U ovoj će aktivnosti učenici računati ukupan broj putova od jedne do druge točke u pravokutnoj ili kvadratnoj mreži rješavajući u tročlanim grupama jedan od sljedeća dva problema.

1. Ulicama grada

Za mrežu odaberite dio nekoga grada u kojemu su ulice pravilno raspoređene, odnosno čine pravokutne blokove kao što je to, na primjer, u središtu New Yorka. Na toj mapi odaberite mrežu 3 × 3 i označite točkom A poziciju u lijevomu donjem vrhu, točkom B poziciju u desnomu gornjem vrhu. Podijelite učenicima dio plana grada (mrežu ulica) i recite im da najprije odrede broj različitih putova kojima se može doći od točke A do točke B krećući se ulicama mreže 3 × 3. Vrh A je, primjerice, mjesto stanovanja osobe A, a vrh B je mjesto stanovanja osobe B. Važno je napomenuti da se po mreži ulica može kretati samo udesno ili prema gore. Nakon toga neka riješe isti zadatak za mrežu ulica dimenzija 4 × 4 i 5 × 5.

2. Od slova do slova

U ovom zadatku učenici trebaju odrediti broj načina da se pročita neka riječ, na primjer sunce, mornari, instagram i slično, koja je zapisana u mreži 3 × 3, 4 × 4 i 5 × 5 na sljedeći način:

S	U	N
U	N	C
N	C	E

M	O	R	N
O	R	N	A
R	N	A	R
N	A	R	I

Po toj se mreži kreće od slova M u gornjemu lijevom vrhu i čita se slovo po slovo krećući se ili udesno ili prema dolje.

Nakon što će desetak minuta učenici u grupama prebrojavati ili putove ili načine čitanja riječi, odaberite dvije ili tri grupe čiji će vođe predstaviti strategiju kojom su se koristili za prebrojavanje. Budući da je mreža 3 × 3 malih dimenzija, učenici će u tom slučaju lako prebrojiti sve mogućnosti, bez neke posebne strategije. Ali za veće mreže neće odmah znati kako jednostavno prebrojiti sve mogućnosti pa im pomognite potpitanjima. Različite strategije vode do rješenja pa ćete nekima pomoći potpitanjem o ukupnom broju potrebnih koraka koje je potrebno napraviti da se pročita riječ (ili dođe od A do B) ili o broju koraka kojima se krećemo prema dolje. Nekima ćete pomoći pitanjem o broju načina da se na neko mjesto u mreži dođe iz prethodnih pozicija. Nakon male pomoći, grupe mogu nastaviti s prebrojavanjem. Na osnovi postavljenih potpitanja neki bi učenici trebali uočiti da je riječ o kombinacijama, a neki da je riječ o permutacijama s ponavljanjem i na taj način riješiti problem. Dvije grupe koje su se koristile navedenim strategijama izložit će svoje argumente i način rješavanja. Nakon toga neka učenici kratko unutar svoje grupe objasne zašto su oba načina rješavanja dobra i zašto se rješenje podudara. Pripremite u alatu PowerPoint sustava Office 365 prezentaciju u kojoj ćete pokazati sve mreže. U mreži pokraj svakog čvora upišite ukupan broj načina potrebnih da se dopuštenim načinom kretanja u taj čvor stigne iz čvorova koji mu prethode. Učenici bi trebali uočiti da su upisani brojevi zapravo binomni koeficijenti iz Pascalova trokuta. Na kraju neka svaka grupa učenika osmisli novi problem, mrežu koja može biti i pravokutna te postavi na Padlet. Grupe koje su imale prvi problem rješavat će zadatke koje je osmislila druga grupa, s drugim problemom, te obratno.

Postupci potpore

Tijekom prilagodbe scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na osobnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti te mu dati dodatnu uputu ili pomoći u obavljanju zadatka.

Uvijek je važno pohvaliti svako aktivno sudjelovanje i rad učenika s teškoćama. Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da ne sudjeluju ili iščekuju zadatak. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je uvrstiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore). Također je važno učenike s diskalkulijom tijekom provedbe aktivnosti provjeravati jesu li razumjeli upute, promatrati način rješavanja zadataka kako bi se uočile moguće greške i uputilo ih se na ispravan postupak. Učenicima s disleksijom važna je grafička prilagodba materijala, zato je potrebno voditi računa o tom postupku potpore.

S obzirom na to da su kod učenika s poremećajem iz autističnog spektra često prisutni pojačani interesi, preporučuje se tematska prilagodba tako da oni odaberu grad koji pripada njihovu području interesa.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju – savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici, koristeći se bojenjem kvadratića, razlikovati i primijeniti permutacije, varijacije i kombinacije. Podijelite učenike u četveročlane grupe. Svaka će grupa dizajnirati, odnosno odabrati boje kojima će obojiti zadani uzorak za tkaninu. Uzorak je složen od kvadratića koji mogu biti bijele, plave, crvene ili zelene boje. Izradite nekoliko različitih predložaka za uzorke u alatu GeoGebra:

• uzorak u obliku slova L od tri kvadratića
• uzorak u obliku kvadrata od četiri kvadratića
• uzorak u obliku slova T ili slova U od pet kvadratića
• uzorak u obliku pravokutnika od šest kvadratića.

Svakoj grupi dodijelite dva od predloženih uzoraka, od tri i pet ili četiri i šest kvadratića. Učenici trebaju istražiti koliko je različitih uzoraka moguće složiti koristeći se dvjema, trima ili svim četirima bojama i to u slučaju da se:

• boje ne mogu ponavljati (za uzorke s četiri i manje kvadratića)
• boje mogu ponavljati
• susjedna polja koja imaju zajednički rub ne mogu obojiti istom bojom.

