Prije nego što učenicima objasnite sustav prirodne dedukcije, pokrenite s njima kratku raspravu o samoj riječi dokaz. Gdje se sve koristi? Kada je oni upotrebljavaju? Jesu li nedavno negdje pročitali da je netko nešto dokazao ili ima dokaz za nešto? Kako bi oni definirali dokaz? Što je sve, po njihovu mišljenju, potrebno za dokaz?

Prije nego što krenete dalje, ponovite s učenicima semantiku složenih iskaza. Možete ih podijeliti u parove, u kojima zajednički dolaze do odgovora, a najbrži par s najviše točnih odgovora možete vrednovati bilješkom, plusom ili ocjenom.
Za upoznavanje učenika sa sustavom prirodne dedukcije napravite prezentaciju u alatu PowerPoint u sustavu MS Officeu 365, koju im poslije možete poslati pomoću alata Google Classroom ili platforme MS Teams. Neka u prezentaciji pravila za prirodnu dedukciju budu napisana na jezicima logike, a od učenika zatražite da čim objasnite jedno pravilo, u paru moraju osmisliti jedan primjer u kojem je to pravilo primijenjeno na prirodnome jeziku. Na primjer, ako objašnjavate isključenje pogodbe, učenici će vidjeti da je riječ o modusu ponensu i zaključiti da ako u dokazu imamo pogodbu i njezin prvi član, antecedens, možemo zaključiti na konsekvens. Učenici navode i zapisuju primjere za svako pravilo. Sadržaj primjera može biti nešto iz njihove svakodnevice (Ako sam zakasnio na tramvaj, zakasnit ću i na nastavu. Zakasnio sam na tramvaj. Dakle, zakasnit ću na nastavu.) ili nešto s temom dostojanstva, solidarnosti, demokratskih načela i slično. (Za prakticiranje aktivnog građanstva važna je educiranost i informiranost – učenici zaključuju da iz te rečenice slijedi da je važna educiranost i da je važna informiranost, odnosno primijene pravilo isključenja konjunkcije.)

Nakon što prođete sva pravila i učenici u bilježnici imaju s jedne strane zapisano pravilo na jednom od jezika logike, a s druge strane na prirodnome jeziku, potaknite ih da uoče povezanost nekih pravila, primjerice povezanost između disjunkcije i pogodbe, isključenja konjunkcije i isključenja univerzalnog kvantifikatora, kao i to da je poddokaz kod uključenja negacije zapravo dio neizravnog dokaza, odnosno dokaza pomoću proturječja pa to mogu povezati i s metodom reductio ad absurdum.

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da učenici s teškoćama u razvoju čine heterogenu skupinu i da odabir prilagodbi te razinu i intenzitet podrške valja temeljiti na individualnim značajkama svakog učenika (snagama, potrebama, specifičnim interesima i slično), kao i obilježjima same teškoće.

U obzir uzmite teškoće koje učenik ima. Omogućite mu ravnopravno sudjelovanje ponavljanjem uputa i češćim povratnim informacijama te ga potaknite na uključivanje u različite aktivnosti.

Prilikom rasprave potaknite učenika s teškoćama na uključivanje, ali nemojte ustrajati u tome. Učenika dodatnim potpitanjima potaknite na razmišljanje.

Za učenike s teškoćama pripremite upute ili videosnimku za korištenje digitalnim alatima Google Classroom i MS Teams. Upute možete pripremiti u alatu Word, pazeći pritom na grafičku organizaciju teksta (nestilizirani font, veličina 14, dvostruki prored, poravnanje po lijevoj margini, upute razlomljene u više dijelova).

Učenicima s teškoćama korisno je pripremiti podsjetnik s pojmovima vezanim za semantiku složenih iskaza. Podsjetnik možete izraditi u alatu Word, pazeći na grafičku organizaciju teksta.

Učeniku s teškoćama osigurajte rad u paru s učenikom koji će na njega djelovati motivirajuće te koji će mu pružiti dodatnu podršku. Češće provjeravajte napredak para u kojem sudjeluje učenik s teškoćama.

Prilikom iznošenja nastavnog sadržaja prirodne dedukcije koristite se jednostavnim rječnikom, sa što više primjera. Češće provjeravajte učenikovo razumijevanje novih pojmova.

Učenicima s teškoćama unaprijed pošaljite prezentaciju napravljenu u sustavu MS Office 365 ili mu donesite na sat ispisane slajdove prezentacije. Tako će učenik samo zapisivati primjere navedene na nastavnom satu. To je korisno za učenike s teškoćama jer će pozornost uspješnije usmjeriti na usvajanje nastavnih sadržaja.

Dodatne informacije o postupcima potpore učenicima s teškoćama u učenju možete potražiti u priručniku Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama te u Smjernicama za rad s učenicima s teškoćama.

Ova se aktivnost nastavlja na prvu aktivnost, Ništa bez pravila, u kojoj se učenici upoznaju sa sustavom prirodne dedukcije i uče pravila dokazivanja.

