U ovoj će aktivnosti učenici otkriti hiperbolu kao krivulju.

Na početku će svaki učenik dobiti papir s nacrtanom kružnicom i jednom točkom izvan kružnice. Papir će presavijati tako da bilo koja točka s kružnog luka padne na označenu točku izvan kružnice. Postupak će ponavljati dok pregibima ne „obiđu” cijeli krug. Učenici će uočiti da presavijanjem papira dobivaju obris krivulje, a neki će vjerojatno znati da je riječ o hiperboli. Potaknite ih da opišu gdje su sve vidjeli hiperbolu i u kojem svojstvu. Zatim neka u paru riješe sljedeći zadatak:

Neka su A i B dvije mjerne postaje na obali koje su međusobno udaljene 400 kilometara. Prema njima je istodobno emitiran signal s broda T. Signal je došao u postaju A 600 mikrosekundi prije nego u postaju B. Ako radijski signal putuje brzinom od 0.37 km u mikrosekundi, odredite moguće položaje broda T. Pri rješavanju zadatka učenike uputite da se koriste programom dinamične geometrije kao što je GeoGebra.

Rješavanjem tog zadatka učenici će konstrukcijski dobiti jednu granu hiperbole i zapravo će ilustrirati, odnosno dati matematičku pozadinu presavijanja. Ako učenici imaju problema s konstrukcijom, pomognite im potpitanjima i usmjerite ih u početnim koracima konstrukcije. Ako mislite da je konstrukcija općenito prezahtjevna za vaše učenike, pokažite im gotovu konstrukciju. U tom će slučaju učenici pomicati točku na kružnici i vidjeti koja točka ostavlja trag te ocrtava hiperbolu. U alatu GeoGebra mogu se i pogledati koraci konstrukcije. Svakako neka učenici povežu konstrukciju i presavijanje papira te objasne postupak dobivanja grane hiperbole.

Na kraju ćete zajedno s učenicima razgovarati o tome koji su podatci bili zadani, što je određivalo konstruiranu hiperbolu, kako je definirati riječima i simbolima te uvesti osnovne pojmove.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Ako postoji potreba i ovisno o stupnju teškoće, za učenike s motoričkim teškoćama osigurajte fizičku potporu vršnjaka, npr. za precizno presavijanje papira.

Učenici s teškoćama će bolje raditi u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Suučenik bi prema potrebi mogao usmjeravati učenika s teškoćama ili mu pomagati, no pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici ponoviti definiciju hiperbole i glavne pojmove vezane za hiperbolu. Aktivnost je predviđena za rad u paru i uporabu pametnog telefona, tableta ili računala.

Pronađite fotografiju nekoga rashladnog tornja, kao što je, primjerice, ova fotografija rashladnog tornja nuklearne elektrane u Kataloniji. Zadatak je učenika otkriti jednadžbu hiperbole koja oblikuje rashladni toranj. Učenicima ćete dati poveznicu na fotografiju, a oni će je kopirati i umetnuti u koordinatni sustav u programu GeoGebra.

Ako su poznate stvarne dimenzije tornja, učenici neka prilagode jediničnu dužinu na koordinatnim osima i pokušaju dobiti jednadžbu. Ako nisu dostupni podatci o dimenzijama tornja, učenici neka odrede jediničnu dužinu prema nekim elementima s fotografije čije se dimenzije mogu lako procijeniti.

Da bi dobili jednadžbu, učenici se mogu koristiti klizačima za realnu i imaginarnu poluos, nacrtati hiperbolu te pomicati klizače i namještati nacrtanu hiperbolu dok se ne preklopi s vanjskim obrisima tornja. Također, mogu sa slike odrediti realnu os, pročitati koordinate jedne točke te s pomoću jednadžbe algebarski dobiti imaginarnu poluos. Isto tako mogu pročitati koordinate dviju točaka i s pomoću sustava jednadžbi dobiti rješenje.

Kad riješe zadatke, nastavnik će pozvati parove koji su imali različiti pristup da opišu način na koji su došli do jednadžbe te komentirati njihova rješenja i preciznost. Pri tome će ih potpitanjima potaknuti da se koriste matematičkim jezikom. Primjerice, odgovarat će na pitanja: Gdje je središte dobivene hiperbole? U kojim su točkama tjemena tvoje hiperbole? Kako glase jednadžbe asimptota? Odredite realnu os, poluos, imaginarnu os i poluos te hiperbole. Što je njezin linearni, a što numerički ekscentricitet?

Jesu li svi učenici savladali te osnovne pojmove, nastavnik će provjeriti kratkim kvizom u kojemu će biti nacrtana hiperbola u koordinatnom sustavu s označenim osnovnim elementima (tjeme, središte, polumjer, vektori neke točke, asimptote), a učenici će odgovarati na pitanja slična prije navedenima. Kviz se može izraditi u alatu Kahoot.

Za kraj učenici neka istraže zašto rashladni tornjevi imaju oblik hiperbole.

Postupci potpore

Za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

I u toj aktivnosti imajte na umu da će učenici s teškoćama bolje raditi u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Suučenik bi prema potrebi mogao usmjeravati učenika s teškoćama ili mu pomagati, no pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi.

Pri rješavanju kviza Kahoot imajte na umu da je učenicima s teškoćama (npr., specifične teškoće u učenju, jezične teškoće) potrebno više vremena za čitanje i/ili rješavanje zadatka. S obzirom na to, preporučuje se da nastavnik pročita pitanja i ponuđene odgovore prije nego što učenici imaju mogućnost odabrati točan odgovor. Možete im ponuditi i drugi način – pripremiti nastavne listiće na kojima zaokružuju rješenja prema vlastitoj procjeni.

Za učenike koji žele znati više

Učenici koji vole izrađivati modele neka naprave 3D model rashladnog tornja, odnosno hiperboloida koristeći se štapićima. Postoji velik broj videozapisa u kojima se mogu pronaći upute, primjerice videozapis Hyperbola from sticks.

Učenici koji to žele neka istraže zrcalna svojstva hiperbole i izrade prezentaciju u alatu PowerPoint sustava Microsoft Office 365.

U ovoj će aktivnosti učenici primijeniti definiciju i svojstva hiperbole u svakidašnjemu životu.

Učenici rade u tročlanim grupama i koriste se računalom, tabletom ili pametnim telefonom. Njihov je zadatak otkriti tajnu lokaciju, što može biti skriveni predmet, mjesto susreta i slično. Nastavnik će pripremiti interaktivni aplet u alatu GeoGebra tako da će neku odabranu mapu smjestiti u koordinatni sustav i omogućiti uporabu alata potrebnih za odabir točke, konstrukciju presjeka, kružnice, lokusa, hiperbole, odnosno sve ono što je potrebno za rješavanje zadatka. Učenici otvaraju aplet putem poveznice ili QR koda. Jedan član grupe odabire tajnu lokaciju i zapiše njezine koordinate tako da ih ne vide ostali članovi. Preostala dva člana moraju otkriti tajnu lokaciju. Svaki od ta dva člana pogađa jednu lokaciju, odnosno označava jednu točku na mapi, a prvi član smije samo reći kolika je razlika udaljenosti označenih točaka od tajne lokacije. Radi jednostavnosti, uputite učenike da odaberu točke s cjelobrojnim koordinatama.

Većina će učenika vrlo brzo uočiti da postoji više točaka za koju je razlika udaljenosti od odabranih točaka jednaka izrečenom broju pa će konstruirati nekoliko takvih točaka. Ako se znaju koristiti opcijom lokus, dobit će sve točke sa zadanim svojstvom i uočit će da je riječ o hiperboli kojoj su označene točke fokusi. Neki će se možda i odmah sjetiti definicije hiperbole i konstruirati hiperbolu s pomoću gotova alata za konstrukciju hiperbole. Nastavnik će pomoći učenicima koji prepoznaju da je riječ o hiperboli ili imaju ideju kako dobiti rješenje, ali nisu vješti s programom i tehničkom provedbom konstrukcije. Neki se učenici možda neće sjetiti da će tražena točka biti presjek dviju hiperbola, odnosno da moraju odabrati još dvije točke (barem još jednu) i provesti isti postupak još jedanput, pa će nastavnik nakon konstrukcije jedne hiperbole postaviti nekoliko potpitanja i potaknuti kratku raspravu, primjerice: Koliko najmanje točaka trebate odabrati (pogađati) kako biste dobili rješenje?

Nakon što su sve grupe riješile zadatak, pozovite nekoliko grupa da izlože svoj način rješavanja i da unutar grupe razmisle i/ili istraže kako se taj način lociranja koristio u Prvome i Drugome svjetskom ratu. Svaka grupa neka u skaldu s tim osmisli priču za svoj zadatak, odnosno svoju tajnu lokaciju.

Svoju će priču objaviti kao lažni novinski članak u alatu Fodey. Sve novinske članke učenici će podijeliti putem poveznice na forumu u sustavu Loomen. Svaka će grupa pročitati nekoliko priča ostalih grupa i komentirati na forumu barem jednu pročitanu priču.

Postupci potpore

Potaknite učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) da i se dalje koriste podsjetnikom s ključnim pojmovima i njihovim objašnjenjima.

Pri radu u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost ili kod učenika koji muca). Ako u razredu postoje učenici s poremećajem iz spektra autizma, potrebno im je najaviti strukturu sata na početku te svaku promjenu aktivnosti. Učenike s deficitom pažnje potrebno je uvrstiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Provjeravajte snalaze li se učenici s teškoćama u spomenutim alatima. Prema potrebi osigurajte i pisane upute sa slikovnim prikazima radi lakše uporabe alata. Učeniku s oštećenjem vida u digitalnim alatima prilagodite svjetlinu i kontrast na zaslonu te obratite pozornost na veličinu slova.