Podijelite s učenicima uzorke putem poveznice. Učenici će uzorke preuzeti kao sliku i otvoriti u alatu Bojanje sustava Office 365. Uzorak će kopirati više puta kako bi bojenjem kvadratića uočili te odabrali najučinkovitiji način prebrajanja. Nakon što završe rad u grupama, svaka će grupa predstaviti svoj način prebrajanja te će međusobno usporediti i potkrijepiti dobivene rezultate. Nakon toga će nastavnik potaknuti raspravu o načinima prebrajanja, prepoznavanju i razlikovanju pojmova kao što su permutacije, varijacije i kombinacije.

Na kraju učenike uputite na mrežnu aktivnost Christmas Tree Trim.

Ta aktivnost potiče kod učenika sustavnost i razvija strategije popisivanja kako bi bili sigurni da su pronašli sve načine ukrašavanja božićnog drvca i da nisu propustili nijedan. Aktivnost se provodi na nekoliko razina, ovisno o broju boja. Dodatno učenici mogu istražiti opće pravilo za pronalaženje broja različitih božićnih drvca koja bi se mogla ukrasiti ako je bilo n različitih boja za biranje i svako drvce ima m svjetala.

Postupci potpore

Tijekom rada u paru ili skupini vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Također vodite brigu o tome da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje zapreka s obzirom na prisutno ograničenje. Učenika s teškoćom uvrstite u skupinu s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte s parom kako napreduje u obavljanju zadatka. Uvijek postoje učenici koji su senzibilniji i mogu pomoći učenicima s teškoćama usmjeravajući ih ili pomažući im te je takve vršnjake važno na vrijeme prepoznati.

Za učenike s oštećenjem vida važna je prilagodba u upotrebi boja ovisno o funkcionalnosti vida. Za slabovidne je učenike moguće upotrijebiti boje s visokim kontrastom, a slijepim je učenicima potrebno ponuditi zamjensku aktivnost koja se dogovara sa stručnim suradnikom škole.

Tijekom razredne rasprave nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio. Nakon rasprave tom učeniku omogućite odgovore na pitanja koja su bila postavljena tijekom rasprave. Ne treba inzistirati na tomu da učenik s poremećajima jezično-govorne glasovne komunikacije (npr. mucanje, apraksija, artikulacijsko-fonološki poremećaj) govori osim ako za to sam ne izrazi želju.

Ako je potrebno, osigurajte učenicima pisane i slikovne upute za upotrebu nekog od alata.

U ovoj će aktivnosti učenici prepoznati permutacije, varijacije i kombinacije. Učenici rade u paru. Nastavnik će, koristeći se alatima LearningApps, pripremiti nekoliko interaktivnih zadataka za učenike u kojima će oni primijeniti kombinatoriku. Od ponuđenih predložaka upotrijebit ćete predložak za grupiranje Group assignment, uparivanje Matching pairs i križaljku Crossword. Za predložak grupiranja pripremite dvadesetak jednostavnih zadataka koje će učenici svrstati u šest skupina: permutacije s ponavljanjem i bez ponavljanja, varijacije s ponavljanjem i bez ponavljanja te kombinacije s ponavljanjem i bez ponavljanja. Ako vam se čini da bi vašim učenicima više odgovaralo, počnite s tri predloška grupiranja u kojima ćete imati samo dvije grupe – permutacije, odnosno varijacije ili kombinacije, s ponavljanjem i bez ponavljanja.

Zadatci koje će učenici grupirati su primjerice: broj načina na koji tri osobe sjede u kinu u istom redu, broj mogućih odabira triju knjiga od njih ukupno šest, broj mogućih odabira dvaju okusa za dvije kuglice sladoleda od četiriju ponuđenih i slično. U toj interakciji učenici ne računaju nego samo prepoznaju kombinatorni problem, a u interakciji s uparivanjem uparit će zadatak s matematičkim izrazom kojim se dobije rješenje. Primjerice: Broj različitih peteroznamenkastih zaporki uparujemo s izrazom 10⁵ ili Broj načina na koje možemo složiti u niz tri karte iz snopa od 52 uparujemo s izrazom 52(52 – 1)(52 – 2) i slično.

Neke od zadataka pronaći ćete na e-Škole DOS Matematika 3, Modul 10, Jedinica 10.7., Kolekcija zadataka 2.

U križaljci ćete upotrijebiti zadatke kojima se razvija matematička komunikacija, odnosno matematički jezik. Učenici će upisivati pojmove kao što su permutacije, varijacije, kombinacije, faktorijeli, binomni koeficijenti, a mogu biti i brojčana rješenja jednostavnih zadataka.

Na kraju neka svaki učenik osmisli po jedan primjer zadatka za permutacije, varijacije i kombinacije, s ponavljanjem i bez ponavljanja. Te će zadatke razmijeniti u paru, a zatim riješiti.

Postupci potpore

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć. U spomenutom se slučaju to odnosi na gradivo s permutacijama, varijacijama, kombinacijama i sl.

Učenici s teškoćama će bolje raditi u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Suučenik bi prema potrebi mogao usmjeravati učenika s teškoćama ili mu pomagati, no pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom biti potrebno dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da ih imaju manji broj. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, pritom se preporučuje upotrijebiti boje. Dopustite im da se koriste primjerom u samostalnom rješavanju zadataka.

Za učenike koji žele znati više

Učenike koji to žele uputite na aktivnost Restrained Flea. U toj aktivnosti sputana buha skače jedan po jedan korak na sjever, jug, istok ili zapad i treba izračunati na koliko bi različitih mjesta buha mogla završiti nakon osam skokova? Svoje načine prebrojavanja, skice i rješenje učenici neka prikažu na plakatu koristeći se infografikom alata Genially.