U ovoj će aktivnosti učenici izraditi razne modele brojevne kružnice.

Za početak ponovite s učenicima što je radijanska mjera.

1. Radijani na kotaču bicikla

Svrha je ove aktivnosti uvesti radijansku mjeru u situaciji kada ona nastaje prirodno. Radijanska mjera je duljina luka kružnice, a udaljenost koju kotač prijeđe također je duljina kružnog luka.

Za ovu je aktivnost poželjno da nekoliko učenika doveze bicikle u školu. Ili učenici aktivnost mogu provesti kod kuće samostalno, dokumentirati cijeli proces fotografijama ili videozapisom i predati na Google Classroom ili Microsoft Teams. Predane radove pregledajte pa naknadno s učenicima komentirajte.

Učenike podijelite u timove i dodijelite im uloge. Za svaki tim pripremite samoljepljive listiće s brojevima od 0 do 7 i komade vrpce duljine do 1 metra. Učenici će na proizvoljno mjesto na kotaču nalijepiti listić s brojem 0. Vrpcu koju su odrezali na duljinu polumjera kotača bicikla potrebno je razvući i učvrstiti na pod. Kotač bicikla postave na vrpcu tako da je listić s brojem 0 na početku vrpce, gurnu bicikl i stanu kada je taj kotač stigao do kraja vrpce. Na to mjesto na kotač nalijepe listić s brojem 1. Tada premjeste bicikl tako da se listić s brojem 1 na kotaču nalazi na početku vrpce, gurnu bicikl i stanu kada je taj kotač stigao do kraja vrpce i na to mjesto na kotač nalijepe listić s brojem 2. Postupak ponavljaju sve dok ne dođu do listića s brojem 0 na kotaču.

Učenici će napisati kratko izvješće o aktivnosti koju su proveli. Trebaju objasniti koliko su samoljepivih listića potrošili i zašto. Neka povežu radijansku mjeru s putom koji je kotač prošao. Kada će se kotač rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu ako se bicikl kreće naprijed? O čemu to ovisi?

Na Padlet ploči otvorite stupac za svaki tim. Učenici će tamo postaviti svoja izvješća. Svakom timu pridružite izvješće nekoga drugog tima. Nakon što ih prouče, timovi komentiraju kako su radili, jesu li dobili jednake zaključke te što su radili i zaključivali različito.

2. Radijani na CD-u

Učenici rade u timovima. Za svaki tim pripremite CD ili krug izrezan od čvrstog kartona, vrpcu duljine malo veće od polumjera CD-a ili kruga i flomaster. Učenici će vrpcu odrezati na duljinu polumjera CD-a ili kruga. Na jedno mjesto na rubu zapisat će broj 0 te će vrpcom obilaziti rub i uz rub zapisivati brojeve 1, 2, 3... dok ne obiđu cijeli krug.

Na kraju provedite raspravu s učenicima o tome što predstavljaju brojevi koje su zapisali na CD, kada će vrtnja biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i mogu li taj krug povezati s nekim poznatim geometrijskim priborom.

Neka sada učenici prouče e-Škole DOS Matematika 3, Modul 4, Jedinica 4.1., Brojevna kružnica.

3. Tehnologija dolazi u pomoć

Učenici će u programu Geogebra izraditi model brojevne kružnice na kojoj će biti označeni realni brojevi – mjera luka u radijanima, primjerice. Te će modele tiskati na prozirne folije, izrezati krugove i tim će se "radijanomjerom" koristiti u daljnjem istraživanju trigonometrije.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina te da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na osobnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) i na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć, u spomenutom se slučaju to odnosi na gradivo vezano za brojevne kružnice.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjegla situacija da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pripazite da je posao unutar skupine podijeljen ovisno o jakim stranama učenika.

Tijekom razredne rasprave ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako sami ne izraze želju.

U samostalnom radu predvidite da će učenici s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za proučavanje zadataka na Edutoriju.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnom jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Ova se aktivnosti nastavlja na aktivnost radijanomjer. Učenici će, nakon brojevne kružnice, otkriti kako se definiraju trigonometrijske funkcije na brojevnoj kružnici.

