Pri uvođenju novih sadržaja učenike želimo motivacijskim uvodom zainteresirati za temu. U idealnoj situaciji učenici sami otkrivaju što slijedi i zašto je važno.

Ideja aktivnosti je promatranje grafova koji prikazuju neku poznatu pojavu iz svakidašnjega života. Učenici će prepoznati važnost i primjenjivost grafičkog prikaza. Trebaju se zapitati koje važne informacije možemo dobiti iz grafa i kako ih dobiti s obzirom na to da su grafovi koji prikazuju stvarne situacije uglavnom složeniji i ne možemo ih prikazati elementarnim funkcijama.

Učenici mogu raditi u paru. Putem, npr., Google Učionice podijelite im nekoliko poveznica koje će ih odvesti na različite grafičke prikaze ili ih potaknite da sami na mrežnim stranicama pronađu grafove koji predstavljaju različite pojave iz drugih područja i svakidašnjeg života.

Prijedlozi poveznica:

Istraživanja Hrvatske narodne banke (Međunarodna trgovina i gospodarski rast Hrvatske, Analiza kretanja domaće stope inflacije, Globalna kriza…)

Vremenska prognoza (temperatura, vjetar, tlak zraka)

Koronavirus u Hrvatskoj (broj pozitivnih, udio pozitivnih u testiranima, broj umrlih, stanje u Europi...)

Učenici u paru međusobno postavljaju pitanja o grafu, primjerice: U kojim periodima (intervalima) graf raste (pada)?, Postiže li negdje graf maksimum (minimum) i koliko iznosi?, Je li graf na nekim dijelovima ravan?... Drugi član para čita iz grafa i odgovara na postavljena pitanja.

Razgovaraju o tome koje su informacije važne u svim primjerima te svoja pitanja putem ploče Padlet dijele s ostalim učenicima.

Očekivano je da se slična pitanja pojave za različite grafove. Učenici uočavaju važnost određivanja intervala monotonosti i lokalnih ekstrema.

Aktivnost završava igrom u paru. Svaki član para samostalno osmisli i nacrta grafički prikaz njemu bliske pojave iz svakidašnjeg života. Prvi učenik promatra graf (drugi učenik ga ne vidi) i na osnovi grafa daje upute drugom učeniku, koji s pomoću tih uputa crta graf na svojemu papiru. Prvi učenik prepoznaje i očitava s grafa informacije koje su potrebne drugom učeniku da bi nacrtao točan graf. Kad je graf nacrtan, učenici zamijene uloge.

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na i pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri rješavanju zadatka.

S učenicima s teškoćama je posebno važno provjeriti znanja koja se smatraju usvojenima. Prema potrebi za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz grafički prikaz te im dopustite da se njime koriste u radu.

Vodite računa da je učenik s teškoćom u paru s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Uvijek postoje učenici koji su senzibilniji i mogu pružiti pomoć učenicima s teškoćama usmjeravajući ih ili pomažući im te je takve vršnjake važno na vrijeme prepoznati. Na taj način učenik s teškoćom postavljao bi pitanja vezana za graf, a suučenik bi odgovarao i tako poučavao učenika s teškoćom. Provjeravajte s parom kako napreduju u rješavanju zadatka. Prema potrebi usmjerite učenika s teškoćom u postavljanju pitanja. Predvidite više vremena za rješavanje zadatka i kviza za učenike s teškoćama, a to se posebno odnosi na učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju - savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnom jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici povezati funkciju i njezinu derivaciju te otkriti kako odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstreme zadane funkcije.

Učenike podijelite u tročlane ili četveročlane skupine, putem Google Učionice podijelite im poveznicu na materijal Tangenta na graf funkcije. Uz poveznicu možete za pomoć postaviti potpitanja i korake aktivnosti.

1. Na tabletu ili pametnim telefonu otvorite poveznicu i promatrajte položaj tangente na graf funkcije, s pomoću klizača mijenjajte položaj točke na grafu u kojoj promatrate tangentu. Zapišite opažanja.

Učenici će uočiti da na dijelovima grafa u kojima funkcija raste pravac (tangenta) također raste, ako graf pada, tada i tangenta pada i konačno ako u nekim točkama funkcija postiže lokalni maksimum/minimum, tada je tangenta pravac usporedan s osi x.

2. Kako iz jednadžbe tangente znamo raste li ili pada?

Sada se učenici trebaju prisjetiti ovisnosti koeficijenta smjera pravca o njegovu rastu/padu. Ako smatrate da učenici nisu sigurni što trebaju raditi, možete im postaviti sadržaj za ponavljanje kao ovdje.

3. Kako određujemo koeficijent smjera tangente?

Učenici povezuju nedavno obrađeni sadržaj koji mogu pročitati i podsjetiti se ovdje.

Skupine donose i zapisuju krajnji zaključak: Funkcija raste na intervalima u kojima je derivacija funkcije pozitivna i pada kada je derivacija negativna. Točke u kojima graf možda prelazi iz pada u rast ili obratno (derivacija možda mijenja predznak) mogu biti jedino one u kojima je derivacija nula. Tim točkama podijelimo domenu na intervale monotonosti. Tako ćemo ujedno izračunati lokalne ekstreme funkcije.

4. Primijenite zaključeno na primjeru.

Učenicima putem Google Učionice podijelite zajednički zadatak primjene koji sadržava nekoliko primjera (podzadataka) u kojem se nalaze različiti polinomi trećeg i četvrtog stupnja. Svaka skupina odabire jedan podzadatak, zatim zadanom polinomu određuje intervale monotonosti i lokalne ekstreme te objašnjava značenje rasta, pada i ekstrema na zadanom primjeru.

