U ovoj će se aktivnosti učenici upoznati s pojmovima maksimizacije, minimizacije i optimizacije.

Na početku podijelite učenike u tri tima. Pripremite kartice na kojima su ispisana tri pojma. Neka svaki tim odabere jedan od pojmova: minimizacija, maksimizacija i optimizacija. Zadatak je svakog tima izraditi plakat u alatu Canva na kojem će biti definicija pojma, primjeri iz svakodnevne upotrebe tog pojma te riješen jedan od zadataka koje ste unaprijed pripremili. Za određivanje definicije i pronalaženje primjera učenici se mogu služiti mrežnim stranicama. Zadatke vezane za svaki od pojmova pripremite u Wordu koristeći se sustavom Microsoft Office 365. Za rješavanje zadataka učenici se mogu koristiti alatom GeoGebra kako bi grafički predočili problem.

Prijedlog zadatka za optimizaciju: Proizvođač žitnih pahuljica s voćem (Müsli) želi pakirati svoj proizvod u kutije zapremnine 500 $c{m}^3$ s kvadratnom bazom tako da mu optimalno stanu u kockaste drvene kutije dimenzije $1m.$ Odredite dimenzije kutije žitnih pahuljica s voćem?

Prijedlog zadatka maksimizacije: Proizvođač sušenog voće želi od kartona u obliku pravokutnika dugačkog 50 i širokog 30 cm napraviti otvorenu kutiju tako da na kutovima izreže kvadrate i uzdigne strane. Odredite visinu kutije tako da njezin volumen bude maksimalan.

Prijedlog zadatka minimizacije: Proizvođač žitarica želi upakirati proizvod u kutiju u obliku kvadratne prizme kojoj su dno i poklopac izrađeni od materijala čija je cijena 4 $kn$ za $m^2,$ a bočne strane od materijala čija je cijena 3 $kn$ za $m^2.$ Kutija treba sadržavati 500 $c{m}^3$ sadržaja. Odredite dimenzije kutije tako da cijena proizvodnje bude minimalna.

Zadatak vođe tima je podijeliti uloge članovima u timu: netko će istraživati definiciju, netko tražiti primjere, grafički predočiti zadatak i riješiti zadatak. Vođe timova ostalim učenicima predstavljaju rad tima te objasne postupak rješavanja zadatka.

S učenicima razgovarajte o tome koja je razlika između zadatka optimizacije i maksimizacije? Možemo li ih zamijeniti? Neka učenici objasne svoje odgovore.

Za kraj možete s učenicima raspraviti je li doručak od sušenog voća zdrav? Koje su prednosti sušenog voća? Treba li u prehranu uvrstiti voće? Koliko su važne žitarice u svakodnevnoj prehrani?

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Važno je provjeriti s učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju i učenicima s jezičnim teškoćama razumiju li ključne pojmove (optimizacija, minimizacija, maksimizacija). Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

Provjeravajte snalaze li se učenici s teškoćama u spomenutim alatima. Prema potrebi osigurajte i pisane upute sa slikovnim prikazima radi lakše uporabe alata.

Tijekom rada u skupini važno je da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini također je važno da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje. Preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost ili ako učenik muca).

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju – savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici proučavati primjenu derivacija u ekonomiji.

Na početku pripremite u alatu Conceptboard praznu ploču i podijelite je poveznicom učenicima. Neka učenici na nju zapišu ili prilože asocijacije na riječ EKONOMIJA. Razgovarajte o njihovim asocijacijama.

Pogledajte s učenicima videozapis o upotrebi derivacije pri proizvodnji kolačića. Koristeći se alatom GeoGebra, prikažite grafički funkciju iz videozapisa. Komentirajte promjene vrijednosti derivacije funkcije u pojedinim točkama.

Podijelite učenicima poveznicu za digitalne obrazovne sadržaje, e-Škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.6. Uputite ih neka riješe zadatke od drugoga do petoga.

Nakon što su se učenici upoznali s problemima iz ekonomije u kojima upotrebljavamo derivacije, podijelite ih u parove. Svaki par treba pripremiti jedan problemski zadatak iz ekonomije, riješiti ga i upisati u zajednički kviz koji ste pripremili u alatu Kahoot. Pitanja neka budu s ponuđenim odgovorima i pritom uputite učenike da uz točan odgovor pokušaju tijekom rješavanja učiniti neku uobičajenu grešku te i takvo rješenje ponude kao odgovor u zadatku. Nakon što svi parovi upišu svoje zadatke, odigrajte kviz. Provjerite rezultate svih zadataka i komentirajte greške.

Kako provesti aktivnost u online okruženju

Uspostavite videopoziv putem Zooma. Otvorite opciju Whiteboard i omogućite učenicima da na praznu ploču zapisuju ili prilože poveznice na asocijacije na riječ EKONOMIJA. Pratite što i tko zapisuje te razgovarajte o njihovim asocijacijama.

Pogledajte zajedno s učenicima videozapis o upotrebi derivacije pri proizvodnji kolačića tako da na svojemu računalu pokrenete i podijelite zaslon s učenicima. Pokrenite alat GeoGebra i prikažite grafički funkciju iz videozapisa. Komentirajte promjene vrijednosti derivacije funkcije u pojedinim točkama mijenjajući vrijednosti u GeoGebri.

S pomoću chata podijelite učenicima poveznicu za digitalne obrazovne sadržaje, e-Škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.6. Uputite ih neka riješe zadatke od drugoga do petoga. Nakon desetak minuta zajedno provjerite rješenja.

