U ovoj će se aktivnosti učenici upoznati s geometrijskim redom.

Na početku učenicima zadajte uvodni problem iz e-škole DOS Matematika 4, Modul 2, Jedinica 2.7., Na početku... Pogledajte animaciju te odgovorite na pitanja ispod animacije.

Duljine stranica kocaka čine geometrijski niz. Koristeći se alatom GeoGebra, grafički prikažite članove tog niza. Izradite klizač koji poprima samo cjelobrojne vrijednosti te neka argument eksponencijalne funkcije bude n, $f\left(n\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n\; –}1}.$ Istaknite neku točku na funkciji koja će se pomicati duž grafa i pokazivati vrijednosti niza te funkcije. Jednako definirajte funkciju koja će određivati zbroj tog niza, $g\left(n\right)=\frac{\mathrm{1\; –}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{\mathrm{1\; –}\frac{1}{2}}.$ Primjer možete pogledati na poveznici. Razgovarajte s učenicima o tome koje vrijednosti poprima taj geometrijski niz, čemu teže vrijednosti te čemu teži zbroj svih članova toga geometrijskog niza. Zajedno s učenicima izvedite definiciju limesa niza te mijenjajući kvocijent niza (u funkciji umjesto $\frac{1}{2}$ pogledajte što se događa za kvocijent $2,1,–1,–2,–\frac{2}{},\frac{1}{3}...$ ) definirajte geometrijski red.

Podijelite učenike u parove. Neka osmisle problem koji se može prikazati geometrijskim redom (npr., Odlučio si štedjeti. Prvi si dan uštedio 100 kn, a svaki sljedeći 50 % od prethodnog dana. Hoćeš li moći uštedjeti 1000 kn? Koliko bi najviše novca mogao uštedjeti na taj način?). Neka problem i rješenje prikažu grafički. Sve zajedno neka oblikuju u videozapis u kojem će opisati problem, grafički prikazati geometrijski red i objasniti rješenje problema. Svoje radove neka poslože u kolekciju u Wakelet te, koristeći se oznakom „sviđa mi se”, odaberu najbolji rad. Zajedno provjerite sve radove te, ako ima grešaka, komentirajte i objasnite zašto to nije primjer geometrijskog reda. Također se osvrnite na smislenost problema koje će učenici navesti.

Postupci potpore

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na osobnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će ih usmjeravati u radu i pomagati im. No pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju – savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnom jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će se aktivnosti učenici upoznati s geometrijskim nizom, općim članom geometrijskog niza i zbrojem prvih n članova geometrijskog niza.

Na početku razgovarajte o važnosti pravilnog čuvanja hrane, racionalnoj uporabi hrane te o zdravoj prehrani. Razgovarajte i o načinu razmnožavanja bakterija te osobito o brzini kojom se one razmnožavaju. Kojom se funkcijom može prikazati razmnožavanje bakterija?

Pogledajte zajedno videozapis o razmnožavanju bakterija.

U Wordu - Microsoft Office 365 pripremite nastavne listiće s problemima koji uključuju geometrijski niz. U nastavnim listićima neka budu zadatci s određivanjem članova s pomoću prethodnog člana množenjem s kvocijentom, s pomoću prvog člana množenjem s potencijom kvocijenta, zadatci s određivanjem zbroja n članova geometrijskog niza i s izvođenjem formule za zbroj n članova geometrijskog niza. Primjer takvog listića možete pogledati ovdje.

Svrstajte učenike u parove. Svaki učenik iz para dobiva isti nastavni listić. Učenici nastavne listiće rješavaju samostalno, a kad riješe, rješenja provjeravaju zamjenom listića s učenikom iz para. Kada završe s rješavanjem (provjere jesu li dobili iste rezultate te, ako nisu, razgovaraju i odrede točno rješenje), svaki par priprema plakat u alatu Canva u kojem prikazuje problem i postupak rješavanja uz objašnjenje što su i kako računali. Zajednički predstavljaju svoj plakat, a ostali učenici postavljaju potpitanja i razgovaraju o tome što je izračunano i što to predstavlja. Sve plakate možete ispisati i postaviti izložbu radova u učionici.

