Pripremite za učenike vježbu u kojoj će razvrstati ponuđene parove trokuta prema tome jesu li ili nisu slični, primjenjujući poučke o sličnosti trokuta. Izradite proizvoljan broj slikovnih zadataka koristeći se GeoGebrinim apletom koji daje mogućnost automatskog izvoza konstrukcije kao slike. Da bi vježba bila dinamičnija, odaberite i trokute za koje je moguće ispitati sličnost primjenom različitih poučaka, kao i trokute koji nisu slični. Težinu zadataka prilagodite strukturi razreda, a možete i pripremiti zadatke različite težine te učenike podijeliti u homogene skupine.

Koristeći se Padletom unaprijed izradite prazne zidove za skupine. Nakon što podijelite učenike u skupine, uz pomoć Edmoda podijelite slike/zadatke u zajedničkoj mapi i voditeljima skupina pošaljite poruke s poveznicama na zidove u Padletu. Radeći u skupinama učenici neka rješavaju zadatke, zapisuju postupke kojima ispituju sličnost trokuta, argumentiraju svoja rješenja i, ako su trokuti slični, zapisuju to matematičkom oznakom i određuju po kojem su poučku slični. Na Padlet zidu učenici neka razvrstavaju slike/zadatke po kategorijama: „K-K“, „S-S-S“, „S-K-S“ i „Nisu slični“, objavljuju svoja rješenja, fotografiraju svoje postupke i također ih objavljuju na zidu. Nakon što skupine završe s radom, neka javno objave poveznice na svoje zidove u Edmodu. Potaknite učenike da pogledaju kako su ostale skupine riješile zadatke i neka svoja pitanja, prijedloge i sl. upišu u komentar ispod onih objava, na zidu pojedinih skupina, za koje smatraju da sadržavaju pogrešku ili misle da se do rješenja moglo doći i na drukčiji način. Zajednički usporedite i raspravite o rješenjima učenika po skupinama, potaknite ih da razmisle jesu li se mogli koristiti kojim drugim poučkom o sličnosti trokuta (ovisno o konkretnom zadatku) te im zadajte da za domaću zadaću isprave eventualne pogreške. Aktivnost se može provesti i na Yammeru.

Postupci potpore

Prije razvrstavanja parova trokuta prema sličnosti s učenicima s teškoćama ponovite postupak utvrđivanja sličnosti trokuta, pri čemu je korisno zajedno s učenicima izraditi podsjetnik koji će im služiti u daljnjem radu. Upute za izradu zadataka prilagođenih učenicima s teškoćama te pripremu učenika za rad s digitalnim alatima nalaze se u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama. Učenici s teškoćama sličnost neka provjeravaju na temelju poučka koji su najbolje svladali u prethodnom radu, odnosno koji im je najbliži s obzirom na njihove mogućnosti. Učenicima daje dovoljno vremena za rješavanje zadataka, a ako je potrebno, i jedan riješeni zadatak kako bi imali predložak prema kojem će analogijom rješavati druge zadatke Učenici s intelektualnim teškoćama i specifičnim teškoćama u učenju mogu dobiti napisani postupak kojim se ispituje sličnost trokuta. Za učenike oštećena vida koji mogu rješavati zadatke na listićima potrebno je jače otisnuti crte (stranice trokuta), a slijepi učenici mogu se koristiti reljefnim crtežima.

Uvježbajte s učenicima primjenu poučaka o sličnosti trokuta na dinamičniji način kroz timski rad po virtualnim radnim centrima. Pripremite proizvoljan broj zadataka (u kojima je potrebno izračunati duljinu jedne ili više stranica trokuta) i povežite ih tako da svaki sljedeći zadatak upotrebljava rješenje prethodnog zadatka. Za pripremu zadataka možete se koristiti GeoGebrinim aplet koji daje mogućnost automatskog izvoza konstrukcije kao slike. Zadatke rasporedite u virtualne radne centre: za svaki centar otvorite novu online bijelu ploču u alatu Web Whiteboard u koju ćete uvesti slike/zadatke. Broj centara, kao i broj zadataka u svakom centru, trebao bi odgovarati broju skupina na koje ćete podijeliti učenike u razredu. Svaku bijelu ploču podijelite s članovima tima (poveznicom u mrežnom pregledniku ili QR kodom). Primjer centra možete pogledati ovdje.

