U ovoj ćete aktivnosti učenike potaknuti na razmišljanje o razlici između trenutačne i prosječne brzine.

Na početku pitajte učenike posjeduju li vozačku dozvolu. Neki su možda već iskusni vozači motocikla, a neki od njih možda već posjeduju vozačku dozvolu. Možda ima učenika koji su nedavno putovali izvan Hrvatske. Pitajte ih jesu li upoznati s činjenicom da neke države naplaćuju kazne za prebrzu vožnju na osnovi vremena ulaska i vremena izlaska s autoceste.

Postavite nekoliko konkretnih primjera.

Na dionici dugačkoj 100 km vozač je ušao na autocestu u 8 h, a izašao u 9 h. Hoće li mu biti uručena kazna za prebrzu vožnju? A ako je izašao u 8:40, a dopuštena je brzina $130km/h,$ hoće li tada trebati platiti kaznu? Naravno, u prvom je slučaju odgovor ne jer je vozač vozio prosječno $100km/\mathrm{h,}$ a u drugom je slučaju vozio brzinom $150km/h.$

Da bi učenici bili u mogućnosti točno odredili prosječne brzine, nužno je prisjetiti se fizikalne formule za brzinu: $v=\frac{s}{t},$ gdje je v brzina, s put, a t vrijeme. Komentirajte s učenicima možemo li biti sigurni da je prvi vozač cijelo vrijeme vozio brzinom manjom od $130km/h?$

Pripremite nekoliko grafičkih prikaza koji prikazuju različite v/t grafikone. U tu svrhu možete se koristiti programom GeoGebra. GeoGebra je specijalizirani računalni program koji je posebno pogodan za izradu grafova funkcija. Primjer grafikona izrađenog u GeoGebri nalazi se ovdje. Neka učenici u paru komentiraju primjer te procjene hoće li na izlazu s autoceste vozač platiti kaznu za prebrzu vožnju ili ne. Neka izračunaju prosječnu brzinu. U navedenom primjeru prosječna je brzina $100km/h$ pa vozač neće platiti kaznu. Zadajte učenicima da u paru sami izrade primjere v/t grafikona: jedan učenik iz para tako da je prosječna brzina manja od $130km/h,$ a drugi učenik tako da je veća od $130km/h.$ Svoje radove neka prilože u alatu Padlet u dva stupca: prosječna brzina manja od $130km/h$ i prosječna brzina veća od $130km/h.$ Važno je da uoče kako je moguće da trenutačna brzina bude veća od $130km/h$ a da prosječna bude manja od $130km/h.$

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama heterogenu skupinu i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri rješavanju zadatka.

Učenicima s teškoćama uvelike pomaže kada se gradivo poveže sa svakidašnjim životom, obogaćuje se konkretnim primjerima i upućuje na povezanost sa životom. No, potrebno im je omogućiti podsjetnike (npr. formula za brzinu) kako bi bolje surađivali u rješavanju zadataka koji slijede, što se posebno odnosi na učenike sa specifičnim teškoćama u učenju. No, to je potrebno omogućiti ostalim učenicima s teškoćama.

Pri davanju konkretnih primjera, pripremite ispisane listiće koji su grafičko i jezično prilagođeni učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju. Jezična prilagodba podrazumijeva kraće rečenice uobičajenog poretka riječi u rečenici s jasno izrečenim svim njezinim dijelovima, bez metafora, s izdvojenim i objašnjenim nepoznatim i/ili ključnim pojmovima. Grafička prilagodba podrazumijeva prilagodbe poput upotrebe određene vrste fonta (npr. OmoType, Arial, Verdana) koji je uvećan, dvostruki prored, povećani razmak među slovima te lijevostrano poravnanje. Grafička prilagodba važna je i za učenike s oštećenjem vida.

S učenicima s oštećenjem jezično-glasovne-govorne komunikacije i specifičnim teškoćama u učenju te učenicima s oštećenjem sluha provjeravajte jesu li razumjeli upute i zadatke.

Za učenike s teškoćama općenito je preporučljivo predvidjeti rad u paru kako bi, primjerice, suučenik prema potrebi mogao usmjeravati učenika s određenom teškoćom ili mu pomagati, no pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pružanje pomoći može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi. Ipak, svakako je važno za učenike s teškoćama predvidjeti više vremena za rješavanje zadatka.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju - savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnom jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Kako bi učenici povezali pojam puta, brzine i akceleracije mogu iskoristiti phet interaktivnu simulaciju The Moving Man. Nakon pokretanja aplikacije mogu izabrati dvije mogućnosti. Na prvoj se kartici čovjek može pomicati te istodobno pratiti njegov pomak (ako se pomiče samo udesno, to će predstavljati put), brzina i akceleracija. Na drugoj se kartici mogu promatrati grafovi na kojima se mogu uočiti pomak, brzina i akceleracija čovjeka s obzirom na proteklo vrijeme. Ta je simulacija ponajprije namijenjena za fiziku, ali se s pomoću nje jednostavno može uočiti pojam trenutačne brzine kao derivacija puta u određenom trenutku (točki) te također trenutačna akceleracija kao druga derivacija puta u određenom trenutku.

