U ovoj će aktivnosti učenici određivati prirast argumenta i prirast funkcije, računski i grafički.

Za početak pitajte učenike znaju li kolike su dimenzije našeg planeta Zemlje. Koliki je polumjer? A opseg na ekvatoru? Oplošje? Provjerite jesu li tijekom školovanja izvodili Eratostenov eksperiment. Ako nisu, možete ga provesti ove godine. Scenarij poučavanja nalazi se na Editoriju, a svake se godine provodi i natjecanje na koje se možete prijaviti ovdje.

Postavite učenicima problem: Opseg Zemlje na ekvatoru je otprilike 40 070 km. Želimo li omotati uže oko Zemlje tako da se ispod njega može provući zec (15 cm od površine Zemlje), koliko nam je potrebno produžiti uže, tj. koliko dugačko uže trebamo imati u tom slučaju? Pretpostavimo da na ekvatoru nema planina i da je riječ o krugu.

Na početku neka učenici pokušaju procijeniti duljinu užeta, a nakon toga im dajte malo vremena da pokušaju izračunati. Zajedno pogledajte videozapis Rope around the Earth problem. Komentirajte jesu li njihove pretpostavke donesene prije gledanja videozapisa bile točne. Kako je moguće da je potrebno samo 1 metar dodatnog užeta (prirast funkcije) da bi se uže odmaknulo za 15 centimetara (prirast argumenta). Matematički prikažite podatke iz videozapisa te dokažite da je taj podatak istinit.

Podijelite s učenicima poveznicu na digitalne obrazovne sadržaje, e-Škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.1. Neka svatko pojedinačno riješi zadatke pod naslovom Prirast argumenta ‒ prirast funkcije. Zajednički provjerite točnost rješenja.

Podijelite učenike u četveročlane grupe. Pripremite im kartice sa zadatcima kao iz primjera. Ovisno o predznanju učenika, na kartice možete umetnuti i eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske funkcije. Neka učenici izračunaju prirast argumenta i prirast funkcije te navedene funkcije prikažu grafički koristeći se alatom GeoGebra. Svaka grupa neka dobije različiti zadatak te svoja rješenja i zapažanja neka pripremi u alatu Padlet, a vođa grupe prezentira ostalim učenicima. Ostali učenici mogu postavljati pitanja i provoditi raspravu vezanu za rješenje zadataka.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Tijekom gledanja videozapisa osigurajte titlove za učenika s oštećenjem sluha. Ujedno ga možete smjestiti blizu izvora zvuka. Za učenike s oštećenjem vida osigurajte odgovarajuće mjesto te prilagodite svjetlinu i kontrast na zaslonu. Učenicima s teškoćama dopustite da ponovno gledaju videozapis.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom biti potrebno dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da ih imaju manji broj. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, pritom se preporučuje upotrijebiti boje. Dopustite im da se koriste primjerom u samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom rada u skupini važno je da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini također je važno da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Nakon prethodne aktivnosti u kojoj su učenici određivali prirast argumenta i prirast funkcije, u ovoj će se aktivnosti baviti problemom tangente.

S učenicima razgovarajte o glasinama. Kao pomoć može vam poslužiti članak Glasine. Pitajte ih jesu li bili žrtva lažne informacije te jesu li sami širili glasine a da nisu provjerili točnost informacija. Kojom se brzinom šire glasine?

U današnje doba razmjena informacija je sve jednostavnija i brža. Zamislimo primjer: ako svaki učenik podijeli informaciju sa svoja dva prijatelja, kojom će se brzinom širiti ta informacija (pretpostavimo da će svaki učenik podijeliti informaciju sa svoja dva prijatelja tek sljedeći dan)? Hoće li ta brzina biti konstantna? Prikažite taj problem kao funkciju s pomoću alata GeoGebra. Prikažite brzinu kojom se širi informacija između, primjerice, 10. osobe i 100. osobe te pokušajte odrediti brzinu između 9. i 10. osobe, zatim 99. i 100. osobe. Kakve su te brzine? Koja je veća i zašto?

Pogledajte s učenicima animaciju iz e-Škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.1 pod naslovom Istražimo. Komentirajte što bi bila prosječna brzina, a što trenutna brzina.

Podijelite učenike u iste grupe kao što su bili u prethodnoj aktivnosti. Neka svaka grupa pogleda grafički prikaz svojega problema izrađen u alatu GeoGebra, koji se nalazi na karticama iz prethodne aktivnosti i za koji su izračunavali priraste. Na grafičkom prikazu neka animiraju sekantu tako da prelazi u tangentu kao u animaciji e-Škole DOS Matematika 4, Modul 4, Jedinica 4.1 pod Istražimo. Uputite učenike da pomiču početnu točku, točku A, po krivulji i prate koeficijente smjera tangenata koje nastaju te uoče što se događa s koeficijentima smjera tangenata (mijenjaju se ili ostaju isti). Svoje zaključke neka dopišu na Padlet ploču kojom su se koristili u prethodnoj aktivnosti. Vođa grupe neka učenicima u razredu predstavi rad grupe. Što su učenici uočili? Kakvi su koeficijenti smjera tangenata? Mijenjaju li se ili su konstantni? Nakon prikaza svih funkcija učenici samostalno trebaju pokušati zaključiti u kojim su funkcijama koeficijenti smjerova tangenta konstantni? U kojima se povećavaju ili smanjuju? Kojom se brzinom povećavaju ili smanjuju? Svoja zapažanja učenici neka dopišu na Padlet ploču te ispišu i slože na razredni pano.