Pripremite u programu Geogebra aplet u kojemu je prikazano kako se definiraju funkcije sinus i kosinus broja na brojevnoj kružnici slično kao u apletu Definicija i vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Učenici rade u parovima, proučavaju aplet te sami oblikuju i zapišu definicije. Kako biste mogli zajednički analizirati i komentirati njihove odgovore, prikupite ih u alatu Mentimeter. Odaberite različite definicije, pročitajte ih naglas i raspravite jesu li smislene i korektne. Učenici će, uz vođenu raspravu i koristeći se zapisanim definicijama, oblikovati zajedničke definicije trigonometrijskih funkcija. Uputite ih da ih usporede s definicijama u e-Škole DOS Matematika 3, Modul 4, Jedinica 4.2. Važno je s učenicima komentirati razliku između mjere luka i mjere kuta, koja je mjerna jedinica kuta, a što je duljina luka.

Neka učenici na radijanomjerima koje su izradili u prošloj aktivnosti očitaju vrijednosti trigonometrijskih funkcija za 1, 2, 3 ... 6 radijana.

Sada podijelite učenike u grupe. Neka razmisle i/ili na internetu istraže gdje se trigonometrijske funkcije koriste u stvarnome životu. Zatim će u programu Canva izraditi plakat na kojem će biti zapisane i grafički prikazane definicije trigonometrijskih funkcija te njihova primjena u stvarnome životu. Potaknite ih da uz opis primjene prilože i neku fotografiju ili sami nacrtaju sliku. Za svaku grupu otvorite stupac na Padlet ploči gdje će učenici postaviti plakate. Organizirajte prezentacije plakata. Zajednički komentirajte zapisane definicije i primjere primjene. Izdvojite što više različitih primjena trigonometrijskih funkcija koje su učenici zapisali. Potaknite ih da razmisle što je specifično ili drukčije u tim primjenama da za njih upotrebljavamo trigonometrijske funkcije, što ih razlikuje od funkcija koje su do sada uvedene.

Postupci potpore

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim koracima, preporučuje se upotrijebiti boje. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

Tijekom razredne rasprave ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim sami ne izraze želju. Tijekom razredne rasprave nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio. Nakon rasprave omogućite učeniku s teškoćama odgovore na pitanja koja su se postavljala u raspravi.

Za učenike koji žele znati više

Učenike koji žele znati više uputite da prouče u kakvoj su vezi definicije sinusa i kosinusa broja i trigonometrijski omjeri u pravokutnom trokutu. Također neka istraže funkcije sekans i kosekans, kako su definirane i gdje se koriste. Za ostale učenike u razredu mogu pripremiti prezentaciju koju će podijeliti na Padlet ploči.

Nakon što su učenici definirali trigonometrijske funkcije broja, u ovoj će aktivnosti povezivati točke na brojevnoj kružnici i vrijednosti trigonometrijskih funkcija kao u e-Škole DOS Matematika 3, Modul 4, Jedinica 4.2., Zadatak 2.

1. Igra uparivanja

Podijelite učenike u peteročlane grupe. Svaki učenik treba složiti jedan zadatak: u programu Geogebra nacrtati brojevnu kružnicu i označiti na njoj jednu točku i spremiti kao sliku. U drugi dokument zapisati čemu je jednak sinus ili kosinus broja koji ta točka na kružnici predstavlja te također spremiti kao sliku. Uputite učenike da biraju vrijednosti koje se mogu lako razlikovati i očitati na slici. Svaka će grupa od svojih zadataka složiti virtualnu igru Memory (Pairing Game) u obrazovnoj aplikaciji LearningApps i odigrati igru koju je složila susjedna grupa. Učenici će uparivati sliku brojevne kružnice s ucrtanom točkom i odgovarajuću vrijednost funkcija sinus i kosinus.

Na kraju komentirajte s učenicima kako su rješavali zadatke, tražite da objasne zaključivanje uz ponavljanje definicija trigonometrijskih funkcija.

