2.5. Heisenbergovo načelo neodređenosti

Dualnost val-čestica u kvantnoj fizici potaknula je rasprave o granicama naše mogućnosti preciznog mjerenja svojstava u mikrosvijetu. Raspravlja se o tome na koji način mjerenje utječe na samu veličinu koju mjerimo. Znamo, na primjer, ako stavimo hladan termometar u šalicu vruće kave, temperatura kave se mijenja jer ona predaje toplinu termometru. Mjerni uređaj tako utječe na veličinu koja se mjeri. Ali mi možemo ispraviti ovakve pogreške u mjerenju, ako znamo početnu temperaturu termometra te toplinske kapacitete tijela i mjernog instrumenta. Takve korekcije spadaju u domenu klasične fizike i to nisu neodređenosti kvantne fizike. Kvantna neodređenost proizlazi iz valne prirode materije. Val po svojoj prirodi zauzima neki prostor i traje neko vrijeme. Ne može se pritisnuti na točku u prostoru ili ograničiti na samo jedan trenutak vremena, jer tada to ne bi bio val. Ova svojstvena "nejasnoća" vala daje "maglovitost" mjerenju na kvantnoj razini.

Dualnost val-čestica u kvantnoj fizici potaknula je rasprave o granicama naše mogućnosti preciznog mjerenja svojstava u mikrosvijetu.

Raspravlja se o tome na koji način mjerenje nečeg utječe na samu veličinu koja se mjeri.

Na primjer:

ako stavimo hladan termometar u šalicu vruće kave, temperatura kave se mijenja jer ona predaje toplinu termometru.

Mjerni uređaj tako utječe na veličinu koja se mjeri.

Ali mi možemo ispraviti ovakve pogreške u mjerenju ako znamo:

početnu temperaturu termometra

toplinske kapacitete tijela i mjernog instrumenta.

Takve korekcije spadaju u domenu klasične fizike. To nisu neodređenosti kvantne fizike.

Kvantna nesigurnost proizlazi iz valne prirode materije.

Val po svojoj prirodi zauzima neki prostor i traje neko vrijeme.

Ne može se pritisnuti na točku u prostoru ili ograničiti na samo jedan trenutak vremena. Tada to ne bi bio val.

Ova svojstvena "nejasnoća" vala daje "maglovitost" mjerenju na kvantnoj razini.

Neodređenost pri mjerenju u mikrosvijetu, koju je matematički prvi opisao njemački fizičar Werner Heisenberg, naziva se Heisenbergovo načelo neodređenosti. To je osnovno načelo u kvantnoj mehanici. Heisenberg je utvrdio: kada se neodređenost u mjerenju količine gibanja čestice i neodređenost u mjerenju položaja iste čestice pomnože, njihov produkt mora biti jednak ili veći od Planckove konstante, $$\mathrm h$$, podijeljene sa $$4\pi$$. Načelo neodređenosti zapisujemo formulom:

$$\Delta p \Delta x \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi }$$

$$\Delta p$$ označava neodređenost količine gibanja, a $$\Delta x$$ je neodređenost položaja čestice.

Nesigurnost pri mjerenju u mikrosvijetu matematički je prvi opisao njemački fizičar Werner Heisenberg.

Naziva se Heisenbergovo načelo neodređenosti.

To je osnovno načelo u kvantnoj mehanici.

Heisenberg je utvrdio:

kada se neodređenost u mjerenju količine gibanja čestice i nesigurnost u mjerenju položaja iste čestice pomnože (·), njihov produkt mora biti jednak (=) ili veći (>) od Planckove konstante, $$\bf h$$, podijeljenoj (:) sa $$\bm{4\pi}$$. 

Načelo nesigurnosti zapisujemo formulom:

$$\Delta p \Delta x \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi }$$

Ovdje $$\bf \Delta$$ označava neodređenost.

$$\bf{\Delta}\bm p$$ je neodređenost količine gibanja.

$$\bf{\Delta}\bm x$$ je neodređenost položaja čestice.

Značaj načela neodređenosti je da, čak i u najboljim uvjetima, postoji donja granica neodređenosti pri mjerenju. To znači, ako želimo znati količinu gibanja elektrona s velikom točnošću, odgovarajuća neodređenost u određivanju položaju bit će velika. Ili obratno, što smo točnije izmjerili položaj čestice, odgovarajuća neodređenost u mjerenju količine gibanja je veća.

Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost pri određivanju energije i vremenskog intervala:

$$\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi}$$

Ona nam govori da što smo točnije odredili energetsko stanje u kojem je neka čestica, neodređenost pri određivanju vremenskog intervala u kojem se čestica nalazi u danom energetskom stanju je veća.

Značaj načela neodređenosti je, da čak i u najboljim uvjetima, postoji donja granica neodređenosti pri mjerenju.

To znači, ako želimo znati količinu gibanja elektrona s velikom točnošću, odgovarajuća neodređenost u određivanju položaju će biti velika.

Ili obratno, što smo točnije izmjerili položaj čestice, odgovarajuća neodređenost u mjerenju količine gibanja je veća (>).

Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost energije i neodređenost mjerenja vremenskog intervala:

$$\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi}$$

Ona nam govori:

što smo točnije odredili energetsko stanje u kojem je neka čestica, neodređenost pri određivanju vremenskog intervala u kojem se čestica nalazi u danom energetskom stanju je veća (>).

Pogledajte simulaciju posljedice relacija neodređenosti na primjeru ogiba fotona ili elektrona na pukotini. Mijenjajte širinu pukotine.

Kako se mijenja ogibna slika? Što možete zaključiti o neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja u ovom primjeru?

Pogledajte simulaciju posljedice relacija neodređenosti na primjeru ogiba fotona ili elektrona na pukotini.

Mijenjajte širinu pukotine.

Kako se mijenja ogibna slika?

Što možete zaključiti o neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja u ovom primjeru?

Procijenimo umnožak neodređenosti količine gibanja i neodređenosti položaja za slučaj ogiba elektrona na pukotini. Većina elektrona nalazi se unutar dva ogibna maksimuma, odnosno u području određenom kutevima $$-\alpha$$  i $$\alpha$$:

Procijenimo umnožak (·) neodređenosti količine gibanja i neodređenosti položaja za slučaj ogiba elektrona na pukotini.

Većina elektrona nalazi se unutar dva ogibna maksimuma.

Odnosno, nalazi se u području određenom kutevima $$\bm{-\alpha}$$ i $$\bm{\alpha}$$:

Procijenimo neodređenost količine gibanja $$\Delta p_x$$ u ovom području.

Procijenimo neodređenost količine gibanja $$\bf{\Delta}\bm{p_x}$$ u ovom području.

Iz slike slijedi da je:

$$\Delta p_x = p \sin \alpha$$

Iz valne optike je poznato da pri ogibu na pukotini širine $$\Delta x$$, za prvi ogibni minimum vrijedi:

$$\sin \alpha = \dfrac{\lambda}{\Delta x}$$

Uvrstimo izraz za de Broglievu valnu duljinu elektrona

$$\lambda = \dfrac{\mathrm h}{p}$$

u prethodni izraz

$$\sin \alpha = \dfrac{\mathrm h}{\Delta x p}$$

Daljnjim uvrštavanjem ovog izraza u izraz kojim smo izrazili neodređenost količine gibanja dobije se:

$$\Delta x \Delta p_x=\mathrm h$$

Radi se o procjeni na osnovu koje možemo zaključiti da umnožak neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja ne može biti proizvoljno malen.

Iz slike slijedi da je:

$$\Delta p_x = p \sin \alpha$$

Iz valne optike znamo da pri ogibu na pukotini širine $$\bf{\Delta}\bm x$$, za prvi ogibni minimum vrijedi:

$$\sin \alpha = \dfrac{\lambda}{\Delta x}$$

Uvrstimo izraz za de Broglievu valnu duljinu elektrona

$$\lambda = \dfrac{\mathrm h}{p}$$

u prethodni izraz

$$\sin \alpha = \dfrac{\mathrm h}{\Delta x p}$$

Daljnjim uvrštavanjem ovog izraza u izraz kojim smo izrazili neodređenost količine gibanja dobije se:

$$\Delta x \Delta p_x=\mathrm h$$

Na osnovi te procjene možemo zaključiti da:

umnožak neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja ne može biti proizvoljno malen.

