Učenici su u prvom i drugom razredu upoznali neke parne i neparne funkcije, ali nisu govorili o pojmu parnosti ili neparnosti funkcije. Zato je dobra prigoda iskoristiti poznate funkcije i njihove grafove kako bi učenici sami istražili i pokušali opisati taj pojam, a neki od njih ga čak i definirati.

Pripremite kartice na kojima će biti parne i neparne funkcije zadane tablicom, grafom ili formulom kao što su, na primjer, ove kartice. Učenike podijelite u tročlane ili četveročlane skupine i uputite ih da izrežu kartice i razvrstaju ih u dvije skupine prema nekom svojstvu koje povezuje sve funkcije u toj skupini. Nakon toga učenici neka opišu svojstvo koje prema njihovu mišljenju imaju sve funkcije iz prve skupine i svojstvo koje imaju sve funkcije iz druge skupine. Neka uočena svojstva pokušaju zapisati i matematičkim simbolima. Opisana uočena svojstva i njihov zapis s pomoću simbola učenici neka zapišu na papir, fotografiraju i stave na Padlet pod imenom svoje skupine. Također, svaka skupina učenika neka prema opisanom svojstvu osmisli svoj primjer funkcije (koristeći se bilo kojim prikazom) i na isti način stavi na Padlet. To je dobra prigoda za poticanje matematičke komunikacije. Zato, nakon što sve skupine stave svoje zabilješke na Padlet, svaka će pročitati što je zapisala neka druga skupina i komentirati. Nakon komentiranja, skupine mogu izmijeniti ili dopuniti svoje prijašnje zapise. Većina će učenika lako razvrstati funkcije u dvije skupine, ali će možda imati problema sa simboličkim zapisom. Na osnovi zapisa koje su učenici stavili na Padlet i komentara potaknite raspravu kako biste zajedno s učenicima dobili definiciju parnih i neparnih funkcija.

Razumijevanju zapisa i samog svojstva mogu pomoći i sljedeći zadatci.

Zadatak 1. Kućanica peče veliku puricu u pećnici. Temperatura T , nakon što se pećnica uključi, postupno raste, zatim je sljedećih 4 sata nepromijenjena dok se purica peče, a nakon što se pećnica isključi temperatura postupno pada istom konstantnom brzinom kao što se zagrijava. Ako promatramo ovisnost temperature o vremenu, a počeli smo promatrati u trenutku kad se purica pekla tri sata, je li ta ovisnost parna funkcija, neparna funkcija ili ni jedno od navedenog?

Zadatak 2. Nalazite se u dizalu. Dizalo kreće iz prizemlja i postupno ubrzava konstantnom akceleracijom, dalje se giba konstantnom brzinom i postupno usporava (negativnom) akceleracijom te se zaustavlja na osmom katu. Ako promatramo ovisnost akceleracije o položaju u odnosu prema četvrtom katu, je li ta ovisnost parna funkcija, neparna funkcija ili ni jedno od navedenog?

Odgovore na postavljena pitanja možete prikupiti koristeći se alatom Google Forms (obrasci) .

Sad možete postaviti pitanje koje su od trigonometrijskih funkcija parne, a koje neparne? Nakon toga učenici argumentiraju svoje odgovore i uz pomoć nastavnika sistematiziraju naučeno.

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija potrebno je simbolički zapisati kao $\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x$ i vizualizirati koristeći se brojevnom kružnicom i grafičkim prikazom trigonometrijskih funkcija kao što je u e-Škole DOS Matematika 3, Modul 4, Jedinica 4.4., Poglavlje Parnost/neparnost trigonometrijskih funkcija.

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na individualnim obilježjima pojedinog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) te na značajkama same teškoće. Preporučuje se učenika s teškoćama premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Provjerite s učenicima s teškoćama koliko se sjećaju gradiva iz prvog i drugog razreda i prema potrebi pripremite podsjetnike s najvažnijim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima.

Pri izradi kartica obratite pozornost na jezične i grafičke prilagodbe. Prema potrebi podsjetite učenike kako se očitavaju grafovi. Za učenike s oštećenjem jezično-glasovne-govorne komunikacije i za učenike s oštećenjem sluha važna je jezična prilagodba, a to znači kraće rečenice uobičajenog poretka riječi s jasno izrečenim svim rečeničnim dijelovima, bez metafora, s izdvojenim i objašnjenim nepoznatim i/ili ključnim pojmovima. Grafička prilagodba podrazumijeva prilagodbe poput upotrebe određene vrste fonta (npr. OmoType, Arial, Verdana) koji je uvećan, dvostruki prored, povećani razmak među slovima, lijevostrano poravnanje. Grafička prilagodba važna je i za učenike s oštećenjem vida.

Tijekom rada u paru ili skupini imajte na umu da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini vodite brigu o tome da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje, npr. da učenik s oštećenjem organa i organskih sustava ne izrezuje kartice nego ih može razvrstavati s obzirom na svojstvo. Pri radu su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati. Uvijek je važno pohvaliti svako aktivno sudjelovanje i rad učenika s teškoćama.

Tijekom rasprave u razredu nemojte isticati učenika s teškoćama ako je pogriješio. Nakon razredne rasprave omogućite učeniku s teškoćama odgovore na pitanja koja su se postavljala u raspravi. Ne treba inzistirati na tomu da učenik s poremećajem glasovno-jezično-govorne komunikacije govori ako se za to sam ne javi.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju - savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnom jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Pojam periodičnosti je učenicima prilično intuitivan i ne osjećaju potrebu za definicijom periodične funkcije. Zato je sljedeća aktivnost dobra kao uvod u periodičnost trigonometrijskih funkcija. Učenici rade u paru. Svaki par učenika dobit će dvije kartice s grafovima periodičnih funkcija koje ne moraju biti trigonometrijske i dvije kartice na kojima su opisane periodičke pojave. To može biti EKG, izmjena godišnjih doba, Mjesečeve mijene, plima i oseka, a neke primjere možete pronaći i ovdje. Jedan će učenik iz para riječima opisivati graf funkcije ili periodičnu pojavu, a drugi će je učenik prema njegovu opisu pokušati skicirati. Zatim će zamijeniti uloge. Neki će se učenici namučiti pri opisivanju grafa ako ne budu znali odrediti i riječima iskazati (temeljni) period. Nastavnik će pozorno slušati njihove opise i uočiti što je učenicima najveća poteškoća. Pripremite prezentaciju u alatu PowerPoint sustava Office 365 ili prezentaciju u zanimljivom alatu PowToon kako biste, nakon što su učenici završili aktivnost, raspravili grafove s kartica i poteškoće s njihovim opisivanjem koje ste uočili. U raspravi ćete dobiti precizniji opis funkcije te definirati njezinu periodičnost i temeljni period. Nadalje ćete s učenicima komentirati periodičnost trigonometrijskih funkcija i određivanje njihovih temeljnih perioda.

Za kraj, učenicima možete postaviti pitanja: Znate li da svatko od vas ima tri osobne periodične funkcije? Ako si danas jako dobro raspoložen/raspoložena, zašto je to tako i kad će se ponoviti?

Naime, prema bioritmu su tri osnovna životna ciklusa: emocionalni, intelektualni i fizički. Oni se periodično ponavljaju od dana našeg rođenja. Temeljni period za emocionalni ciklus je 28 dana, za fizički je 23 dana, a za intelektualni je 33 dana. Pretpostavlja se da su u trenutku rođenja svi ciklusi na nuli, a tijekom života osciliraju između pozitivne i negativne faze.

Zagovornici bioritma tvrde da kada je bioritam u pozitivnoj fazi, ljudi se mogu bolje osjećati ili mogu bolje obavljati aktivnosti povezane s tim bioritmom. S druge strane, kada je bioritam u negativnoj fazi, mogu biti loše raspoloženi ili imati poteškoća u obavljanju aktivnosti povezanih s tim bioritmom.

S pomoću mrežnog bioritma kalkulatora učenici se mogu zabaviti i pogledati svoj bioritam. Uputite učenike da napišu funkciju sinus za svaki od ciklusa.

Provjerite s učenikom s teškoćama snalazi li se u digitalnim alatima koji se koriste u ovoj aktivnosti (npr. PowToon) te prema potrebi osigurajte vršnjačku potporu.

Za učenike s oštećenjem vida potrebno je prilagoditi svjetlost u prostoru te svjetlinu i kontrast na zaslonu.

Pripazite na to da učenik s teškoćama u paru bude s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćama. Provjeravajte s parom kako napreduju u obavljanju zadatka.

Pri svrstavanju učenika u parove pripazite s kim ćete upariti učenika s teškoćama. Uvijek postoje učenici koji su senzibilniji i mogu pružiti potporu učenicima s teškoćama u obliku usmjeravanja ili pomaganja te je takve vršnjake važno na vrijeme prepoznati. U parovima dodijelite uloge s obzirom na jake strane učenika s teškoćama. S učenicima s oštećenjem sluha provjerite jesu li razumjeli upute i zadatke.

S obzirom na to da su kod učenika s poremećajem iz spektra autizma često prisutni pojačani interesi, preporučuje se tematska prilagodba na način da oni odaberu temu ako ona pripada njihovu području interesa.