Nakon što su se upoznali s problemima iz ekonomije u kojima upotrebljavamo derivacije, koristeći se opcijom Breakout Rooms, podijelite učenike u parove. Neka svaki par pripremi jedan problemski zadatak iz ekonomije, riješi ga i upiše u zajednički kviz koji ste pripremili u alatu Kahoot. Pitanja neka budu s ponuđenim odgovorima i pritom uputite učenike da uz točan odgovor pokušaju tijekom rješavanja učiniti neku uobičajenu grešku te i takvo rješenje ponude kao odgovor u zadatku. Nakon što svi parovi upišu svoje zadatke, odigrajte kviz. Provjerite rezultate svih zadataka i komentirajte greške.

Postupci potpore

Provjeravajte snalaze li se učenici s teškoćama u spomenutim alatima. Prema potrebi osigurajte i pisane upute sa slikovnim prikazima radi lakše uporabe alata.

Tijekom gledanja videozapisa osigurajte titlove za učenika s oštećenjem sluha. Ujedno ga možete smjestiti blizu izvora zvuka. Za učenike s oštećenjem vida osigurajte primjereno mjesto te prilagodite svjetlinu i kontrast na zaslonu. Učenicima s teškoćama dopustite da ponovno gledaju videozapis.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom biti potrebno dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da ih imaju manji broj. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, pritom se preporučuje upotrijebiti boje. Dopustite im da se koriste primjerom u samostalnom rješavanju zadataka.

Pri rješavanju kviza Kahoot imajte na umu da je učenicima s teškoćama (npr., specifične teškoće u učenju, jezične teškoće) potrebno više vremena za čitanje i/ili rješavanje zadatka. S obzirom na to, preporučuje se da nastavnik pročita pitanja i ponuđene odgovore prije nego što učenici imaju mogućnost odabrati točan odgovor. Možete im ponuditi i drugi način – pripremiti nastavne listiće na kojima zaokružuju rješenja prema vlastitoj procjeni.

Tijekom provedbe aktivnosti na daljinu (putem interneta) provjeravajte s učenicima s teškoćama kako se snalaze u pojedinim fazama aktivnosti te im prema potrebi pomognite. Kod učenika s deficitom pažnje provjeravajte prati li događaje jer je pri provedbi aktivnosti na daljinu slabija kontrola nastavnika. Za učenike s poremećajem iz autističnog spektra važno je najaviti i svaku promjenu aktivnosti ili promjenu u prostoru provođenja aktivnosti jer imaju potrebu održavati ustaljenost i rutinu.

Za učenike koji žele znati više

U videozapisu Solving Optimization Problems using Derivatives je pet problema vezanih za primjenu derivacije u ekonomiji. Neka učenici samostalno pokušaju riješiti te probleme i rješenja provjere u videozapisu.

U ovoj će aktivnosti učenici primjenjivati derivacije za rješavanje problema iz biologije i drugih znanosti.

Na početku komentirajte izreku Renea Descartesa: „Prema mojemu mišljenju, sve se stvari u prirodi događaju matematički.” Neka učenici pronađu primjere iz raznih područja u kojima se upotrebljava matematika. Također trebaju pronaći primjenu diferencijalnog računa.

Pogledajte s učenicima videozapis u kojem se primjenjuje diferencijalni račun Derivatives as Rates of Change: Population Growth. Komentirajte kako se mijenja broj komaraca te kada će biti maksimalan. Komentirajte matematički model promjene broja komaraca. Podijelite učenike u parove. Neka svaki par osmisli sličan primjer primjene diferencijalnog računa u biologiji. Treba odabrati neku populaciju životinja, proučiti način razmnožavanja te vrste, odrediti funkciju prema kojoj se mijenja broj jedinki i osmisliti priču vezanu za tu funkciju i vrstu životinje. Kao matematički model poželjno je da odaberu neku eksponencijalnu ili logaritamsku funkciju. Tu funkciju grafički mogu prikazati s pomoću alata WolphramAlpha, kao što je izrađeno u videozapisu. U priču mogu uvrstiti napad predatora, vremenske uvjete ili druge čimbenike koji mogu utjecati na broj te životinjske vrste. Priču neka oblikuju u videozapis u kojem će grafički prikazati funkciju i brzinu promjene populacije u određenim trenutcima. Za izradu videozapisa može se iskoristiti Screencast-O-Matic kojim se može snimiti sadržaj zaslona uz audio objašnjenje problema i rješenja problema.

U alatu Wakelet kreirajte kolekciju u koju će učenici spremiti svoje radove. Neka svaki par prikaže svoj videozapis, potakne raspravu vezanu za svoj problem i odgovori na pitanja ostalih učenika. Potaknite učenike da postave provokativna pitanja na koja je potrebno odgovoriti kreativno (npr., zbog čega je maksimalni broj jedinki upravo nakon određenog protoka vremena, zašto se smanjuje broj jedinki, kako se povećava broj jedinki, koliko potomaka ima određena životinjska vrsta, koliko često...). Ako učenici nemaju zamisli kakva će pitanja postaviti, vi počnite raspravu.

Na kraju neka svaki učenik odabere najbolji rad i uz njega stavi oznaku Like.

Postupci potpore

Prema potrebi osigurajte rad u paru za učenike koji imaju izražene teškoće u rješavanju zadatka. Vodite računa da je učenik s teškoćom u paru s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte s parom kako napreduje u obavljanju zadatka.

Tijekom gledanja videozapisa osigurajte titlove za učenika s oštećenjem sluha. Ujedno ga možete smjestiti blizu izvora zvuka. Za učenike s oštećenjem vida osigurajte odgovarajuće mjesto te prilagodite svjetlinu i kontrast na zaslonu. Učenicima s teškoćama dopustite da ponovno gledaju video.

Učenici s teškoćama će bolje raditi u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama.