U protekle tri godine učenici su upoznali elementarne funkcije: linearnu, funkciju apsolutne vrijednosti, kvadratnu, racionalnu, funkciju drugog korijena, eksponencijalnu, logaritamsku te trigonometrijske funkcije. Određivali su domenu, sliku i proučavali svojstva te na osnovi zaključaka i specifičnih točaka crtali pripadne grafove.

Učenici uglavnom uspješno crtaju grafove elementarnih funkcija, ali imaju poteškoća s crtanjem grafa složenije funkcije, tj. s rješavanjem zadatka u je kojem za elementarnu funkciju $f\left(x\right)$ potrebno nacrtati graf funkcije $g\left(x\right)=af\left(bx\pm x_0\right)\pm y_0.$

U ovoj će aktivnosti učenici povezati utjecaj koeficijenata na pomak (translacije) i rastezanje/stezanje grafa elementarne funkcije u smjeru jedne od koordinatnih osi u koordinatnom sustavu. Posebno je važno da učenici na kraju spoznaju da zaključci o translaciji i rastezanju/stezanju grafa vrijede na isti način za sve elementarne funkcije. Ideja aktivnosti je sistematizacija teme Graf funkcije koja je uvijek dosad obrađivana za svaku funkciju posebno.

Da biste učenike potaknuli na aktivnost, važno je da im tema bude zanimljiva te da uoče primjenjivost u ostalim kontekstima. To ćete najlakše postići uvođenjem u temu primjerom iz svakidašnjeg života.

Pitate li ih, npr., Kojom se putanjom lopta kreće na putu od košarkaša do koša?, učenici će reći da je to parabola. Podsjetite ih na osnovni graf $f\left(x\right)=x^2$ te potaknite da komentiraju graf putanje lopte $g\left(x\right)=-0.25(x-2.5{)}^2+3.5$ (tjeme sad nije u ishodištu, otvor grafa je prema dolje, širi je od osnovnoga grafa…).

Oba grafa možete prikazati koristeći se digitalnim alatom GeoGebra.

Recite učenicima a će u ovoj aktivnosti promatrati grafove elementarnih funkcija te sistematizirati utjecaj koeficijenata na promjene grafa.

Učenike podijelite u tročlane ili četveročlane skupine. Svakoj skupini zadajte jednu elementarnu funkciju i putem, npr., Google Učionice podijelite zadatak i kratke upute.

Zadatak sadržava funkciju koja opisuje pojavu iz svakidašnjega života, a koja nastaje transformacijama zadane elementarne funkcije. Krajnji je cilj aktivnosti nacrtati graf te funkcije.

Primjer zadatka: Maturanti su osnovali skupinu za ponavljanje gradiva za maturu iz Matematike. Broj članova može se opisati funkcijom $f\left(x\right)=3{\log }_2\left(2x+1\right)+5$ , gdje je x broj dana proteklih od osnivanja skupine.

Upute za učenike trebaju sadržavati korake rješavanja zadatka. Učenici će savladati crtanje grafova koji nastaju od grafa elementarne funkcije da bi u konačnici nacrtali graf zadane funkcije.

S pomoću jednostavnoga digitalnog alata, na primjer Desmos, učenici crtaju graf zadane elementarne funkcije. Nakon toga u istome koordinatnom sustavu crtaju grafove funkcija s pomakom, odnosno promatraju utjecaj koeficijenata x₀ i y₀. Na primjer, ako je skupina dobila eksponencijalnu funkciju, članovi te skupine crtaju nekoliko primjera u obliku: $f\left(x\right)=2^x,f_1\left(x\right)=2^{x\pm 1},f_2\left(x\right)=2^x\pm 3.$

Unutar skupine učenici komentiraju i izvode zaključke o nacrtanim grafovima i njihovom vezom s grafom elementarne funkcije, zapisuju kada se graf pomiče lijevo (desno), odnosno gore (dolje) u koordinatnom sustavu.

Nadalje, crtajući u alatu Desmos, učenici promatraju utjecaj koeficijenata a i b na graf funkcije, odnosno uspoređuju dobiveni graf s grafom elementarne funkcije. Na primjer, učenici iz skupine koja je dobila elementarnu funkciju sinus crtaju primjere u obliku: $f\left(x\right)=\sin \left(x\right),f_1\left(x\right)=2\sin \left(x\right),f_2\left(x\right)=\sin \left(2x\right).$

Unutar skupine učenici izvode zaključke o nacrtanim grafovima i njihovoj vezi s grafom elementarne funkcije. Uočavaju da se događa rastezanje/stezanje grafa, zapisuju koji koeficijent utječe na rastezanje/stezanje grafa u smjeru osi apscisa, a koji u smjeru osi ordinata.