Za uvod u aktivnost, pogledajte s učenicima sljedeću videosnimku o deduktivnom zaključivanju kako bi uvidjeli svakodnevnost tog načina zaključivanja. Prilikom pokretanja videosnimke namjestite hrvatske podnaslove.

Zamolite učenike da se prisjete istovrijednosti koje su već naučili i neka ih netko od njih zapiše na ploču. To će biti De Morganovi zakoni, svođenje pogodbe, svođenje dvopogodbe, kontrapozicija i slično. Radeći u paru, učenici ih zapisuju na više načina i daju primjere iz svakodnevnog života na prirodnome jeziku. U tim primjerima učenici mogu opisati svoju dnevnu rutinu ili neki nedavni događaj iz svoga života (izlet, izlazak...). Učenici surađuju i skupa izvode dokaz za te istovrijednosti. Zatim, koristeći se nekim od digitalnih alata, provjeravaju dokaze. Možete im ponuditi alat MS Natural deduction i objasniti način na koji radi te kako se njime treba koristiti. Prikaz alata projicirajte na satu na pametnu ploču ili platno i riješite jedan zadatak kao primjer.
Osim istovrijednosti učenici mogu rješavati i zaključke koje su dotad naučili, kao što su hipotetički silogizam i modus tollens. Prilikom razvrstavanja učenika u parove obratite pozornost na to da ih spojite tako da par čini učenik kojemu rješavanje dokaza ide s lakoćom i učenik kojemu treba više vremena i pomoć. Neka pomoću zaključaka prikažu jedan svoj dan u tjednu. Na primjer: Ako sam pazio na nastavi, naučio sam nešto u školi. Ako sam naučio nešto u školi, dovoljno je da to kod kuće samo ponovim. Ako sam pazio na nastavi, dovoljno je da to kod kuće samo ponovim.
Za domaću zadaću zadajte im još nekoliko dokaza, ali napisanih na prirodnome jeziku pa neka ih za početak prevedu na jedan od jezika logike i zatim dokažu. Primjeri tih zaključaka mogu biti njima relevantni, poput nečega aktualnog iz vijesti ili nekog gradiva iz drugih školskih predmeta. Možete učenicima podijeliti tri glavne teme i sami odaberu na koju će temu osmišljavati zaključke. Teme mogu biti vezane za gospodarstvo i financijsku pismenost ili za ekologiju i održiv razvoj ili vezana za ljudsko pravna pitanja. Kroz te zaključke učenici mogu prikazati svoje znanje na zadane teme te tokom prezentiranja svojih zaključaka mogu se povesti kratke rasprave. Na sljedećem satu prođite s njima kroz dokaze i razjasnite im moguće dvojbe.

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da učenici s teškoćama u razvoju čine heterogenu skupinu i da odabir prilagodbi te razinu i intenzitet podrške valja temeljiti na individualnim značajkama svakog učenika (snagama, potrebama, specifičnim interesima i slično), kao i obilježjima same teškoće.

U obzir uzmite teškoće koje učenik ima te mu omogućite ravnopravno sudjelovanje ponavljanjem uputa, češćim povratnim informacijama te ga potaknite na uključivanje u različite aktivnosti.

Učenike s oštećenjem sluha smjestite bliže izvoru zvuka ili im omogućite transkript videosnimke o deduktivnom zaključivanju. Transkript možete izraditi u alatu Word, pazeći pritom na grafičku organizaciju teksta (nestilizirani font, veličina 14, dvostruki prored, poravnanje po lijevoj margini, upute razlomljene u više dijelova).

Učenike s oštećenjem vida također smjestite bliže izvoru zvuka ili neka im drugi učenik ili pomoćnik u nastavi daje opise vizualnih informacija.

Učenika s teškoćama smjestite u par s učenikom koji će djelovati poticajno tako što će mu pružiti motivaciju i dodatnu podršku u aktivnosti. Učenika s oštećenjem sluha potrebno je smjestiti u blizini sugovornika kako bi mogao pratiti poruke s lica i usana.

Za učenike s teškoćama pripremite upute ili videosnimku za korištenje digitalnim alatom Natural deduction. Upute možete pripremiti u alatu Word, pazeći na grafičku organizaciju teksta.

Učenicima s teškoćama unaprijed pripremite listić s primjerima za domaću zadaću.

Dodatne informacije o postupcima potpore učenicima s teškoćama u učenju možete potražiti u priručniku Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama te u Smjernicama za rad s učenicima s teškoćama.

Učenici koji žele znati više mogu za ostale učenike u razredu pripremiti prezentaciju u alatu PowerPoint ili izraditi plakat u alatu Canva o Gerhardu K. E. Gentzenu, matematičaru i logičaru zaslužnom za doprinos u razvoju sustava prirodne dedukciju, koji je rekao: Želio sam konstruirati formalizam koji će biti što je moguće bliže stvarnom rasuđivanju. Pa je tako nastao pojam 'račun prirodne dedukcije'.