Nakon što rasporedite učenike u skupine, podijelite skupinama prethodno generirane poveznice na online bijele ploče (radne centre). To možete napraviti koristeći se primjerice Yammerom. S obzirom na to da rješenje pojedinog zadatka ovisi i o točnosti rješavanja prethodnog zadatka, porazgovarajte s učenicima o timskom radu i važnosti suradnje unutar skupine. Najprije neka svaka skupina rješava prvi zadatak u svojom radnom centru (npr. 1. skupina rješava 1. zadatak u Radnom centru 1, 2. skupina u Radnom centru 2 itd.). Kad su gotovi, prelaze na sljedeći zadatak u sljedećem radnom centru, koristeći se rješenjem prethodne skupine. Učenici nastavljaju rješavanje, prolazeći kroz virtualne radne centre, sve dok svi zadatci u njima ne budu riješeni. Na taj način svaka skupina rješava točno jedan zadatak u svakom centru. Ograničite vrijeme rješavanja pojedinog zadatka i dogovorite se s učenicima da na ploču ispod zadatka koji rješavaju zapišu oznaku skupine.

Na kraju zajedno prođite po virtualnim radnim centrima, raspravite o rješenjima po skupinama i prokomentirajte svaki zadatak. Rješenja možete pripremiti u prezentaciji koristeći se PowerPointom Online ili Google prezentacijama. Svaki zadatak neka bude na zasebnom slajdu. Nakon provjere rješenja, na satu ili za domaću zadaću (prema raspoloživom vremenu), članovi iste skupine, ako nisu točno riješili neki zadatak, zajednički neka ispravljaju grešku(e) pomažući jedni drugima.

Postupci potpore

Učenike s teškoćama svakako uključite u timski rad, no zadatci moraju biti prilagođeni tako da mogu uspješno sudjelovati. To znači da će zadatci za skupinu u kojoj se nalazi učenik s teškoćama biti prilagođeni s obzirom na težinu i izgled (font itd.). Za učenike s oštećenjem vida zadatci neka budu zadani na primjeren način – veći font, jači tisak ili Brailleovo pismo. Rješenja zadataka uvijek je dobro prokomentirati na satu zajedno s učenicima s teškoćama. S obzirom na to da se aktivnost odvija na naprednoj razini digitalne zrelosti te zahtijeva i visoku razinu timskoga rada, učenike s teškoćama kontinuirano vodite kroz aktivnost, potičite ih na aktivan rad u timu te im pružite potporu u rješavanju zadataka.

Koristeći se GeoGebrom, programom dinamične geometrije, učenici neka samostalno istražuju omjer opsega sličnih trokuta i omjer površina sličnih trokuta. Upute kako u GeoGebri konstruirati trokut i njemu sličan trokut s promjenjivim koeficijentom sličnosti (klizač) možete pogledati u videozapisu Mala škola GeoGebre – sličnost trokuta, u trajanju od 3:04 min.

Promjenom vrijednosti klizača mijenja se koeficijent sličnosti trokuta pa učenici mogu provjeriti svoje pretpostavke na velikom broju trokuta. Dogovorite s učenicima da u bilježnice nacrtaju dvije tablice: jednu za provjeru omjera opsega, a drugu za provjeru omjera površina sličnih trokuta. Za svaki promatrani par trokuta neka učenici u tablicu bilježe koeficijent sličnosti k, izračunaju opseg/površinu prvog trokuta (O odnosno P) i njemu sličnog trokuta (O’ odnosno P’) te na kraju izračunaju količnik O’/O odnosno P’/P. Neka izračune naprave za najmanje pet različitih parova trokuta kako bi bili sigurniji u donošenju zaključka.

Uputite učenike da svoje izračune mogu vrlo jednostavno provjeriti u GeoGebri uz pomoć alata Udaljenost (klikom na dužinu izračunava se njezina duljina, a klikom u unutrašnjost mnogokuta njegov opseg) i Površina.

