U ovoj će aktivnosti učenici rješavati eksponencijalne jednadžbe i primijeniti ih u stvarnim situacijama.

Za početak uputite učenike na e-Škole DOS Matematika 3, Modul 3, Jedinica 3.1. da se prisjete rješavanja eksponencijalnih jednadžbi primjenom definicije i primjenom injektivnosti.

1. Rally

Podijelite učenike u četveročlane grupe. Pripremite u alatu Word niz od četiri nastavna listića s po četiri eksponencijalne jednadžbe tako da na svakome sljedećem listiću budu malo složenije jednadžbe. Prvi listić u nizu podijelite svim grupama na Google Classroom ili Microsoft Teams. Svaka grupa rješava zadatke i rješenja upisuje u Google Classroom ili Microsoft Teams . Ako sva rješenja nisu točna, uputite ih da ponovno provjere zadatke a da im ne kažete koje rješenje nije točno. Grupi koja je sve zadatke točno riješila podijelite sljedeći listić u nizu.

Kada su sve grupe riješile sve zadatke, komentirajte s učenicima kako su ih rješavali i koje su im bile poteškoće.

2. Usporedi u paru

Učenici rade u parovima. Pripremite u alatu Word listić s dva stupca zadataka iz stvarnoga života koji se rješavaju jednostavnom eksponencijalnom jednadžbom, primjerice e-Škole DOS Matematika 3, Modul 3, Jedinica 3.1. Tiskane listiće podijelite parovima. Iako će svaki red sadržavati različite zadatke, istaknite učenicima da će svaki red imati isto rješenje. Neka učenici razrežu papir na pola kako bi svaki učenik imao stupac zadataka koje će samostalno rješavati.

Oni će međusobno provjeravati odgovore i raditi zajedno na uočavanju pogrešaka ako se njihovi odgovori ne podudaraju. Aktivnost pruža kombinaciju neovisnog i partnerskog rada. Učenici samostalno rješavaju probleme, a ne mogu samo prepisati rješenje nego u razgovoru u paru pomagati jedni drugima.

Svaki će par rješenja objaviti na pripremljenoj Padlet ploči. Parovi će međusobno provjeriti imaju li svi ista rješenja. Ako se rješenja nekoga retka razlikuju, te će zadatke učenici riješiti na ploči.

Analizirajte s učenicima zadatke, što njihova rješenja govore o samom problemu. S obzirom na to da su rješenja jednaka za različite zadatke u istom retku, razgovarajte o tome ima li svako rješenje isto značenje.

Na kraju aktivnosti potaknite raspravu o tome sviđa li se učenicima takav način rada, koje su mu prednosti, a koji nedostatci te kako je protekao rad u pojedinom paru.

Kako provesti aktivnost u online okruženju

Uspostavite videopoziv putem Zooma. Podijelite učenike u četveročlane grupe s pomoću alata Breakout Room. U aplikaciji Socrative pripremite igru Svemirska utrka sa šesnaest pitanja koja se odnose na eksponencijalne jednadžbe, ali tako da na svakom sljedećem pitanju bude malo složenija jednadžba. Podijelite s grupama poveznicu na kviz. Pri zadavanju kviza pripazite da ne uključite opciju Shuffle Question. Pitanja trebaju ostati složena prema težini. Učenici rješavaju kviz zajednički komunicirajući putem Zooma. Kad sve grupe završe s igrom, vratite se u zajednički poziv i pogledajte rezultate. Ako nisu sva rješenja točna, uputite ih da ponovno provjere zadatke a da im ne kažete koje rješenje nije točno. Zajedno komentirajte zadatke, gdje su učenici griješili i zašto.