Postupci potpore

Učenicima s teškoćama (npr. specifične teškoće u učenju, poremećaj pažnje / hiperaktivni poremećaj) omogućite ponovno gledanje videozapisa. Tijekom drugoga gledanja zaustavljajte videozapis kako bi učenici razumjeli svaki postupak u obavljanju zadatka. Prema potrebi uključite učenika iz klupe kako bi učenik s teškoćama lakše riješio zadatak.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će ih usmjeravati u radu i pomagati im. No pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

U ovoj će se aktivnosti učenici upoznati s geometrijskim nizom, općim članom geometrijskog niza, računanjem zbroja geometrijskog niza i određivanjem limesa.

Podijelite učenike u timove od 6 učenika. Svaki tim neka dobije jedan problem.

Primjeri za probleme su: kultura bakterija koja se udvostručuje svaki sat i u kojoj je na početku bilo 100 bakterija; niz krugova koji počinje krugom polumjera 1 m, a promjer svakoga sljedećeg kruga jednak je polumjeru prethodnog; uzorak rude koji sadržava 1 kg radioaktivne tvari, a čije je vrijeme poluraspada 1 mjesec...

Za biranje koji će tim imati koji problem možete iskoristiti kolo sreće s brojevima od 1 do 6 izrađeno s pomoću mrežnog sjedišta Super Teacher Tools. Vođa tima zavrti kolo sreće te dobiveni broj predstavlja redni broj problema. Nakon toga svaki tim dobije šest listića na kojima je po jedno pitanje.

Sva pitanja odnose se na problem koji je tim izvukao.

Pitanja postavite tako da prvi učenik treba ispisati prvih 10 članova niza, drugi napisati opći član niza, treći učenik odrediti zbroj prvih 10 članova niza, četvrti napisati pravilo za određivanje zbroja prvih n članova niza, peti odrediti limes niza kad n teži u beskonačno te pitanje za šestog učenika neka bude izračunati zbroj svih članova niza (beskonačno mnogo).

Vođa tima podijeli pitanja svojim članovima. Svaki član tima samostalno rješava zadatke 5 minuta, a nakon toga timovi imaju 5 minuta za raspravu o zadatcima i rješenjima.

Da biste provjerili ishode te aktivnosti, izradite prezentaciju u alatu Wooclap koja se sastoji od svih problema i pitanja koji su se pojavili u radu u timu. U svako pitanje uvrstite mogućnost unošenja „open question”. Postavljajte pitanja svim učenicima odjedanput i skupite njihove odgovore. Nakon toga zamolite učenika koji je unutar tima rješavao taj problem i to pitanje da objasni svoje rješenje. Provjerite učenička rješenja te zajedno objasnite postupke rješavanja.

Postupci potpore

Tijekom rada su timu preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u tim u kojem postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Također je važno osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu tima u kojem se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u timu s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte s timom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u tim u kojem se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Pri zadavanju zadataka i uloga unutar tima vodite računa o jakim i slabim stranama učenika, primjerice da učenik s diskalkulijom nema glavnu ulogu u računanju, učenik s disleksijom i disgrafijom nema glavnu ulogu u pisanju, učenik koji muca, ima apraksiju ili izraženu anksioznost ne prezentira, naravno osim ako za to sami ne izraze želju.

Za učenike koji žele znati više

Učenike koji žele znati više uputite na istraživanje redova potencija. U tu svrhu neka prouče prezentaciju Redovi potencija. Neka u alatu Canva izrade plakat s najpoznatijim redovima potencija za neke od funkcija, $\sin x,$ $\cos x,$ $e^x,$ $\ln \left(1+x\right).$