Jedan od važnijih pojmova u srednjoškolskoj matematici jest pojam funkcije. U funkcijama možemo gledati razna svojstva, a jedno od njih je i svojstvo neprekidnosti.

Da biste uveli pojmove neprekinuta funkcija i funkcija s prekidom, zadajte sljedeći problem.

Slastičarnica Slasno bilježila je dnevni utržak i uočila da se on tijekom godine mijenja u obliku parabole. Dobiveni su sljedeći podatci: 10. dan u godini utržak je bio 1112 kn, 20. dan u godini 7096 kn, a jedan od najvećih utržaka bio je otprilike na sredini godine, 180. dan i iznosio je 7096 kn. Kako su vlasnici planirali obnoviti slastičarnu u travnju, 100. dan u godini, možete li procijeniti koliko bi utržak bio taj dan? Hoće li oni ostvariti taj utržak? Ako se takav trend nastavi i sljedeće godine, možete li predvidjeti koliki bi utržak bio taj dan? Mogu li pametnije organizirati renoviranje ako odaberu neki drugi dan u godini?

Kao pomoć pri raspravi o tom problemu, u programu GeoGebra pripremite njegov grafički prikaz. Možete ispisati i tablicu s vrijednostima. Primjer možete pogledati ovdje.

Učenici su upoznali razne vrste funkcija i njihova svojstva. Zajedno se prisjetite koje su to elementarne funkcije do sada upoznali? Koje su domene i slike tih funkcija?

Kako bi učenici ponovili pojmove domena i slika funkcije, zadajte im aktivnost izrađenu u digitalnom alatu Desmos. Generirajte kod te neka svaki učenik s pomoću tog koda sa svojega digitalnog uređaja pristupi pitanjima te odgovori na njih. Pitanja su na engleskom jeziku, ali jednostavna i popraćena slikom. U zadatcima je najvažnije da učenici iz grafičkog prikaza odrede domenu funkcija (domain) i sliku (range) funkcija. Kad učenici završe s radom, zajedno pogledajte točne odgovore i komentirajte rješenja. U komentiranju se osvrnite na funkcije koje imaju prekid.

Ponovno se prisjetite svih elementarnih funkcija i njihovih grafova. U tu bi svrhu bilo korisno imati plakat s grafičkim prikazom elementarnih funkcija. Primjer jednoga takvog plakata možete pronaći na naći na mreži. Prikazane su elementarne funkcije s njihovim grafovima. Pitajte učenike koje od tih grafova mogu nacrtati samo jednim potezom olovke (a da ne podignu olovku s papira). Na taj se način može intuitivno uvesti pojam neprekinute funkcije.

Koristeći se alatom Lino, pripremite dvije ploče na koje će učenici "lijepiti" svoje grafove. Na jednoj ploči napišite naslov "Neprekinute funkcije", a na drugoj "Funkcije s prekidom". Lino je besplatni alat koji "glumi" oglasnu ploču. Nakon stvaranja nove ploče na nju se mogu dodavati razni elementi. U našem će slučaju to biti grafovi funkcija.

Podijelite učenike u parove. Neka svaki učenik u alatu Desmos nacrta po jedan primjer grafa neprekinute funkcije i po jedan primjer funkcije s prekidom. Njegov par treba prepoznati o kojoj je funkciji riječ i "zalijepiti" taj graf na odgovarajuću ploču koju ste pripremili.

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćama premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri rješavanju zadatka.

S učenicima s teškoćama je posebno važno provjeriti znanja koja se smatraju usvojenima. Prema potrebi, za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz grafički prikaz te im dopustite da se njime koriste u radu. To se posebno odnosi na učenike sa specifičnim teškoćama u učenju.

Za aktivnost u alatu Desmos, prema potrebi, smanjite broj zadataka za učenike s teškoćama. Provjerite s učenicima s teškoćama pitanja na engleskom i prema potrebi im objasnite ili ispišite pitanja na hrvatskom. Učenici s oštećenjem jezično-glasovne-govorne komunikacije i specifičnim teškoćama u učenju katkad mogu imati teškoća u usvajanju stranog jezika.

