Uvod
S vremenom, ura njihalica počne kasniti. Kako to objašnjavate?
Ako se zanjišete na ljuljački, kako održavate njihanje?
Kada zanjišete njihalo, koje će položaje zauzeti tijelo tijekom vremena?
Koja slika pokazuje što se u stvarnosti događa?
Prigušeno titranje
Do sada je pri opisu titranja harmonijskog oscilatora vrijedio zakon očuvanja energije te je amplituda titranja bila stalna u vremenu.
Stvarni titrajni sustav izložen je trenju i otporu zraka.
Pogledajmo kako sredstvo utječe na gibanje njihala.
Do sada je pri opisu titranja harmonijskog oscilatora vrijedio zakon očuvanja energije.
Amplituda titranja je bila stalna u vremenu.
Stvarni titrajni sustav izložen je trenju i otporu zraka.
Pogledajmo kako sredstvo utječe na gibanje njihala.
Prigušeno titranje njihala
Kako to objašnjavate?
Titranje opruge u različitim sredstvima
Pogledajte pokus titranja opruge u različitim sredstvima.
Što mislite, kako će različita sredstva utjecati na titranje opruge?
Pogledajte pokus titranja opruge u različitim sredstvima.
Kako će različita sredstva utjecati na titranje opruge?
Prigušeno titranje opruge
Zbog otpora sredstva, ukupna energija sustava se smanjuje te prelazi u okolinu. Sile otpora uzrokuju smanjenje amplitude titranja te nakon nekog vremena titranje staje.
Zbog otpora sredstva:
- ukupna energija sustava se smanjuje,
- prelazi u okolinu.
Sile otpora uzrokuju smanjenje amplitude titranja.
Nakon nekog vremena titranje staje.
Titranje kod kojeg se amplituda smanjuje u vremenu zovemo prigušenim titranjem.
Titranje kod kojeg se amplituda smanjuje u vremenu zovemo prigušenim titranjem.
Koji su uzroci gubitka energije?
Titranjem se energija gubi zbog otpora sredstva u kojem tijelo titra, trenja na objesištu ili ako nit nije potpuno nerastezljiva te izvodi oscilacije. Kod tijela na opruzi najvažniji gubitak energije je otpor sredstva.
Koji su uzroci gubitka energije?
Titranjem se energija gubi zbog:
- otpora sredstva u kojem tijelo titra,
- trenja na objesištu ili
- ako nit nije potpuno nerastezljiva te izvodi oscilacije.
Kod tijela na opruzi najvažniji gubitak energije je otpor sredstva.
Grafički prikaz prigušenog titranja
U dosadašnjem opisu titranja u vremenu zanemarivali smo utjecaj sredstva. Titranje je imalo stalnu amplitudu, a prikazivali smo ga sinusoidom.
Grafički prikaz prigušenog titranja
U dosadašnjem opisu titranja u vremenu zanemarivali smo utjecaj sredstva.
Titranje je imalo stalnu amplitudu.
Prikazivali smo ga sinusoidom.
Kod opisa titranja, osim elastične sile, moramo uzeti u obzir i silu otpora sredstva. Amplituda titranja smanjuje se u vremenu. Graf sinusoide koja prikazuje titranje mijenja se i pokazuje gušenje titranja.
Kod opisa titranja, osim elastične sile, moramo uzeti u obzir i silu otpora sredstva.
Amplituda titranja smanjuje se u vremenu.
Graf sinusoide koja prikazuje titranje mijenja se i pokazuje gušenje titranja.
Envelopa prigušenja je eksponencijalna funkcija, stoga jednadžba prigušenog titranja izgleda drugačije:
[latex]A=A_0 e^{–\delta t}\sin \omega t[/latex]
Ovisnost amplitude o vremenu možemo zapisati kao :
[latex]A=A_0 e^{–\delta t}[/latex]
Veličinu [latex]\delta[/latex] zovemo koeficijent prigušenja.
Kod opisa titranja moramo uzeti u obzir:
- elastičnu silu
- silu otpora sredstva.
Kao što smo vidjeli u pokusu envelopa prigušenja je eksponencijalna funkcija.
Stoga jednadžba prigušenog titranja izgleda drugačije:
[latex]A=A_0 e^{–\delta t}\sin \omega t[/latex]
Ovisnost amplitude o vremenu možemo zapisati kao
[latex]A=A_0 e^{–\delta t}[/latex]
Veličinu [latex]\bm \delta[/latex] zovemo koeficijent prigušenja.
Ovisno u stupnju prigušenja, smanjuje se amplituda titranja.