Načelo neodređenosti relevantno je samo za kvantne pojave. Neodređenost u mjerenju položaja i količine gibanja lopte zbog interakcija objekta i opažača potpuno su zanemarive. Ali neodređenost u mjerenju položaja i količine gibanja elektrona daleko su od zanemarivih jer je u tom slučaju neodređenost pri mjerenju usporediva s veličinama koje mjerimo.

Učinimo sada misaoni pokus.

Zamislimo mjerenje brzine bačene teniske loptice. Možemo mjeriti brzinu bačene loptice tako što ćemo pustiti da proleti pored dvije foto-ćelije međusobno razmaknute na poznatoj udaljenosti.

Načelo neodređenosti relevantno je samo za kvantne pojave.

Netočnosti u mjerenju položaja i količine gibanja lopte zbog interakcija objekta i opažača potpuno su zanemarive.

Ali netočnosti u mjerenju položaja i količine gibanja elektrona nisu zanemarive. 

U tom slučaju neodređenost pri mjerenju usporediva je s veličinama koje mjerimo.

Učinimo sada misaoni pokus.

Zamislimo mjerenje brzine bačene teniske loptice.

Možemo mjeriti brzinu bačene loptice tako što ćemo pustiti da proleti pored dvije foto-ćelije.

One su međusobno razmaknute na poznatoj udaljenosti.

Dok loptica prolijeće, prekida zrake svjetlosti koje u tom trenutku ne dolaze do postavljenih detektora. Točnost izmjerene brzine lopte povezana je s točnošću u izmjerenom razmaku detektora i u mjerenju vremena. Interakcije između makroskopske kugle s fotonima koji ju pogađaju je potpuno zanemariva.

Ali nije tako u slučaju mjerenja submikroskopske tvari poput elektrona. I jedan jedini foton koji pogodi elektron vidljivo mijenja gibanje elektrona - i to na nepredvidiv način.

Ako želimo promatrati elektron i pomoću svjetla utvrditi njegov položaj, valna duljina svjetlosti morala bi biti vrlo kratka. Naime, kao što smo vidjeli u prvom modulu, da bismo mogli razlučiti točke u prostoru, njihova udaljenost ne bi trebala biti manja od valne duljine svjetlosnog vala kojim ih promatramo. No, što je manja valna duljina svjetlosti, a veća energija fotona koji pogađa elektron, doći će do veće promjene u količini gibanja elektrona.

S druge strane, valna duljina vidljive svjetlosti zanemariva je u odnosu na dimenzije loptice, isto kao i energija koju njeni fotoni predaju loptici. Pri određivanju položaja i brzine loptice, neodređenost ima zanemariv učinak.

Dok loptica prolijeće prekida zrake svjetlosti. Zrake u tome trenutku ne dolaze do postavljenih detektora.

Točnost izmjerene brzine loptice povezana je s točnošću u izmjerenom razmaku detektora i u mjerenju vremena.

Interakcije između makroskopske kugle s fotonima koji ju pogađaju je potpuno zanemariva.

Nije moguće istovremeno odrediti položaj $$x$$ i količinu gibanja $$p$$ neke čestice. Ako je neodređenost u mjerenju položaja $$\Delta x$$, količinu gibanja moguće je odrediti jedino s neodređenosti $$\Delta p$$, pri čemu $$\Delta x \cdot \Delta p$$ ne može biti manje od $$\frac{\mathrm h}{4\pi}$$.

$$\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi}$$

Nije moguće istovremeno odrediti položaj $$\bm x$$ i količinu gibanja $$\bm p$$ neke čestice.

Ako je neodređenost u mjerenju položaja $$\bf{\Delta}\bm x$$, količinu gibanja moguće je odrediti jedino s neodređenosti $$\bf{\Delta}\bm p$$.

 Pri čemu $$\bf{\Delta}\bm x \cdot \bf{\Delta}\bm p$$ ne može biti manje (<) od $$\frac{\bf h}{\bm{4\pi}}$$.

$$\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi}$$

Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost energije i neodređenost mjerenja vremenskog intervala:

$$\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi }$$

Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost energije i neodređenost mjerenja vremenskog intervala:

$$\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi }$$