Vodite računa da je učenik s teškoćama u paru s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Uvijek postoje učenici koji su senzibilniji i mogu pomoći učenicima s teškoćama usmjeravajući ih ili im pomažući te je takve vršnjake važno prepoznati na vrijeme.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju - savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U prethodnoj su aktivnosti učenici shvatili pojam prekida funkcije. U ovoj će aktivnosti naučiti pojam limesa funkcije u točki prekida i u beskonačnosti.

Učenike podijelite u dvije skupine. Zadatak je prvoj skupini u programu GeoGebra nacrtati graf funkcije $f\left(x\right)=x-2,$ a druga skupina treba nacrtati graf funkcije $g\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}.$ Nakon toga neka izrade klizač za varijablu $x$ te promatraju vrijednosti tih funkcija u okolini točke $x=-2.$ Učenici bi trebali uočiti da njihovi grafovi izgledaju gotovo isto, uz iznimku točke s apscisom $-2.$ Funkcija $g$ nije definirana za $x=-2.$ Koristeći se tablicom s vrijednostima funkcije $\mathrm{g,}$ učenici mogu promatrati što se događa kad se $x$ približava vrijednosti $-2$ slijeva i zdesna. Zajedno s učenicima pogledajte videozapis koji objašnjava problem određivanja limesa u točki, Calculus - The limit of a Functiona.

Podijelite učenike u parove i zadajte im isti problem.

Matko je odlučio krenuti u laganu šetnju. Zamolio je prijateljicu Željku da dođe po njega automobilom nakon jednog sata. Upute koje je ostavio Željki glase: "Krenuo sam od škole pravocrtno prema sjeveru točno u 12 h. Moj prijeđeni put u kilometrima se mijenja s obzirom na vrijeme u satima prema formuli $f\left(x\right)=\frac{5x^2-5x}{x-1}.$ Dođi po mene u 13 h. Čekam te!" Možete li pomoći Željki da procijeni kamo će doći po Matka? Kada Željka treba krenuti po Matka da bi došla na to mjesto točno u 13 h ako je njezina prosječna brzina $60\raisebox{1ex}{$km$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$h$}\right.?$

Nakon rasprave neka svaki par napiše ili nacrta svoje rješenje na zajedničkoj Padlet ploči.

Osim određivanja limesa u nekoj konkretnoj točki mogu se promatrati limesi u beskonačnosti.

Ponovno podijelite učenike u parove. Neka svaki učenik nacrta graf prema želji odabrane funkcije, a suučenik iz para treba odrediti vrijednost limesa te funkcije kad x teži u $-\infty$ i kad x teži u $+\infty .$ Kao pomoć za određivanje limesa može im pomoći Wolfram Alpha Online Limit Calculator. U tom se kalkulatoru upisuju funkcije i točka u kojoj želimo odrediti limes (može se odrediti i limes u beskonačnosti). Kad pritisnemo tipku COMPUTE, prikazuje nam se traženi limes, limes slijeva, limes zdesna i uza sve to i grafički prikaz funkcije na kojem se može uočiti traženi limes.

Prijedlog je da učenici spajaju parove kartica na kojima je određen limes funkcije u nekoj točki s karticom na kojoj je grafički prikaz te funkcije. Primjer kartica možete pogledati ovdje.

Tijekom rada u paru ili skupini vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri radu u skupini vodite brigu o tome da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje. Učenike s teškoćama potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore). Provjeravajte rad po fazama aktivnosti u onoj skupini u kojoj je učenik s teškoćama. Uz to, provjeravajte s učenikom s teškoćama razumije li kako se koriste digitalni alati. Za učenike s oštećenjem vida potrebno je prilagoditi svjetlost u prostoru te svjetlinu i kontrast na zaslonu. S učenicima s oštećenjem sluha provjerite jesu li razumjeli upute i zadatke.