Ako nema prigušenja amplituda, titranje je stalno. S porastom stupnja prigušenja, amplituda se smanjuje u kraćem vremenu.
Kada je gušenje sustava toliko veliko da se titranje zaustavlja unutar prvog perioda te više nema periodičnog gibanja, govorimo o kritičnom gušenju. Gibanje harmonijskog oscilatora je tada aperiodično.
Amplituda titranja smanjuje se ovisno u stupnju prigušenja.
Titranje je stalno ako nema prigušenja amplituda.
S porastom stupnja prigušenja, amplituda se smanjuje u kraćem vremenu.
Kritično gušenje je gušenje sustava toliko veliko da se:
- titranje zaustavlja unutar prvog perioda
- više nema periodičnog gibanja.
Gibanje harmonijskog oscilatora je tada aperiodično.
Prisilno titranje
Kako bi zastava vijorila ili se dijete ljuljalo na ljuljački, mora djelovati vanjska periodična sila koja uzrokuje to gibanje. Kada vanjska sila prisiljava sustav na titranje, govorimo o prisilnom titranju.
Kako bi zastava vijorila ili se dijete ljuljalo na ljuljački, mora djelovati vanjska periodična sila koja uzrokuje to gibanje.
Prisilno titranje je kada vanjska sila prisiljava sustav na titranje.
Prisilne oscilacije su titranje pod utjecajem periodičke vanjske sile.
Prisilne oscilacije su titranje pod utjecajem periodičke vanjske sile.
Ako je amplituda prisilnog titranja stalnog iznosa, postoji li prigušenje?
Zbog otpora sredstva dolazi do gubitka energije, ali periodička vanjska sila obavlja rad koji oscilatoru daje točno onoliko energije koliko on predaje okolini.
Postoji li prigušenje ako je amplituda prisilnog titranja stalnog iznosa?
Zbog otpora sredstva dolazi do gubitka energije.
Periodička vanjska sila obavlja rad koji oscilatoru daje točno onoliko energije koliko on predaje okolini.
Prisilno titranje njihala
Pogledajmo pokus u kojem je nekoliko njihala obješeno o zajedničku horizontalnu nit. Uočite kako se titranje prenosi između njihala.
Prisilno titranje njihala
Pogledajmo pokus u kojem je nekoliko njihala obješeno o zajedničku horizontalnu nit.
Uočite kako se titranje prenosi između njihala.
Prisilno titranje
Energija prvog njihala prenosi se preko zajedničkog užeta na ostala njihala.
Razmislite zbog čega prvi uteg ima veću masu?
Što bi se dogodilo kada bi imao manju masu od ostalih?
Energija prvog njihala prenosi se preko zajedničkog užeta na ostala njihala.
Zbog čega prvi uteg ima veću (>) masu? Razmislite.
Što bi se dogodilo kada bi imao manju (<) masu od ostalih?
Titranje sustava zbog djelovanja vanjskog izvora titranja zovemo prisilnim titranjem.
Titranje sustava zbog djelovanja vanjskog izvora titranja zovemo prisilnim titranjem.
Rezonancija
Zamislimo da na ljuljački sjedi dijete i periodično maše nogama frekencijom [latex]f_0[/latex].
Kako trebamo zanjihati ljuljačku da bismo postigli veliku amplitudu njihanja?
Jesu li povezane frekvencije njihanja nogu djeteta i našeg guranje ljuljačke?
Svaki sustav koji titra ima vlastitu frekvenciju [latex]f_0[/latex].
Periodička vanjska sila koja uzrokuje prisilno titranje ima frekvenciju [latex]f[/latex].
Ako je [latex]f = f_0[/latex] dolazi do maksimalnog prijenosa energije i tu pojavu zovemo rezonancija.
Kako trebamo zanjihati ljuljačku na kojoj sjedi dijete da bismo postigli veliku amplitudu njihanja? Dijete maše nogama frekvencijom [latex]\bm{f_0}[/latex].
Jesu li povezane frekvencije njihanja nogu djeteta i našeg guranja ljuljačke?
Sustav koji titra ima vlastitu, prirodnu frekvenciju [latex]\bm{f_0}[/latex].
Periodička vanjska sila koja uzrokuje prisilno titranje ima frekvenciju [latex]\bm f[/latex].
Ako je [latex]\bm{f=f_0}[/latex] dolazi do maksimalnog prijenosa energije.
Tu pojavu zovemo rezonancija.
Kod rezonancije jedan sustav predaje energiju, a drugi maksimalno prima energiju (rezonira s prvim jer imaju istu frekvenciju).
Kod rezonancije:
- jedan sustav predaje energiju,
- drugi sustav maksimalno prima energiju (rezonira s prvim jer imaju istu frekvenciju).