Primjer zadatka:

Planira se izrada „vlaka straha“ u zabavnom parku. Arhitekt predlaže da se sastoji od četiri dijela tračnica opisanih funkcijama na zadanom intervalu:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+2,\left[-3,3\right] \\ g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2},\left[-1,3\right] \\ h\left(x\right)=\frac{1}{8}{x}^4-\frac{5}{4}{x}^2+\frac{9}{8},\left[-3,3\right] \\ k\left(x\right)=-\frac{1}{12}{x}^4+\frac{13}{12}{x}^2-1,\left[-3.5,3.5\right] \end{gathered}$$

Posjetitelji će ulaziti u vlak s platforme koja je postavljena na visini od 3 m u razini osi x koordinatnog sustava. Odaberite jedan dio tračnica i odredite najveću visinu koju vlak dostiže te intervale u kojima se vlak uspinje/spušta?

Za kraj aktivnosti možete u digitalnom alatu, primjerice, Desmos nacrtati nekoliko grafova funkcija i njihovih derivacija te podijeliti učenicima putem Google Učionice i pozvati ih da spoje odgovarajuće parove. Učenici će tako s pomoću nacrtanih grafova uvježbati promatranje i povezivanje predznaka derivacije s padom i rastom funkcije.

I u ovoj je aktivnosti važno s učenicima s teškoćama provjeriti znanja koja se smatraju usvojenima. Prema potrebi za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz grafički prikaz te im dopustite da se njime koriste u radu. To posebno vrijedi za učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.

Za učenike s oštećenjem vida potrebno je prilagoditi svjetlost u prostoru te svjetlinu i kontrast na zaslonu.

Pri radu u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u skupini u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Također je važno pri svrstavanju učenika u skupine pripaziti u koju ćete skupinu smjestiti učenika s teškoćama. Učenike s teškoćama potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore). S učenicima s oštećenjem sluha provjerite jesu li razumjeli upute i zadatke.

Učenicima s teškoćama na kraju aktivnosti osigurajte ispisana pitanja i odgovore na njih.

Aktivnost je zamišljena kao sistematizacija. Učenici će crtati grafove jednostavnih funkcija, polinoma trećeg i četvrtog stupnja te racionalne funkcije u kojoj su brojnik i nazivnik najviše drugog stupnja. Zadatci će učenicima biti zanimljivi ako funkcije opisuju njima bliske primjere iz svakidašnjeg života.

Kao motivaciju za crtanje grafa možete dati primjer iz fizike kao što je, primjerice, uvodni primjer u e-škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.4.

Učenici zadatke mogu rješavati u paru. Da bi nacrtali graf trebaju primijeniti i povezati dosad usvojene sadržaje.

Putem, npr., Google Učionice podijelite im nekoliko primjera zadataka i korake rješavanja kao pomoć.

Primjeri zadataka:

1. Dovršite mapu Parka prirode

U priloženu mapu Parka prirode ucrtajte potok koji nedostaje, a prolazi kroz park opisujući funkciju $f\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^3-\frac{1}{3}{x}^2-\frac{5}{6}x+1.$

(Pripremite za učenike papire A4 s ucrtanim koordinatnim sustavom takvim da je raspon na osi x od -2 do 3. Prema želji možete u neke točke navesti sadržaje parka, npr.: stari hrast, sjenica, klupa…)

2. Staza za skejtere

Na dijelu igrališta izgrađena je staza za vratolomije na skejtu s usponima i padovima. Staza se može modelirati dijelom grafa funkcije $f\left(x\right)=\frac{1}{48}(x^2-1)(x^2-16)$ na intervalu $\left[-4,4\right].$ U koordinatnom sustavu nacrtajte graf.

3. Šetnica

Šetnica koja se proteže uz rijeku može se modelirati funkcijom $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+1}.$ Nacrtajte pripadni graf u koordinatni sustav koji predstavlja plan grada kojim protječe rijeka.

Koraci rješavanja:

1. Odredite domenu funkcije i sjecišta grafa s koordinatnim osima.

2. Odredite derivaciju funkcije i stacionarne točke (nul-točke derivacije).

3. Odredite intervale rasta i pada funkcije i lokalne ekstreme funkcije ako postoje.

4. S pomoću dobivenih podataka nacrtajte graf funkcije (možete odrediti vrijednost funkcije u još nekoliko prema želji odabranih točaka).

Nakon što učenici riješe zadatke, prikažite im grafove zadanih funkcija nacrtanih u digitalnom alatu, primjerice, Desmos. Pozovite ih da usporede svoje grafove s nacrtanima, u paru komentiraju i isprave moguće pogreške.

Za kraj mogu usvojene sadržaje sistematizirati u umnoj mapi koristeći se alatom, primjerice, Bubbl.us.

Također, kao i u prethodnim aktivnostima, važno je s učenicima s teškoćama provjeriti znanja koja se smatraju usvojenima. Prema potrebi za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz grafički prikaz te im dopustite da se njime koriste u radu, a to posebno vrijedi za učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.

Tijekom samostalnog rada važno je predvidjeti više vremena za učenike s teškoćama te je za učenike s teškoćama općenito poželjno predvidjeti rad u paru. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka ili teško održava pozornost na zadatku. Pri podjeli u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Učenike s teškoćama potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Želimo li još više saznati o grafu funkcije i nacrtati ga preciznije bolje učenike upoznati ćemo sa drugom derivacijom funkcije, točkama pregiba te intervalima konveksnosti i konkavnosti.

Možete im dati ključne riječi, dovoljno je npr. druga derivacija (usput ih pitati što misle kako bi je izračunali), pozvati ih da sami istraže na Internetu pa naprave kratku prezentaciju putem npr. Prezi za ostale učenike.