Postupci potpore

Učenicima s oštećenjem sluha i učenicima s deficitom pažnje možete ispisati članak koji ćete čitati kako bi vas bolje pratili.

Ponovno, tijekom rada u skupini važno je da vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini također je važno da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje. Preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost ili ako učenik muca).

U ovoj će aktivnosti učenici uočiti kako i zašto nam je potrebna tangenta na graf funkcije. Aktivnost se nastavlja na prethodne.

S učenicima razgovarajte o tome jesu li se vozili u vlaku smrti. Neka opišu kako je to izgledalo te jesu li doživjeli da bi im odletjela japanka ili naočale ili neki drugi predmet. Ako jesu, neka ispričaju kako su riješili taj problem. Je li im tko od starijih pomogao savjetima? Jesu li pronašli taj predmet i kako su procijenili gdje bi on mogao biti?

Pogledajte primjer s početka i kraja digitalnih obrazovnih sadržaja e-Škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.1. Pripremite u alatu GeoGebra grafički prikaz kubne funkcije koja je rješenje problema $f\left(x\right)=0.0054x^3-0.219x^2+1.4x.$ Istaknite na krivulji točku koja je vezana za klizač $a$ (vrijednosti klizača mogu se mijenjati od -5 do 15 ili koliko vam dopušta grafički prikaz). Odredite tangentu na tu krivulju u točki koja se miče po krivulji. Komentirajte s učenicima kakav je koeficijent smjera tangente i zašto je pozitivan, odnosno negativan te kada je 0. Izradite točku s $x$ koordinatom koja je vezana za klizač $a$ i $y$ koordinatom koja određuje se koeficijentom smjera tangente u točki $\left(a,f\left(a\right)\right).$ Pogledajte trag te točke i komentirajte izgled parabole koja nastaje (rast, pad, ekstrem...).

Ponovno podijelite učenike u grupe kao što su bili podijeljeni u prvoj aktivnosti. Neka u grupama za svoje probleme izrade slične animacije kao što ste im prikazali u GeoGebri te ih uvrste na Padlet ploču na kojoj je i prva aktivnost. Ponovno neka vođe grupe prezentiraju rad grupe. U prezentaciji trebaju istaknuti vezu koeficijenata smjera tangente s nagibom njihove krivulje. Podsjetite učenike da se koeficijent smjera pravca naziva i nagib te da određuje tangens kuta koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom apscise. Neka učenici sami zaključe kakav je koeficijent smjera tangente u točkama u kojima je funkcija rastuća, u kojima je padajuća i kad poprima maksimum ili minimum. Sve to dopišite na Padlet ploču, a također možete ispisati i staviti na razredni pano. Podsjetite učenike kako će odrediti jednadžbu pravca kroz jednu točku sa zadanim koeficijentom smjera. Izvedite formulu za određivanje tangente na krivulju u njezinoj točki.

Za kraj podijelite s učenicima kviz izrađen u alatu Quizizz pod naslovom Tangenta i normala. Neka učenici samostalno riješe kviz te zajednički provjerite točna rješenja. Ako ima zadataka koji su pogrešno riješeni, zajedno ih riješite i komentirajte greške.

Postupci potpore

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Ponovno, tijekom rada u skupini važno je da vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini također je važno da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje. Preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost ili ako učenik muca).

Pri rješavanju kviza imajte na umu da je učenicima s teškoćama (npr., specifične teškoće u učenju, jezične teškoće) potrebno više vremena za čitanje i/ili rješavanje zadatka. S obzirom na to, preporučuje se da nastavnik pročita pitanja i ponuđene odgovore prije nego što učenici imaju mogućnost odabrati točan odgovor. Možete im ponuditi i drugi način – pripremiti nastavne listiće na kojima zaokružuju rješenja prema vlastitoj procjeni. Alternativan način može biti i za učenike s oštećenjem vida, možete im pripremiti kviz na Brailleevu pismu, ovisno o stupnju oštećenja, potrebama i preferencijama učenika.

Za učenike koji žele znati više

Zadajte učenicima da riješe neku nelinearnu jednadžbu, npr. $x^5+x+1=0.$ Uputite ih da postoji više načina rješavanja takve vrste jednadžbi, a jedan od njih je Newtonova metoda. Opis Newtonove metode prikazan je u e-Škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.6, primjer 2. Detaljne upute o toj i sličnim metodama u numeričkoj matematici možete pronaći u skripti Numerička matematika.