Nakon toga učenici mogu provjeriti jesu li razumjeli i provježbati sadržaje u dvije online vježbe: (1) Vježbalica – opseg sličnih trokuta i (2) Vježbalica – površine sličnih trokuta. S obzirom na to da se u vježbama bilježe i negativni bodovi u slučaju netočnog rješenja, lakše ćete uočiti eventualne poteškoće u primjeni ili nerazumijevanje sadržaja kod pojedinih učenika, pa im prema potrebi dati dodatna pojašnjenja.

Postupci potpore

Upute za gledanje videozapisa i uporabu digitalnih alata nalaze se u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama, pri čemu posebnu pozornost treba usmjeriti na način gledanja videozapisa za učenike s oštećenjem sluha i učenike s oštećenjem vida. S obzirom a to da predloženi videozapis u prilično brzom ritmu pokazuje način rada u GeoGebri, zasigurno će biti potrebno s učenicima s teškoćama polako ponoviti i objasniti pokazane postupke. Osim toga, pri izračunavanju površine i opsega trokuta vodite računa o tome da učenici mogu izračunati zadane veličine, što znači da će raditi s manjim brojevima i, ako je potrebno, uz uporabu kalkulatora. Neki učenici s teškoćama izračunavat će samo opseg, što je prije rješavanja potrebno ponoviti. I pri zadavanju online vježbi zadatke prilagodite težinom, a učenike upoznajte s načinom rada u predloženom alatu. Učenici s oštećenjem vida neka rade uz pomoć reljefnih trokuta, koje će mjeriti zvučnim metrom ili trokutom/ravnalom na kojem su centimetri označeni ispupčenjem.

Porazgovarajte s učenicima o tome jesu li se ikada zapitali kolika je udaljenost od njihove kuće do primjerice obližnjeg igrališta ili do najbliže trgovine. Potaknite ih da razmisle koja bi mjerenja mogli obaviti i kako bi odredili nepoznate udaljenosti. Razgovarajući o njihovim prijedlozima, upoznajte učenike sa zanimanjem geodeta, što geodeti radi i gdje su nam u svakodnevnom životu potrebna geodetska mjerenja.

Provedite s učenicima praktičnu aktivnost određivanja udaljenosti do odabranog udaljenog objekta uz pomoć teodolita i primjenom sličnosti pravokutnih trokuta. Dogovorite s učenicima da kod kuće izrade svoj priručni teodolit (za mjerenje veličine vodoravnih i/ili okomitih kutova) kojim će se kasnije u praktičnom radu koristiti za mjerenje veličina kutova pravokutnog trokuta. Osim priručnog teodolita, za određivanje udaljenosti potrebni su metar (po mogućnosti na razvlačenje ili, ako je dostupan, mjerni kotač), vrpca te markeri kojima će označiti vrhove pravokutnog trokuta. Opis kako izraditi jednostavan priručni teodolit te ga upotrijebiti za posredno mjerenje udaljenosti možete pronaći na poveznici. Mrežna stranica je na engleskom jeziku.

Objašnjenje postupka

Pretpostavimo da želimo odrediti udaljenost do nekog udaljenog stabla u prirodi. Zamislimo pravokutan trokut s osnovicom (katetom) čija je jedna krajnja točka mjesto na kojem stojimo, a udaljeno stablo nasuprotan je vrh osnovice. Možemo zamisliti beskonačan broj takvih trokuta. Jedna je od mogućnosti prikazana na slici (slika je izrada autorice SP, a crtež stabla je s besplatnog portala Clker):

Najprije je potrebno odrediti mjeru dvaju kutova u trokutu, a zatim izmjeriti i duljinu jedne stranice trokuta kako biste kasnije mogli odrediti omjer duljina izmjerene stranice i odgovarajuće stranice u sličnom trokutu. Postavite marker na mjesto na kojem stojite (točka B). Koristeći se teodolitom i vrpcom označite pravac na kojem će biti osnovica tako da bude okomit na pravac između mjesta na kojem stojite (točka B) i udaljenog stabla (točka C). Zatim na tom pravcu odaberite proizvoljnu točku A, označite je markerom i koristeći se metrom izmjerite udaljenost između točaka A i B. Na kraju, stojeći na mjestu točke A, uz pomoć teodolita izmjerite veličinu kuta ∠CAB. Skicirajte trokut ABC i zabilježite kutne mjere kutova pri vrhovima A i B, kao i njihovu stvarnu udaljenost.