Nakon toga povezuju zaključke i crtaju nekoliko funkcija u obliku $g\left(x\right)=af(bx\pm x_0)\pm y_0$. Na primjer, za funkciju apsolutna vrijednost učenici crtaju primjere u obliku: $g\left(x\right)=3\left|2x-1\right|+5.$

Učenici uspoređuju dobiveni graf s grafom početne elementarne funkcije pa sistematiziraju pravila za crtanje grafa za "svoju" elementarnu funkciju.

Za kraj crtaju graf iz zadatka primjene koji je skupina dobila.

Koristeći se digitalnim alatom za suradnju, primjerice Padlet, skupine prikazuju svoja zapažanja za određenu elementarnu funkciju. Raspravom u razredu učenici uočavaju pravilnost te zajednički iznose zaključke o vezi zadanih koeficijenata i pomaka, odnosno rastezanja/stezanja grafa bilo koje elementarne funkcije u koordinatnom sustavu.

Da bi učenicima olakšali crtanje i prepoznavanja grafa funkcije pozovite ih da radi lakšeg snalaženja pri primjeni pravila zaključke sistematiziraju i organiziraju crtanjem umne mape u nekome digitalnom alatu, primjerice Popplet.

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćama premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri rješavanju zadatka.

S učenicima s teškoćama je posebno važno provjeriti znanja koja se smatraju usvojenima. Prema potrebi za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz grafički prikaz te dopustite da se njime koriste. To posebno vrijedi za učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Također je važno pri svrstavanju učenika u skupine pripaziti u koju ćete skupinu smjestiti učenika s teškoćama. Preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati. Učenike s teškoćama potrebno je uvrstiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore). Prema potrebi podijelite zadatke unutar skupine s obzirom na učenikove jake i slabe strane (npr. učenik može prezentirati ili računati ili može biti zadužen za izradu umnih mapa).

U razrednoj raspravi nemojte isticati učenika s teškoćama ako je pogriješio. Nakon razredne rasprave omogućite mu odgovore na pitanja koja su se postavljala tijekom rasprave.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju - savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnom jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Koristeći se klizačem u digitalnom alatu GeoGebra, učenici mogu izraditi zadane zadatke te će na taj način imati još bolju vizualnu prezentaciju konkretne funkcije i tražene ovisnosti.

Također, možete potaknuti učenike na istraživanje kako zadati funkciju čiji će graf biti simetričan grafu zadane funkcije s obzirom na jednu od kordinatnih funkcija. Svoje zaključke mogu iznijeti ostalim učenicima koristeći se prezentacijom u PowerPointu u koju će umetnuti slike nacrtane u GeoGebri.

U ovoj bi aktivnosti učenici trebali primijeniti zaključke iz prethodne aktivnosti i povezati funkciju zadanu formulom s pripadnim grafom. Aktivnost možete provesti u obliku igre u paru.

Svaki učenik izabere jednu konkretno zadanu elementarnu funkciju (npr., $f\left(x\right)=\left|x\right|,g\left(x\right)=3^x,h\left(x\right)=\cos \left(x\right)...$) i zadaje pet primjera funkcije s različitim koeficijentima koji utječu na translaciju grafa i rastezanje/stezanje grafa u smjeru koordinatne osi u koordinatnom sustavu. Zapisuje pravilo pridruživanja formulom i crta pripadni graf u nekome digitalnom alatu, na primjer Desmos. Sliku grafa i zapis funkcije unosi u alat za izradu parova, na primjer LearningApps. Nakon toga učenici u paru zamijene zadatke i rješavaju ih.

Nakon što je učenik uspješno spojio sve parove, drugi dio zadatka rješava samostalno.

Izabire jednu od pet zadanih funkcija te sastavlja "Priču o funkciji", odnosno povezuje graf s nekom njemu bliskom situacijom iz svakidašnjega života. Tu je važno da učenik prepozna koju bi pojavu mogla prikazivati zadana funkcija te da od ponuđenih primjera izabere onaj koji najbolje prikazuje pojavu (npr., ako učenik u zadatku ima funkciju sinus i kaže da graf prikazuje kako se mijenja cijena proizvoda, graf mora biti translatiran prema gore i biti iznad osi x...)

Ako učenici nemaju ideju u kojem kontekstu mogu primijeniti zadanu funkciju, odgovor mogu potražiti na mrežnim stranicama.

Učenici svoje zadatke mogu podijeliti s ostalim učenicima postavljajući ih u zajedničku prezentaciju putem, npr., alata PowerPoint.

Za kraj aktivnosti možete provesti kratko formativno vrednovanje. Učenici na tabletu ili pametnom telefonu otvaraju kratki kviz u kojemu nacrtanom grafu trebaju pridružiti jedan od ponuđenih funkcijskih zapisa. Vrednovanje možete provesti digitalnim alatom Forms.