Ponovno obratite pozornost na važnost grafičke prilagodbe za učenike sa specifičnim poremećajem učenja i za učenike s oštećenjem vida.

Tijekom rasprave u razredu nemojte isticati učenika s teškoćama ako je pogriješio. Ne treba inzistirati na tomu da učenik s poremećajem glasovno-jezično-govorne komunikacije govori ako se za to sam ne javi.

Nakon što su u prethodnoj aktivnosti „Kada će se dobro raspoloženje ponoviti?” otkrili i definirali svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, učenici će u ovoj aktivnosti primijeniti periodičnost na skupu podataka.

Učenike podijelite u tročlane ili četveročlane grupe. Njihov je prvi zadatak sljedeći.

Zadatak 1. Na mrežnoj stranici Državnoga hidrometeorološkog zavoda odaberite jedan grad u Hrvatskoj, preuzmite podatke o srednjim mjesečnim vrijednostima temperature zraka u tamo navedenom razdoblju za izabrani grad. Na osnovi preuzetih podataka procijenite temperaturu zraka za kolovoz 2025. godine i travanj 2030. (napisat ćete mjesece koji su slijede) i objasnite svoj odgovor. Kako biste općenito odredili temperaturu t mjeseci u s obzirom na početak promatranog razdoblja? Pri tome se možete koristiti alatom Desmos.

Zadatak je u tom obliku otvorenog tipa i neki će učenici trebati potporu vođe grupe, zato pomno raspodijelite učenike u grupe kako bi u svakoj bio netko tko će tu potporu moći pružiti. Ako većina učenika zastane na početku, zadatak postavite malo zatvorenije ili im dajte dodatne usmene upute:

Dobivene podatke prikažite kao točke u koordinatnom sustavu te odredite pravilo pridruživanja funkcije sinus koja aproksimira te podatke. Pri tome neka svaki član prvo kaže svoj prijedlog pravila, a zatim pravilo uspoređuje s ostalim članovima uz raspravu zašto je funkcija periodična, koliko iznosi period te kako je dobio pravilo.

Vođi grupe možete reći da, koristeći se alatom Desmos, definira klizače za parametre A, b, c i d te ucrta preuzete podatke u koordinatni sustav, a zatim nacrta funkciju $f\left(x\right)=A\text{sin}\left(bx+c\right)+d.$ Pomicanjem klizača mijenjat će parametre i provjeriti sva predložena pravila funkcije sinus te odabrati jednu funkciju koja približno opisuje dane podatke i odrediti tražene vrijednosti.

Zadatak 2. Istražite na istoj mrežnoj stranici HDMZ-a još neke podatke koji se s vremenom periodično ponavljaju i neke koji nemaju to svojstvo. Navedite po dva primjera u svakom od tih slučajeva. Odaberite jedan od dvaju navedenih skupova podataka koji se mogu opisati periodičnom funkcijom. Odredite tu funkciju. Vođa grupe će uz pomoć ostalih članova sve dobivene podatke (iz oba zadatka), postupak i zaključke ujediniti te napisati izvještaj koristeći se alatom za izradu sadržaja Word. Pripremite na Padletu prostor gdje će svaka grupa postaviti svoj izvještaj i pročitati ostale izvještaje. U postavkama alata omogućite opciju komentiranja.

Učenicima s teškoćama dopustite da se koriste podsjetnikom s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima.

Učenicima s teškoćama, posebno učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju, potrebno je više vremena da bi riješili zadatke, zato je važno predvidjeti dulje vrijeme računanja ili smanjiti broj zadataka.

Tijekom rada u paru ili skupini nastojte da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini vodite brigu o tome da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje, zato se preporučuje da nastavnik prema potrebi dodjeli uloge unutar skupine pazeći da, npr., učenik s teškoćama nije vođa tima osim ako se za to sam ne javi. Učenike s teškoćama potrebno je uključiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore). Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje skupine u kojoj je učenik s teškoćama.

Učenicima koji su zainteresirani, a pogotovo onima koji se bave i glazbom, možete dati mali projektni zadatak u kojemu će pojam periodičnosti povezati s glazbom tako što će istražiti vezu između trigonometrijskih funkcija i zvuka. Možete ih uputiti na Phet aktivnost ili na ovu stranicu, na kojoj se pokazuje u kojoj su vezi zvuk, zvučni valovi, periodičnost, frekvencije s funkcijom sinus ili zbrojem dviju funkcija sinus. Neki od njih mogu predstaviti ostalim učenicima kako se zvuk može opisati s pomoću trigonometrijskih funkcija.