2. Zavrtimo kotač sreće

Postavite kotač bicikla ili veći krug izrezan od kartona tako da se može vrtjeti oko središta. Zamislimo da je koordinatni sustav postavljen tako da je ishodište u središtu kruga. Kotač ili krug od kartona predstavljat će brojevnu kružnicu. Na rubu označite jednu točku. Jedan učenik izlazi pred ploču, drugi mu učenik zadaje zadatak gdje da postavi označenu točku zadajući, primjerice, koliki je $\sin \left(t\right)$ ili $\cos \left(t\right).$ Učenik pred pločom mora rotirati krug i namjestiti ga na sve položaje za koje vrijedi uvjet. Ako je točno riješio, zadaje zadatak sljedećem učeniku i tako dalje.

Na kraju neka nekoliko učenika glasno ponovi definicije trigonometrijskih funkcija broja.

3. Domino

Podijelite učenike u grupe po četiri. Pripremite oko deset zadataka primjene sinusa i kosinusa broja koji se rješavaju jednostavnom trigonometrijskom jednadžbom, primjerice, $\sin t=0.2$ ili $\cos t=0.$ Domino sa zadatcima izradite koristeći se nekim programom za obradu teksta, primjerice Word. U jedno polje pločice zapišite tekst zadatka, a u drugo polje stavite grafičko rješenje na brojevnoj kružnici tako da se zadatak i rješenje nastavljaju na susjednim pločicama. Kada učenici završe igru, provjerite jesu li sve ispravno obavili. Ako u nekoj grupi nisu sve pločice ispravno postavljene, tražite da učenici objasne kako su radili i neka pokušaju sami otkriti grešku.

Na kraju aktivnosti provedite raspravu o trigonometrijskim funkcijama, gdje se koriste, smatraju li učenici da su korisne ili ne. Možete organizirati i neku vrstu debate.

Kako provesti aktivnost u online okruženju

Uspostavite videopoziv putem Zooma.

Zadajte zadatak učenicima: svaki učenik treba u Geogebri nacrtati brojevnu kružnicu i označiti na njoj jednu točku te zapisati čemu je jednak sinus ili kosinus broja koji ta točka na kružnici predstavlja. S pomoću Beakout Rooma podijelite učenike u peteročlane grupe. Svaka će grupa od učeničkih zadataka svoje grupe složiti virtualnu igru Memory (Pairing Game) u obrazovnoj aplikaciji LearningApps i odigrati igru koju je složila susjedna grupa. Učenici će uparivati sliku brojevne kružnice s ucrtanom točkom i odgovarajuću vrijednost funkcija sinus i kosinus.

Vratite sve učenike u zajednički videopoziv. Podijelite s učenicima aplet izrađen u Geogebri Definicije trigonometrijskih funkcija. Prozovite dvojicu učenika od kojih jedan zadaje zadatak gdje da se postavi točka A zadajući, primjerice, koliki je sinus kuta koji određuje točka A ili kosinus kuta, a drugi treba pomaknuti točku na kružnici. Ako je točno riješio, on zadaje zadatak sljedećem učeniku kojeg odabere i tako dalje.

Za kraj osmislite pitanja za formativno vrednovanje da/ne pitalicama u Mentimetru kojima ćete provjeriti jesu li učenici usvojili definicije trigonometrijskih funkcija te pridružuju li točki na kružnici odgovarajuću vrijednost trigonometrijske funkcije.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjegla situacija da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pripazite da je posao unutar skupine podijeljen ovisno o jakim stranama učenika.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u skupini s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom rada u skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman pomoći (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Ne inzistirajte na tome da pred ploču ide učenik koji ima izražene teškoće (npr. diskalkulija, disgrafija, izražena anksioznost), osim ako sam za to ne izrazi želju.

Tijekom provedbe aktivnosti na daljinu provjeravajte s učenicima s teškoćama kako se snalaze u pojedinim fazama aktivnosti te im prema potrebi pomognite. Kod učenika s poremećajem pažnje / poremećajem hiperaktivnosti provjeravajte prati li događaje jer je u virtualnom obliku slabija kontrola nastavnika. Za učenike s poremećajem iz autističnog spektra važno je najaviti svaku promjenu aktivnosti ili promjenu u prostoru provođenja aktivnosti jer imaju potrebu održavati ustaljenost i rutinu.