Primjer kviza možete pogledati ovdje.

Učenicima s teškoćama dopustite da se koriste zaključcima iz prethodne aktivnosti. Prema potrebi pripremite ispisane zaključne.

Pazite na to da učenik s teškoćama bude u paru s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćama. Uvijek postoje učenici koji su senzibilniji i mogu pružiti potporu učenicima s teškoćama u obliku usmjeravanja ili pomaganja te je takve vršnjake važno na vrijeme prepoznati. Provjeravajte s parom kako napreduju u obavljanju zadatka. Predvidite više vremena za rješavanje zadatka i kviza za učenike s teškoćama, a to se posebno odnosi na učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.

U ovoj će aktivnosti učenici primijeniti crtanje grafova koji nastaju transformacijama grafova elementarnih funkcija i čitanje s grafa funkcija na primjerima iz drugih područja i svakidašnjeg života. Kad god smo u mogućnosti, želimo učenicima odgovoriti na vječno pitanje: Gdje će mi ovo trebati?

Kao odgovor želimo da za pojavu (izvan konteksta matematike) prikazanu grafom prepoznaju funkciju kojom približno možemo interpretirati zadani graf te da opišu njezina svojstva, procijene što će se događati u budućnosti i sl.

Međutim, kako je u stvarnoj primjeni teško pronaći jednostavne primjere grafova funkcija, za početak možete učenicima u nekoliko zadataka prikazati malo idealizirane situacije, kao što je to u sljedećim primjerima.

Primjere možete podijeliti s učenicima putem Google Učionice.

Nakon što su učenici riješili nekoliko tako pojednostavnjenih situacija, zadajte im da na mrežnim stranicama potraže primjere iz svakidašnjeg života. Raspoređeni u skupine zajednički istražuju i izabiru neku pojavu/situaciju izvan matematike prikazanu grafom. Trebaju prepoznati i zapisati funkciju kojom bi bilo moguće približno interpretirati zadani graf, opisati obilježja grafa. Za pomoć mogu se koristiti digitalnim alatom GeoGebra u kojem mogu usporediti zadani graf i graf funkcije koju su zapisali.

Svoje zaključke ujedinit će u prezentaciju u PowerPointu. Na kraju predstavnici skupine objavljuju zadatak i objašnjavaju ga ostalim učenicima. Da bi učenici bolje razumjeli primjer koji prikazuju, potaknite ih na razmišljanje pitanjima kao što su: Zašto u tom primjeru graf mora biti iznad osi apscisa?, Zašto ta sinusoida nema nul-točku u ishodištu?, Zašto se cijeli graf nalazi u prvom kvadrantu?...

Ako se učenici ne snalaze pri odabiru primjera koji će prikazati, možete ih usmjeriti navođenjem nekih konkretnih tema koje mogu istraživati. Neke od tema koje učenici mogu istraživati su: plima i oseka, graf prosječnih temperatura ili količina padalina, graf koronavirusa, krivulja zaboravljanja, rast populacije, cijene zlata...

Zadatak možete pojednostavniti uputom da odabrani graf promatraju samo u nekom intervalu (u kojem prepoznaju sličnost s grafom poznate funkcije).

Učenicima s teškoćama uvelike pomaže kada se gradivo poveže sa svakidašnjim životom, obogaćuje se konkretnim primjerima i upućuje na povezanost sa životom. No, potrebno im je omogućiti podsjetnike kako bi bolje rješavali zadatke. To se posebno odnosi na učenike sa specifičnim teškoćama u učenju, ali i na učenike s poremećajem iz spektra autizma.

Učenicima s navedenim teškoćama preporučuje se ispisati zadatke te grafički i jezično prilagoditi. Jezična prilagodba podrazumijeva kraće rečenice uobičajenog poretka riječi u rečenici s jasno izrečenim svim njezinim dijelovima, bez metafora, s izdvojenim i objašnjenim nepoznatim i/ili ključnim pojmovima. Grafička prilagodba podrazumijeva prilagodbe poput upotrebe određene vrste fonta (npr. OmoType, Arial, Verdana) koji je uvećan, dvostruki prored, povećani razmak među slovima te lijevostrano poravnanje. Grafička prilagodba važna je i za učenike s oštećenjem vida.

Također je učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju važno osigurati dovoljno mjesta za rješavanje zadataka.

Kao i u prethodnoj aktivnosti, tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u skupini u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Također je važno pri svrstavanju učenika u skupine pripaziti u koju ćete skupinu smjestiti učenika s teškoćama. Uz to, predvidite više vremena za rješavanje zadatka i kviza za učenike s teškoćama, a to se posebno odnosi na učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.