U ovoj je aktivnosti cilj da učenici povežu pojam limesa funkcije u beskonačnosti s grafičkim prikazom te funkcije.

Razgovarajte s učenicima o porastu broja stanovnika u svijetu te o promjeni broja stanovnika u Hrvatskoj. Možete podijeliti učenike u dvije skupine koje će provesti parlaonicu o temi demografskih mjera u Republici Hrvatskoj.

Postoji nekoliko modela koji govore o promjeni broja jedinki u nekoj populaciji. Neka učenici prouče Malthusov model rasta populacije i logistički model rasta populacije koji se mogu primijeniti na promjenu broja stanovnika. Kao pomoć im može poslužiti rad Matematičko modeliranje demografskih procesa.

U programu GeoGebra izradite knjigu u kojoj se na jednoj stranici nalazi grafički prikaz Malthusova modela ( $P\left(t\right)=P_0{e}^{rt}$ ), a na drugoj stranici prikaz logističkog modela ( $P\left(t\right)=\frac{Q{P}_0}{P_0+\left(Q-P_0\right)e^{-rt}}$ ). Početna veličina populacije, $P_0,$ stopa rasta, $r$ i vrijeme, $\mathrm{t,}$ neka budu prikazane s pomoću klizača.

Učenike podijelite u timove. Sa svakim timom podijelite knjigu izrađenu u GeoGebri te neka učenici zajednički istraže Malthusov model rasta populacije i logistički model rasta populacije mijenjajući različite parametre. Svoja zapažanja što se događa kada je r pozitivan, kad je negativan i kad je jednak nuli neka prikažu izradom plakata u alatu Conceptboard. Vođa svakog tima iznosi zaključke ostalim učenicima koristeći se plakatom koji je izradio njegov tim. Raspravu završite podatkom o porastu broja stanovnika prema Malhtusovu modelu ili prema logističkome modelu te koliki bi broj stanovnika bio vrijednost limesa za logistički model.

S učenicima s teškoćama provjeravajte jesu li razumjeli upute. Provjeravajte kako se učenici snalaze na Edutoriju i jesu li pronašli zadani zadatak. Prema potrebi ih usmjerite. Općenito je važno s učenicima s teškoćama provjeravati kako se snalaze u digitalnim alatima.

Pri izradi vlastitog memoryja učenicima s teškoćama omogućite uporabu primjera kako bi bili učinkoviti.

Učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju problem su zadatci u kojima je potrebna brzina, zato pri rješavanju kviza najprije pročitajte pitanja i ponuđene odgovore, a tek nakon toga omogućite svim učenicima da odgovaraju na postavljena pitanja. Zamjena digitalnom kvizu jest da pripremite listić s pitanjima za ponavljanje. Tijekom izrade listića vodite računa o jezičnoj i grafičkoj prilagodbi. Jezična prilagodba podrazumijeva kraće rečenice uobičajenog poretka riječi u rečenici s jasno izrečenim svim njezinim dijelovima, bez metafora, s izdvojenim i objašnjenim nepoznatim i/ili ključnim pojmovima. Grafička prilagodba podrazumijeva prilagodbe poput upotrebe određene vrste fonta (npr. OmoType, Arial, Verdana) koji je uvećan, dvostruki prored, povećani razmak među slovima te lijevostrano poravnanje.

Neka učenici samostalno pokušaju istražiti čemu je jednak $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}.$ U tu svrhu nacrtajte graf funkcije $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$ u nekom alatu, npr. GeoGebri, te ispišite tablicu s vrijednostima funkcije u okolini točke $x=0.$ Neka učenici samostalno istražuju vrijednosti te funkcije u okolini apscise 0, a nakon toga im se može pokazati dokaz da navedeni limes iznosi 1. Dokaz koji upotrebljava površine trokuta može se izraditi, na primjer, u alatu GeoGebra. Više informacija o određivanju toga limesa možete pronaći u e-Škole DOS Matematika 4, Modul 3, Jedinica 3.8.