Ako nema prigušenja, amplituda teži u beskonačnost. Ako je prisutno prigušenje, amplituda sustava koji rezonira ima konačnu vrijednost.
Ako nema prigušenja, amplituda teži u beskonačnost.
Ako je prisutno prigušenje, amplituda sustava koji rezonira ima konačnu vrijednost.
Što bi se dogodilo kada bismo periodičnom silom djelovali na sustav u kojem nema prigušenja?
Sustav bi primao energiju, rasla bi amplituda titranja i ukupna energija sustava. Titranje bi izašlo iz područja elastičnnih deformacija i postao trajno deformiran, razoren.
Primjer je razorno djelovanje rezonancije na mostu Tacoma Narrows Bridge u Washingtonu, SAD 1940. godine, kada je vjetar uzrokovao rušenje mosta.
Istražite sami taj primjer i pogledajte snimku dostupnu na webu.
Što bi se dogodilo kada bi periodičnom silom djelovali na sustav u kojem nema prigušenja?
Sustav bi primao energiju.
Rasla bi amplituda titranja i ukupna energija sustava.
Titranje bi izašlo iz područja elastičnih deformacija.
Sustav bi postao trajno deformiran, razoren.
Što bi se dogodilo kada bismo periodičnom silom djelovali na sustav u kojem nema prigušenja?
Sustav bi primao energiju.
Rasla bi amplituda titranja i ukupna energija sustava.
Titranje bi izašlo iz područja elastičnnih deformacija.
Sustav bi postao trajno deformiran, razoren.
Primjer je razorno djelovanje rezonancije na mostu Tacoma Narrows Bridge u Washingtonu, SAD 1940. godine.
Vjetar je uzrokovao rušenje mosta.
Istražite sami taj primjer.
Pogledajte snimku dostupnu na webu.
Za znatiželjne i one koji žele znati više
Dekrement i faktor dobrote [latex]Q[/latex]
Kod prigušenog titranja amplituda se eksponencijalno smanjuje u vremenu, ovisno o faktoru gušenja [latex]\bm \delta[/latex]. Omjer uzastopnih amplituda je najčešće stalan.
[latex]\frac{A_n}{A_{n+1}}=e^{–\delta T}[/latex]
Logaritam tog omjera zove se logaritamski dekrement titranja.
[latex]\Lambda =\delta \cdot T=\ln \frac{A_n}{A_{n+1}}[/latex]
Znamo da se energija titranja smanjuje s vremenom. Faktor dobrote [latex]\bm Q[/latex] je omjer energije koju ima oscilator [latex]E_1[/latex] i smanjenja po jednom titraju ([latex]E_1-E_2[/latex]):
[latex]Q=2\pi \frac{E_1}{E_1–E_2}[/latex]
Što je prigušenje manje, faktor dobrote je veći. Kada nije prisutno gušenje, faktor dobrote je beskonačano velik.
Faktor dobrote odgovara broju titraja oscilatora prije nego što se izgubi sva energija titranja. Niske vrijednosti faktora dobrote imaju oscilatori čije se titranje brzo uguši nakon prestanka djelovanja sile pobude. U nekim slučajevima je to poželjno, npr. kod kazaljke galvanometra.
Kod prigušenog titranja amplituda se eksponencijalno smanjuje u vremenu, ovisno o faktoru gušenja [latex]\bm \delta[/latex].
Omjer uzastopnih amplituda je najčešće stalan.
Taj omjer nazivamo dekrementom.
[latex]\frac{A_n}{A_{n+1}}=e^{–\delta t}[/latex]
Znamo da se energija titranja smanjuje s vremenom.
Faktor dobrote Q je omjer energije koju ima oscilator i smanjenja po jednom titraju:
[latex]Q=\frac{E_1}{E_1–E_2}[/latex]
Kada nije prisutno gušenje, faktor dobrote je beskonačan.
Sažetak
Prigušeno titranje je titranje kod kojeg se smanjuje amplituda titranja zbog djelovanja otpora sredstva.
Prisilno titranje nastaje zbog djelovanja periodične vanjske sile pobude koja potiče sustav na titranje.
Rezonancija je pojava maksimalnog prijenosa energije između dva sustava koji titraju na istoj frekvenciji.
Prigušeno titranje je titranje kod kojeg se smanjuje amplituda titranja zbog djelovanja otpora sredstva.
Prisilno titranje nastaje zbog djelovanja periodične vanjske sile pobude koja potiče sustav na titranje.
Rezonancija je pojava maksimalnog prijenosa energije između dva sustava koji titraju na istoj frekvenciji.