Nakon što objasnite učenicima kako na opisan način određivati udaljenosti, odaberite primjerice tri udaljena objekta vidljiva iz školskog dvorišta ili sa školskog igrališta i za svaki od tih objekata označite točku gledišta (točka B iz objašnjenja postupka). Podijelite učenike u skupine prema broju odabranih objekata i svaka skupina neka počinje mjerenja na jednom mjestu te nakon određenog vremena prelazi na sljedeće, dok ne prođu sve radne centre. U dogovoru s učenicima ograničite vrijeme za rad u pojedinom centru. Neka učenici po skupinama samostalno organiziraju rad i dogovore se tko će fotografirati pojedine faze mjerenja. Nakon što prođu kroz sve centre, učenici na temelju prikupljenih mjera mogu odabrati mjerilo i konstruirati slične pravokutne trokute uGeoGebri. Koristeći se GeoGebrinim alatima jednostavno mogu odrediti duljine stranica tih trokuta i na temelju odabranog mjerila primjenom sličnosti trokuta izračunati stvarnu udaljenost objekta.

Na kraju usporedite rezultate po skupinama. Posebno će zanimljiva biti rasprava ako su dobivene različite udaljenosti za isti objekt: Jesu li razlike u mjerenju veličine kuta i/ili duljine katete pravokutnog trokuta ili u primjeni sličnosti trokuta? Potaknite učenike da po skupinama osmisle i izrade digitalni plakat u koji će uključiti opis postupka mjerenja, izradu i fotografije priručnog teodolita, fotografije mjerenja, postavljanje i rješavanje jednog od ponuđenih zadataka te prikaz rješenja u GeoGebri (mogu u GeoGebrinu apletu snimiti sliku zaslona). Plakat mogu izraditi koristeći se alatom Canva.

Postupci potpore

Učenicima s teškoćama bit će potrebna dodatna potpora pri izradi priručnog teodolita te objašnjavanju njegove funkcije i uporabe, što se odnosi na učenike s motoričkim teškoćama, učenike s intelektualnim teškoćama, učenike s oštećenjem vida, učenike s specifičnim teškoćama poučavanja te učenike s poremećajem iz autističnog spektra. Upute za izradu potrebno je pojednostavniti. Pri mjerenju udaljenosti na igralištu učenici s teškoćama unutar skupine neka izvode radnje koje su primjerene njihovim mogućnostima, a za rad u digitalnom alatu dobiju detaljne upute i potporu pri samoj uporabi alata, odnosno rješavanju zadataka.

Za učenike koji žele znati više

Porazgovarajte s učenicima o tome gdje bi još mogli primijeniti sličnost trokuta u neposrednoj stvarnosti i predložite im da samostalno istraže moguće načine određivanja visine odabranog objekta. Neka odaberu jednu metodu (štap i sjena, vlastita sjena ili ogledalo) i neki objekt u svojoj okolini te obave potrebna mjerenja kako bi kasnije primjenom sličnosti trokuta izračunali nepoznatu visinu.

Možete im predložiti da aktivnost provedu u parovima radi lakšeg mjerenja u prirodi i fotografiranja postupka mjerenja. Primjerice, jedan se učenik može postaviti na odgovarajuće mjesto u odnosu na objekt kojemu želi izračunati visinu, a drugi učenik može fotografirati tu situaciju. Nakon što naprave potrebna mjerenja, mogu prenijeti fotografiju na osobno računalo, otvoriti je u GeoGebri i na fotografiji konstruirati odgovarajuće slične trokute. Koristeći se GeoGebrinim alatima mogu na jednostavan način odrediti duljine stranica tih trokuta te na temelju odabranog mjerila i prethodno provedenih mjerenja primjenom sličnosti trokuta izračunati visinu objekta.

Za kraj možete pripremiti i prigodnu razrednu izložbu obrađenih fotografija, urediti razredni pano ili uporabom nekih od Office 365 alata, primjerice Sway, možete s učenicima izraditi e-knjigu. Analizirajte s učenicima koju su metodu odabrali za izračun visine objekta iz svoje okoline, koja su mjerenja morali obaviti, kako su odredili mjerilo u kojem je izrađena fotografija, gdje su i kako primijenili sličnost trokuta i sl.