Ponovno s pomoću Breakout Rooma podijelite učenike, ali ovaj put u parove. I ovaj put koristeći se aplikacijom Socrative pripremite dva kviza, ali tako da prvo pitanje iz prvog kviza ima isti odgovor kao prvo pitanje iz drugog kviza. Pitanja u kvizovima neka su iz stvarnoga konteksta koja se rješavaju jednostavnom eksponencijalnom jednadžbom, primjerice e-Škole DOS Matematika 3, Modul 3, Jedinica 3.1. Svakom učeniku iz para podijelite jedan od dva kviza te ih uputite u to da su rješenja po pitanjima jednaka te je njihov zadatak usporedno rješavati kvizove. Neka međusobno provjeravaju odgovore i rade zajedno na uočavanju pogrešaka ako se njihovi odgovori ne podudaraju. Nakon što učenici završe s radom, provjerite rješenja. Ako je bilo problema s rješavanjem zadataka, zamolite pojedine učenike da preko Zooma iznesu svoja rješenja koristeći se alatom Miro withboard. Miro je dodatak Zoomu koji možete dodati tako da na glavnoj traci odaberete Apps i Add App. Miro omogućuje da u Zoomu otvorite bijelu ploču na kojoj svi učenici mogu pisati, crtati i zajednički raditi.

Na kraju aktivnosti potaknite raspravu o tome koliko se učenicima sviđa takav način rada, koje su mu prednosti, a koji nedostatci te kako je protekao rad u pojedinom paru.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na osobnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć, u spomenutom se slučaju to odnosi na gradivo eksponencijalnih jednadžbi.

U samostalnom radu predvidite da će učenici s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite da se primjerom koriste pri samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom rada u paru ili skupini vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri zadavanju zadataka koji će se ostvariti tijekom nastave učeniku s teškoćama u području učenja zadajte točno koji će dio obaviti. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka ili teško održava pozornost na zadatku.

U razrednoj raspravi ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to ne izraze želju.

Tijekom provedbe aktivnosti na daljinu provjeravajte s učenicima s teškoćama kako se snalaze u pojedinim fazama aktivnosti te im prema potrebi pružite pomoć. Kod učenika s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti provjeravajte prati li događaje jer je u u provedbi aktivnosti na daljinu slabija kontrola nastavnika. Za učenike s poremećajem iz autističnog spektra važno je najaviti i svaku promjenu aktivnosti ili promjenu u prostoru provođenja aktivnosti jer imaju potrebu održavati ustaljenost i rutinu.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici povezati grafički riješenu eksponencijalnu jednadžbu s pravilima pridruživanja koja su prikazana grafom kao u e-Škole DOS Matematika 3, Modul 3, Jedinica 3.1., Primjer 1. Zatim će za svaku od tih jednadžbi osmisliti zadatak iz stvarnog konteksta čije je ta jednadžba rješenje.

1. Pročitaj mi pravilo

Pripremite u alatu GeoGebra ili Desmos niz grafički riješenih eksponencijalnih jednadžbi kao presjek grafa jedne eksponencijalne funkcije i jedne linearne funkcije ili kao presjek grafova dviju eksponencijalnih funkcija. Te slike postavite u mrežnu igru Zadatci višestrukog izbora (Multiple-Choice Quiz) u obrazovnoj aplikaciji LearningApps. Uza svaki zadatak im za odgovore ponudite četiri pravila pridruživanja. Učenici, radeći u parovima, trebaju otkriti koja su dva pravila pridruživanja funkcija čiji su grafovi prikazani na slici. Kada završe sve zadatke, provjerite i komentirajte one u kojima su imali poteškoće.

2. Daj mi kontekst

Podijelite učenike u grupe. Pripremite tri slike - grafički riješene eksponencijalne jednadžbe kao presjek grafa jedne eksponencijalne funkcije i jedne linearne funkcije ili kao presjek grafova dviju eksponencijalnih funkcija i podijelite ih svakoj grupi. Učenici trebaju za svaku sliku osmisliti zadatak ‒ smisleni stvarni kontekst čija je slika grafičko rješenje. Tekst zadatka i rješenje postavit će na Padlet ploču te će međusobno uspoređivati i komentirati stvarnost konteksta i kreativnost. Učenici mogu i izabrati najzanimljiviji i najoriginalniji zadatak.

Zatim potaknite raspravu o tome kakvi se zadatci/pojave modeliraju eksponencijalnom funkcijom te jesu li svi zadatci doista stvarni, to jest mogu li se zaista pojave opisivati eksponencijalnom funkcijom.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti u samostalnom radu predvidite da će učenici s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom rada u paru ili skupini vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Pri zadavanju zadataka koji će se ostvariti tijekom nastave učeniku s teškoćama u području učenja zadajte točno koji će dio obaviti. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka ili teško održava pozornost na zadatku.