Učenicima objasnite da osim ove notacije prirodne dedukcije, o kojoj uče u školi i koja je nazvana po američkom logičaru Fredericu B. Fitchu, postoji i Suppes-Lemmonova notacija, odnosno stil prirodne dedukcije. Neka prouče koje su razlike među njima i prikažu ih na primjerima.

Ponovite s učenicima što su dosad naučili o prirodnoj dedukciji. Neka pokušaju shvatiti smisao dedukcije, da to nije samo automatizam koji se odvija korištenjem pravila i uvođenjem pretpostavki. Neka formuliraju pitanja na koja prirodna dedukcija daje odgovore. Usmjerite ih u raspravi, a sve zapisujte u digitalni alat Conceptboard, koji je svima vidljiv u obliku umne mape. Učenici će doći do pitanja poput ovih: Je li neki iskaz teorem? Je li skup iskaza sintaktički (ne)konzistentan? Jesu li dva iskaza sintaktički istovrijedna?

Podijelite učenike u manje grupe. Za svaku grupu pripremite nastavne listiće sa zaključcima na prirodnome jeziku. Za sadržaj zaključka možete se koristiti njima aktualnim gradivom iz drugih predmeta (Biologije, Geografije, Etike...). Svaka grupa može imati temu koja se provlači kroz sadržaj tih zaključaka, primjerice razvoj tolerancije, empatije i samopouzdanja, strategije rješavanja problema i sukoba ili utjecaj medija na živote djece. Primjerice, jedan takav nevaljan zaključak može glasiti ovako: Neki mediji imaju negativan utjecaj na život djece. Neki mediji su elektronički mediji. Dakle, neki elektronički mediji imaju negativan utjecaj na život djece. Zadajte učenicima da prevedu te zaključke i provjere jesu li valjani. Ako su valjani, moraju ih dokazati. Ako nisu valjani, moraju dati protuprimjer odnosno protumodel. Do protuprimjera trebaju doći na barem dva načina – neuspješni reductio ad absurdum, pronalaženje retka u istinosnoj tablici (gdje su premise istinite, a konkluzija neistinita), metoda istinosnog stabla, napamet. Protumodele izrađuju pomoću tablica u koje upisuju plus odnosno minus. Dokaze mogu provjeriti u nekom od digitalnih alata, na primjer u alatu MS Natural deduction.
Svaka grupa ostalim učenicima u razredu prezentira svoje zadatke, zajedno ih provjeravaju i razjašnjavaju moguće pogreške.

Neka za domaću zadaću svaka grupa pripremi drugoj grupi jedan primjer valjanog i jedan primjer nevaljanog zaključka koje moraju na jednak način riješiti. Na sljedećem satu provjerite sve zadatke s učenicima.

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da učenici s teškoćama u razvoju čine heterogenu skupinu i da odabir prilagodbi te razinu i intenzitet podrške valja temeljiti na individualnim značajkama pojedinog učenika (snagama, potrebama, specifičnim interesima i slično), kao i obilježjima same teškoće.

U obzir uzmite teškoće koje učenik ima. Omogućite mu ravnopravno sudjelovanje ponavljanjem uputa i češćim povratnim informacijama te ga potaknite na uključivanje u različite aktivnosti.

Prilikom rasprave potaknite učenike s teškoćama na uključivanje i pohvalite njihovo zalaganje. Postavljajte dodatna potpitanja kako biste učenike usmjerili na odgovor.

Učenike s teškoćama smjestite bliže izvoru sadržaja i pripazite da je digitalna umna mapa jasno vidljiva.

Učenika s teškoćama smjestite u grupu učenika koja će djelovati poticajno tako što će mu pružiti motivaciju i dodatnu podršku u aktivnosti. To može biti grupa učenika s kojom je učenik s teškoćama već uspješno surađivao. Prilikom podjele zadataka u grupi neka bude jasno naglašena uloga učenika s teškoćama kako se ne bi dogodilo da on nije ravnopravno uključen u aktivnost. Češće provjeravajte uspješnost rješavanja zadataka grupe u kojoj se nalazi učenik s teškoćama. Također, provjeravajte njegovu uključenost u aktivnosti. Pripremite učeniku podsjetnik s uputama za zadatak.

Prilikom izrade nastavnih listića pazite na grafičku organizaciju sadržaja (nestilizirani font, veličina 14, dvostruki prored, poravnanje po lijevoj margini, sadržaj organiziran u odlomke).

Pripremite podsjetnik s uputama za korištenje digitalnim alatom Natural deduction.

Dodatne informacije o postupcima potpore učenicima s teškoćama u učenju možete potražiti u priručniku Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama te u Smjernicama za rad s učenicima s teškoćama.

Pronađite učenicima primjere prirodne dedukcije koja ima više do 20 redova. Neka ih pokušaju riješiti u paru te na kraju provjere u nekom digitalnom alatu za izradu dokaza.