pojedinog ishoda. Na kraju ponovno raspravite o tome koji je zbroj najviše vjerojatan i zašto te koji su zbrojevi jednako vjerojatni, a koji nemogući. Osnovna je ideja aktivnosti da učenici zaključe kako zbroj ne ovisi isključivo o sreći, već su neki ishodi više, a neki manje vjerojatni zbog učestalosti pojavljivanja brojeva na kockici.

Pokus možete izvesti i s drugim nizom brojeva na „piramidastoj“ kocki ili s uobičajenom igraćom kockom kojoj promijenite brojeve na njezinim stranama u primjerice brojeve 1, 1, 2, 3, 3, 3. Zadajte učenicima da za domaću zadaću samostalno izaberu model kocke i niz brojeva koje će ispisati na njezinim stranama tako da njihova kocka bude „nepravedna“ s obzirom na vjerojatnost pojavljivanja zbroja koji učenici odaberu. Neka istraže i tablično prikažu moguće ishode, izračunaju teorijsku vjerojatnost pojedinih ishoda, a rezultate mogu prikazati i u obliku dijagrama.

Postupci potpore

Upute za praktičan rad (izrada tetraedra), kao i uporabu digitalnog alata nalaze se u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za rad s učenicima s teškoćama. Nekim će učenicima biti potrebna i dodatna potpora pri upisivanju podataka u tablicu. Učenicima s oštećenjem vida izradite tetraedar s izbočenim točkama, a podatke će u tablicu upisivati Brailleovim pismom ili će ih upisivati suučenik / pomoćnik u nastavi. U raspravi učenicima s teškoćama postavljajte pitanja na koja će moći odgovoriti, a potpitanjima ih usmjeravajte na izvođenje zaključaka.

Za učenike koji žele znati više

Skupi svih šest!

Potaknite učenike da istraže zakon velikih brojeva i da uoče da veći broj nezavisnih izvođenja pokusa omogućuje točniju aproksimaciju vjerojatnosti događaja. Neka učenici kod kuće kreiraju popis brojeva od 1 do 6, bacaju kockicu i označe ishod bacanja znakom X kod broja koji dobiju. Kockicu trebaju bacati sve dok ne označe vrijednosti svih brojeva barem jednom. Neka ponove postupak pet ili šest puta. Predložite im da rezultate pokusa s najmanjim ukupnim brojem bacanja prikažu tablično i dijagramom frekvencija.

Učenici će primijetiti da se neki brojevi ponekad pojavljuju više, a neki manje puta. Nekad će trebati manje, a nekad više bacanja kako bi skupili sve vrijednosti. U razgovoru s učenicima usredotočite se na to da podatci variraju za malen broj podataka. Neka učenici spoje podatke svih bacanja i tada će se oni ujednačiti, odnosno sve će vrijednosti biti dobivene podjednak broj puta.

Uputite učenike da prouče online GeoGebrin aplet „Igraća kocka – statistika bacanja“, u kojem mogu simulirati znatno veći broj bacanja. Neka simuliraju primjerice 5, 10, 37, 123, 600, 1345, 5000… bacanja i prouče rezultate velikog broja ponavljanja pokusa te ih usporede s rezultatima i dijagramom frekvencija koji su samostalno izradili izvodeći pokus Skupi svih šest!