Tijekom razredne rasprave ne inzistirajte na tomu da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to ne izraze želju.

Za učenike koji žele znati više

Veličina populacije koja se mijenja s vremenom ne može rasti konstantnom stopom rasta. Eksponencijalni je model prikladan kada u sustavu nema nikakvog ograničenja. Pri proučavanju populacije u zatvorenoj sredini stopa rasta s vremenom počinje opadati. Taj model opisuje logistička funkcija. Učenike koji žele znati više uputite da prouče logističku funkciju na poveznici Logistic Function. Neka istraže na nekim stvarnim podatcima, koje će pronaći na mrežnim stranicama, kako modelirati logističkom funkcijom. Mogu pripremiti prezentaciju kojom će u razredu prikazati kako izgleda, kako se računa i gdje se koristi logistička funkcija. Razgovarajte u razredu u kojim je situacijama prikladno koristiti se eksponencijalnom, a u kojima logističkom funkcijom.

Ova se aktivnost provodi u dva dijela. U prvome će dijelu učenici vježbati prelazak iz eksponencijalnog oblika u logaritamski, a u drugome će to znanje primjenjivati na rješavanje jednadžbi primjenom definicije.

Na početku se učenici prisjete veze između eksponencijalnog i logaritamskog zapisa e-Škole DOS Matematika 3, Modul 3, Jedinica 3.3.

1. Ja tebi, ti meni

Podijelite učenike u parove. Pripremite dokument u Wordu s dva prazna stupca i osam redaka i podijelite ga učenicima poveznicom u Google Classroom. Svaki par otvara svoj prazan dokument. Prvi će učenik zapisati jednostavnu eksponencijalnu jednadžbu u prvi stupac, a drugi će je pretvoriti u logaritamski oblik i zapisati u drugom stupcu. Sada drugi učenik zapisuje eksponencijalnu jednadžbu, a prvi je učenik pretvara u logaritamski oblik. Taj postupak ponavljaju do četvrtog retka. Tada prvi učenik zapisuje jednostavnu logaritamsku jednadžbu, a drugi je pretvara u eksponencijalni oblik i postupak se nastavlja dok ne popune svih osam redaka.

Zatim će parovi razmijeniti dokumente s jednadžbama te će provjeriti jesu li svi zapisi ispravni. Za provjeru mogu se koristiti aplikacijom Mathway (Algebra). Nakon upisa eksponencijalnog ili logaritamskog oblika izraza, pritisne se strelica i odabere Convert to Logarithmic Form ili Convert to Exponential Form i provjeri rezultat. Ako uoče pogrešan zapis, označe taj zadatak i na kraju ga zajednički komentiraju.

2. Primijenimo naučeno

Učenike podijelite u manje grupe. Za svaku grupu pripremite po jedan zadatak primjene eksponencijalne i logaritamske funkcije. Koristite se zadatcima iz udžbenika ili s mrežnih stranica, primjerice sa stranice Mathematical Modeling with Exponential and Logarithmic Functions. Uputite učenike da zadatak riješe i grafički. Pripremite stupce na Padlet ploči za svaku grupu. Učenici će na ploči objaviti rad. Svaka će grupa predstaviti svoj rad, način rješavanja zadatka te komentirati smislenost grafičkog i računskog rješenja zadanog problema iz svakidašnjeg života.

Zatim slijedi vršnjačko vrednovanje iznesenih rješenja. Pripremite rubrike kao što su matematička točnost, strategija rješavanja, kreativnost i vizualni izgled dokumenta.

Za samostalni rad zadajte učenicima da napišu kratki osvrt na aktivnost koju su provodili, da svoja rješenja dovedu u kontekst zadanog problema i razgovaraju o tome što bi bilo drukčije ako bi se promijenili neki od uvjeta zadatka.

Postupci potpore

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć, u spomenutom se slučaju to odnosi na gradivo eksponencijalnih jednadžbi i logaritama.

I u ovoj aktivnosti u samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom rada u paru ili skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Pri svrstavanju učenika u parove ili skupine uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para ili skupine. Tijekom rada su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost).