U ovoj će aktivnosti učenici u grupama računati vrijednosti potencija s racionalnim eksponentima, dobivene vrijednosti crtati u koordinatnom sustavu te uočiti kako dobivene točke mogu spojiti glatkom crtom te tako otkriti graf eksponencijalne funkcije. Digitalnim će se alatima koristiti za precizno prikazivanje i dijeljenje rezultata. Aktivnost se sastoji od tri dijela.

1. Uvodna igra

Pripremite u alatu Word karte za igru Crni Petar. Na jednoj karti upišite potenciju broja $2$ s racionalnim eksponentom q, a na karti koja s njom čini par vrijednost te potencije. Za racionalni broj q birajte cijele brojeve iz intervala $\left[-4,4\right]$ te racionalne brojeve s nazivnicima $2,$ $3$ i $4$ iz tog intervala. Crni Petar je kartica s potencijom $2^{\pi }.$ Primjer s nekoliko kartica možete pogledati ovdje.

Podijelite učenike u četveročlane grupe. Svakoj grupi podijelite karte i upute za igru:

Izmiješajte karte i podijelite ih igračima jednako. Ako igrač nađe među svojim kartama dvije karte koje imaju istu vrijednost, te karte odlaže ispred sebe. Nakon što su svi igrači odložili karte, počinje izvlačenje. Igraču kojemu je ostalo najviše karata u ruci, igrač s njegove lijeve strane izvlači jednu kartu, zatim taj sljedećem i tako redom. Ako igrač za izvučenu kartu ima par u svojoj ruci, odlaže obje karte. Igra traje sve dok jednom igraču karta s potencijom $2^{\pi }$ ostane jedina u ruci.

Nakon što su učenici odigrali igru, provedite razrednu raspravu. Pitajte učenike: Koje su karte bile u paru i zašto? Koja karta nije imala par? Zašto? Kakav broj može biti eksponent potencije? Najavite da će u nastavku aktivnosti odrediti približnu vrijednost potencije $2^{\pi }$ bez upotrebe džepnog računala.

2. Crtanje točaka

Zadajte učenicima zadatak:

Koristeći se odloženim parovima karata iz igre, nacrtajte tablicu u kojoj ćete u prvi stupac upisati eksponent s jedne od kartica, a u drugi stupac vrijednost (ili približnu vrijednost) s odgovarajuće kartice. Podatke iz tablice prikažite grafički. Možete li nacrtane točke povezati glatkom linijom? Možete li s pomoću nacrtanog odrediti približnu vrijednost potencije $2^{\pi }?$ Ponovite crtanje preciznije u alatu Desmos kojem pristupate mobitelom. Jeste li dobili precizniju procjenu? Postavite svoje tablice, crteže i procjene na Padlet. Raspravite kako ste surađivali u ovoj aktivnosti.

3. Definicija eksponencijalne funkcije

Nakon završene aktivnosti prikažite rješenja, prozovite grupe da opišu što su i kako radile i zaključile. Nastavljajući se na učenička zaključivanja, proširite pojam potencije na potencije s realnim eksponentom te raspravite kakav broj može biti u bazi. Pogledajte s učenicima videozapis o funkcijskom stroju na e-Škole DOS Matematika 3, Modul 2, Jedinica 2.1. Raspravite pojmove funkcija, domena, kodomena, pravilo pridruživanja i definirajte eksponencijalnu funkciju.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na osobnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima…) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Pri radu u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pripazite da je posao unutar skupine podijeljen ovisno o jakim stranama učenika. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u skupini s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka.

Učenike s oštećenjem vida unaprijed podsjetite da ponesu dodatna pomagala kojima se inače služe u nastavi te prema potrebi prilagodite aktivnost, npr. učenik može imati auditivni podražaj, može raditi u paru s učenikom koji je dovoljno osjetljiv kako bi učenik s oštećenjem vida bio uključen u aktivnost i sl.

Provjeravajte s učenicima kako se snalaze u navedenim digitalnim alatima.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici grupirati različite prikaze (tablice, grafove, funkcije zadane opisno, funkcije zadane pravilom pridruživanja) funkcija koje su do sada upoznali te izdvojiti prikaze eksponencijalne funkcije. Primjena digitalnog alata u ovoj će aktivnosti omogućiti povratnu informaciju o točnosti rješenja i mogućnost ispravljanja neispravno riješenih zadatka. Pripremite različite prikaze funkcija koje učenici poznaju, uključujući i eksponencijalnu funkciju. Svakako uključite i opise riječima i primjere u stvarnome kontekstu. Neke primjere možete pronaći ovdje i u e-Škole DOS Matematika 3, Modul 2, Jedinica 2.1. U aplikaciji LearningApps odaberite Group assignment. Kreirajte nekoliko grupa za različite vrste funkcija (linearnu, kvadratnu, funkciju apsolutne vrijednosti, fuknkciju drugog korijena, eksponencijalnu) i dodajte za svaku od njih nekoliko pripremljenih elemenata. Primjer za linearnu i eksponencijalnu funkciju možete vidjeti ovdje.

Podijelite učenike u četveročlane grupe. Prije početka rada dogovorite pravila rada u grupi, zadužite učenike da za svaki od zadataka zapišu i razloge svrstavanja u pojedinu skupinu. Podijelite s učenicima poveznicu ili QR kod. Pripremite liste samoprocjene poput ove, koje će učenici ispunjavati nakon završene aktivnosti.

Nakon završene aktivnosti prozovite grupe i potaknite raspravu o načinu rješavanja i dobivenim rezultatima. Pitajte ih: Jeste li imali problema s nekim od zadataka i kako ste ih riješili? Koji su vam zadatci bili najlakši i zašto? U kojem ste prikazu najlakše prepoznavali o kojoj je funkciji riječ i zašto? Po čemu se eksponencijalna funkcija razlikovala od ostalih? Posebno provedite raspravu o funkcijama iz stvarnog konteksta koje su opisane riječima. Potaknite učenike na raspravu o razlici između linearnog i eksponencijalnog rasta. Nakon što sve grupe prikažu svoj rad, zadajte im da sami smisle primjere primjenjujući sve vrste prikaza za svaku od funkcija koje su imali u zadatku.

Postupci potpore

Za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da imaju manji broj zadataka. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste tijekom samostalnog rješavanja zadataka.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pripazite da je posao unutar skupine podijeljen ovisno o jakim stranama učenika. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u skupini s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka.

U razrednoj raspravi ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to ne izraze želju. Tijekom rasprave nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio.

Aktivnost se sastoji od dvaju dijelova. U prvom će dijelu učenici u suradničkoj aktivnosti slagalica crtati grafove eksponencijalne funkcije različitih baza, dijeliti zaključke svoje grupe te na osnovi doprinosa svih grupa donositi opće zaključke o obliku grafa eksponencijalne funkcije s obzirom na bazu. U drugom će dijelu, rješavajući problem, otkriti pojam eksponencijalnog rasta.

U alatu Word pripremite listiće sa zadatcima poput ovih. Za svaku grupu odaberite drugu bazu tako da neke budu veće od jedan, a neke manje. Podijelite učenike u stručne grupe. Svaka će grupa crtati graf jedne eksponencijalne funkcije i odgovarati na pitanja s listića.

Nakon toga podijelite učenike u nove grupe tako da u svakoj bude po jedan član svake stručne grupe. Učenici će članovima nove grupe opisati pravilnost koju su otkrili u svojoj stručnoj grupi. Postavite im pitanje: Na osnovi svih primjera koje ste vidjeli, što možete zaključiti o svojstvima eksponencijalne funkcije? Zapišite svoje zaključke. Prozovite članove grupa da iznesu svoje zaključke. Pokažite učenicima animaciju, mijenjajte s pomoću klizača vrijednosti baze i provjerite s učenicima vrijede li njihovi zaključci za sve primjere.

Kako bi učenici proveli samovrednovanje vezano za prethodnu aktivnost, podijelite s njima poveznicu na e-Škole Matematika 3, Modul 2, Jedinica 2.1. i uputite ih da riješe Kolekciju zadataka 1 i zadatak razvrstavanja funkcija. Pripremite listiće na kojima će učenici označiti koje su zadatke riješili točno, a koje bi trebali pokušati ponovno riješiti.

U drugom dijelu aktivnosti učenicima zadajte ovaj problem. Učenici će u grupama rješavati problem. Promatrajte rad učenika i ne uplećite se. Nakon isteka dogovorenog vremena prozovite redom grupe, počnite od onih koje imaju manje općenite zaključke. Učenici će iznijeti svoja rješenja, ostali će učenici slušati i postavljati pitanja. Komentirajte pojedina rješenja ističući važne zaključke do kojih su učenici došli i dijelove koje bi bilo potrebno opširnije razraditi. Na kraju rješenje pokažite u Excelu. Kliknite na ikonu u prezentaciji, u dokumentu Excel označite izračunane elemente u dvama stupcima i povucite prema dolje. Raspravite s učenicima pojam eksponencijalnog rasta.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama (npr. diskalkulija) pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom trebati dulje vrijeme za rješavanje zadataka pa se preporučuje da imaju manji broj zadataka. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka. S učenicima s oštećenjem sluha provjeravajte jesu li razumjeli sve upute i prema potrebi im ih dodatno objasnite. Učenicima s oštećenjem vida dodijelite zadatak u skupini u kojem će moći aktivno sudjelovati. Vodite računa da su u skupini s učenicima koji su osjetljivi na njihove potrebe. Omogućite im uporabu pomagala i pripazite na odgovarajuće postavke zaslona (svjetlina i kontrast).

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pripazite da je posao unutar skupine podijeljen ovisno o jakim stranama učenika. Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u skupini s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka.

U razrednoj raspravi ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to ne izraze želju. Također, tijekom rasprave nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio.

Za učenike koji žele znati više

Učenicima koji žele znati više zadajte da istraže održivost eksponencijalnog rasta, kritički razmotre ograničenost resursa i prouče logistički rast. Za početak ih uputite na e-Škole Matematika 2, Modul 5, Aktivnosti za samostalno učenje.