Da bi učenici shvatili razliku između prosječne i trenutačne brzine, podijelite ih u timove od po četiri učenika i svakom timu postavite jedan problem s konkretnom funkcijom i nizom pitanja. Jedan takav primjer naveden je ovdje.

Neko se tijelo giba pravocrtno i za vrijeme $t$ prijeđe put $s\left(t\right)=t^2+\mathrm{t,}$ gdje je $t$ vrijeme u satima, a $s\left(t\right)$ put u kilometrima.

Odredite:

a) Koliki put tijelo prijeđe za 1 sat? A za 2 sata? Za 3 sata? Za 4 sata? Za 5 sati?

b) Kolika je prosječna brzina tijela nakon prvog sata? A nakon drugog sata? Nakon trećeg sata? Nakon četvrtog sata? Nakon petog sata?

c) Kolika je prosječna brzina tijela od početka gibanja do prvog sata gibanja? Od 50. minute do 60. minute gibanja? Od 55. minute do 60. minute? Od 59. minute do 60. minute?

d) Kolika je trenutačna brzina tijela točno 1 sat nakon početka gibanja?

Svaki učenik u timu dobije jedan zadatak. Kako bi rješenja bila preglednija, pripremite im tablice koristeći se programom MS Excel u koje će upisivati svoje odgovore. Tablica za a) i b) dio zadatka može izgledati kao sljedeća.

vrijeme $t$ u $h$	1	2	3	4	5
put $s$ u $km$
brzina $v=\frac{s}{t}$ u $\raisebox{1ex}{$km$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$h$}\right.$

Za c) dio zadatka tablica neka izgleda kao u nastavku.

početak mjerenja u $h$ $t_0$	$0$	$\frac{5}{6}$	$\frac{11}{12}$	$\frac{59}{60}$
završetak mjerenja u $h$ $t_1$	1	1	1	1
vremenski interval u $h$ $t_1-t_0$
prijeđeni put $s\left(t_1\right)-s\left(t_0\right)$ u $km$
prosječna brzina u $\raisebox{1ex}{$km$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$h$}\right.$

Njihovi očekivani rezultati dani su u tablicama u nastavku.

vrijeme $t$ u $h$	1	2	3	4	5
put $s$ u $km$	2	6	12	20	30
brzina $v=\frac{s}{t}$ u $\raisebox{1ex}{$km$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$h$}\right.$	2	3	4	5	6

početak mjerenja u $h$ $t_0$	$0$	$\frac{5}{6}$	$\frac{11}{12}$	$\frac{59}{60}$
završetak mjerenja u $h$ $t_1$	1	1	1	1
vremenski interval u $h$ $t_1-t_0$	1	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{60}$
prijeđeni put $s\left(t_1\right)-s\left(t_0\right)$ u $km$	2	$\frac{17}{36}$	$\frac{35}{144}$	$\frac{179}{3600}\approx 0.0497$
prosječna brzina u $\raisebox{1ex}{$km$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$h$}\right.$	2	$\frac{17}{6}\approx 2.83$	$\frac{35}{12}\approx 2.92$	$\frac{179}{60}\approx 2.98$

Nakon izračunavanja podataka u tablici, vođa tima objavljuje odgovore ostalim učenicima u razredu. Koristeći se programom GeoGebra, nacrtajte graf funkcije $s\left(t\right)=t^2+t$ te istaknite točku B(1, 2) i točku A čija x vrijednost će se mijenjati u skladu s prvim redom tablice, a y vrijednost bit će vrijednost funkcije s. Izračunajte kvocijent $\frac{s\left(x_B\right)-s\left(x_A\right)}{x_B-x_A}.$ Koristeći se GeoGebrom, provjerite rješenja učenika.

Komentirajte s učenicima kada će prosječna brzina biti sličnija trenutačnoj brzini jedan sat nakon početka gibanja.

Očekuje se da učenici zaključe kako je za određivanje trenutačne brzine gibanja nekog tijela potrebno smanjivati vremenske intervale i obratiti pozornost na prirast funkcije. Time se dolazi do ideje da nam je za određivanje trenutačne brzine potreban limes kvocijenta prirasta vrijednosti funkcije i prirasta argumenta.

Kao i u prethodnoj aktivnosti, dopustite učenicima s teškoćama, posebice učeniku sa specifičnim teškoćama u učenju, da se koristi podsjetnikom (formulom). Pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim koracima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste kad budu samostalno rješavali zadatke.

U samostalnom radu predvidite više vremena za rješavanje zadatka ili osigurajte manji broj zadataka (npr. u prvom zadatku trebaju riješiti samo: Koliki put tijelo prijeđe za 1 sat, za 2 sata i za 4 sata?). Uz to je važno pripremiti pitanja na način da je svaki podzadatak u posebnom retku te da pri tome učenik s teškoćama ima dovoljno prostora za računanje i pisanje odgovora.

Učenici s oštećenjem jezično-glasovne-govorne komunikacije i specifičnim teškoćama u učenju katkad imaju problema u očitavanju tablica, zato je važno provjeriti s učenikom razumije li zadatak i na koji će način izraditi tablicu.

Koristeći se definicijom derivacije funkcije, predložite učenicima da računajući limese kvocijenta te pokušaju odrediti pravila za deriviranje konstante funkcije, linearne funkcije, potencije, funkcije $f\left(x\right)=\frac{1}{x},$ $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ i sl. Kao pomoć može im poslužiti e-Škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.3. Zadatak 3 pokazuje kako odrediti derivaciju konstantne funkcije, zadatak 4 linearne funkcije, pod istražimo je derivacija potencije, a u kutku za znatiželjne pokazano je kako se s pomoću limesa određuje derivacija funkcija $f\left(x\right)=\frac{1}{x},$ $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

Kako bi učenici u ovoj aktivnosti povezali trenutačnu brzinu s nagibom tangente, iskoristit će primjere iz prethodne aktivnosti i izraditi grafičke prikaze i animacije problema koje su imali zadane u timovima.

Na početku zajedno pogledajte primjer iz e-Škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.2 i animaciju za primjer funkcije $s\left(t\right)=1.2t^2$ izrađene u programu GeoGebra, u kojoj je točka B animirana i približava se točki A, tj. određuje se trenutačna brzina u 10. sekundi. Taj primjer možete prebaciti i u videooblik koristeći se alatom Screencast-O-Matic te prikazati animaciju u videoformatu. Zajedno komentirajte zašto je potrebno približavanje točke B točki A i smanjivanje vremenskog intervala.

Ponovno podijelite učenike u timove i neka svaki tim izradi animaciju za svoj primjer funkcije. Za izradu animacije učenici se mogu koristiti klizačima u programu GeoGebra. Voditelji tima neka predstave svoj rad objašnjavajući što animacija prikazuje. Predložite učenicima da pri izradi animacija budu maštoviti te mogu umetnuti i neku sličicu biciklista koji se giba ili neku pozadinu. Na kraju izaberite najbolje animacije koristeći se digitalnim alatom Mentimeter.

Animacija se može i izraditi u nekom programskom jeziku. Ako učenici programiraju u Phytonu, mogu isprogramirati "pojam derivacije". Za učitanu funkciju i točku x neka ispisuju prosječne vrijednosti na intervalu $\left[k-x,k+\mathrm{x,}\right]$ gdje je $k$ varijabla koja se mijenja.

Za ovu je aktivnost ponovno važno učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju te učenicima s poremećajem iz spektra autizma pripremiti riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim koracima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite ima da se primjerom koriste kad budu samostalno rješavali zadatke. Također je ponovno važno osigurati dulje vrijeme za crtanje grafova ili im zadajte manji broj zadataka.

S učenicima s oštećenjem sluha provjeravajte jesu li razumjeli upute i zadatke.

S učenicima s teškoćama provjerite kako se snalaze u navedenim alatima i dopustite im da se koriste alatom s kojim su najbolje upoznati. Ako je potrebno, osigurajte učenicima pisane i slikovne upute za upotrebu nekog od alata. Učenicima s oštećenjem vida potrebno je prilagoditi svjetlinu i kontrast na zaslonu te obratiti pozornost na veličinu slova.

Animacija koja pokazuje kako sekanta prelazi u tangentu može se pogledati i na nekim drugim funkcijama. Primjer za kvadratnu, eksponencijalnu i funkciju korijena može se proučiti na grafovima izrađenima u GeoGebri. Kako bi shvatili pojam derivacije učenici mogu samostalno proučiti materijale na mrežnim stranicama Calculus page of Department of Mathematics at UT Austin. Nakon tekstualnog objašnjenja kako izgledaju graf funkcije i grafički prikaz derivacije te se funkcije može pogledati i videozapisu u kojem se objašnjava veza grafičkih prikaza funkcije i derivacije funkcije.

Također se može programirati "pojam derivacije" u nekome programskom jeziku. Za učitanu funkciju i točku x neka učenici ispišu prosječne vrijednosti na intervalu $\left[k-x,k+\mathrm{x,}\right]$ gdje je $k$ varijabla koja se mijenja.