U ovoj će se aktivnosti učenici upoznati s jednom od primjena kompleksnih brojeva te istražiti prikaz kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini služeći se digitalnim alatima.

Za uvod nastavnik prikazuje 3D film. Riječ je o kratkoj simulaciji Jurassic parka koju nije moguće dobro vidjeti bez 3D naočala.

Nakon minute gledanja počinje rasprava o samom filmu. Nastavnik postavlja pitanja, primjerice: Što je drukčije? Kakav je to film? Što nam nedostaje kako bismo ga mogli pogledati?

U nastavku aktivnosti učenici u grupama po troje s pomoću svojih mobilnih telefona ili tableta istražuju vezu između kompleksnih brojeva, 3D filmova i sir Williama Rowana Hamiltona.

Prva grupa koja pronađe vezu javlja se i ostatku razreda čita što je pronašla. Nastavnik s učenicima zaključuje da kompleksni brojevi imaju važnu ulogu u 3D filmskoj industriji.

Učenici u grupama spoznaju osnovne pojmove o kompleksnim brojevima i Gaussovoj ravnini služeći se sadržajem e-škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.1., Zadatak 2. i 3. Svoje znanje provjeravaju u dvama apletima u GeoGebri:

Vježba 1 ‒ označavanje kompleksnog broja u Gaussovoj ravnini

Vježba 2 ‒ prepoznavanje kompleksnog broja u Gaussovoj ravnini.

U nastavku aktivnosti učenici u grupama s pomoću alata GeoGebra prikazuju tri kompleksna broja i njihove konjugirano kompleksne parove u Gaussovoj ravnini. Prijedlog je da svaki član grupe prikaže po jedan kompleksni broj i njegov konjugirano kompleksni par. U aktivnosti traže odgovor na pitanje kako možemo opisati položaj konjugirano kompleksnog broja u odnosu prema kompleksnom broju. Nakon što su učenici prikazali kompleksne brojeve i njihove konjugirano kompleksne parove provodi se rasprava u kojoj će grupe jedna po jedna iznijeti svoje zaključke, a ostale će grupe komentirati točnost zaključka i način razmišljanja.

Za kraj aktivnosti učenici u parovima igraju igru Podmornica ili Potapanje brodova. U igri su dvije podmornice s tri dijela, četiri s dva dijela i pet s po jednim dijelom. Svaki dio podmornice jedan je kompleksan broj. Svaki učenik smješta svoje podmornice u obliku kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini. Kao ploča za igru služi im GeoGebra.

Pri pogađanju mjesta gdje se nalazi podmornica, tj. njezini dijelovi učenik koji pogađa navodi konjugirano kompleksni par umjesto kompleksnog broja za koji vjeruje da je dio podmornice.

Ako učenici nisu nikada igrali tu igru, nastavnik ih može uputiti na pravila.

Igra traje dok sve podmornice nisu potopljene.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri rješavanju zadatka.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici povezati potencije imaginarne jedinice, imaginarne brojeve te zbroj i razliku dvaju kompleksnih brojeva s njihovom geometrijskom interpretacijom u Gaussovoj ravnini.

Na početku aktivnosti učenici se koriste materijalima iz e-Škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.2., Zadatak 3. ‒ 5.

Učenici u parovima u Gaussovoj ravnini s pomoću alata GeoGebra ili Desmos prikazuju imaginarne brojeve:

a) $z_1=i,z_2=i^2,z_3=i^3,z_4=i^4$ i promatraju što se događa, kakav je njihov odnos te kako ga mogu opisati.

b) Nakon ucrtavanja imaginarnih brojeva z₁, z₂, z₃ i z₄ učenici dobivene točke rotiraju oko ishodišta za isti proizvoljan kut.

c) Istraživanje završavaju ucrtavanjem imaginarnih brojeve u obliku ni^{m ,}gdje je n cijeli, a m prirodni broj koji učenici samostalno odabiru i njihovom rotacijom oko ishodišta za isti proizvoljni kut.

Svoja istraživanja, zapažanja i slike prikazuju u alatu Padlet. Svaki par osmislit će jednu objavu u kojoj će napisati zaključak svojega istraživanja i postaviti sliku iz GeoGebre kojom potkrepljuje svoj zaključak.

Nakon objave svaki par treba označiti po jednu objavu u kojoj je zaključak o međusobnom položaju imaginarnih brojeva u kompleksnoj ravnini najbolje opisan.

Na taj način provodimo vrednovanje za učenje.

Na kraju nastavnik poziva par koji je dobio najviše oznaka na objavi da objasni svoj rad i zaključak. Učenici mogu postavljati pitanja, ali i nastavnik će, da bi potaknuo raspravu, postaviti nekoliko pitanja.

U nastavku učenici rade na zadatku "Spoji točke u sliku". Ako se ne sjećaju kako su spajali točke u sliku, nastavnik će ih kratko prisjetiti na igru.

Svaki par učenika pronalazi svoju sliku kao podlogu ili je crta u alatu Kleki - Paint u mrežnoj verziji. Sliku unose u alat GeoGebra ili Desmos. Na slici odabiru glavne točke čije spajanje omogućuje stvaranje slike koju su odabrali. Dobro bi bilo da je slika jednostavna.

Sada svaku označenu točku (kompleksni broju u Gaussovoj ravnini) opisuju kao zbroj ili razliku dvaju kompleksnih brojeva.

U nastavku je primjer za jednu točku.

Točka $\left(2,-3\right)$ prikazana je kao zbroj kompleksnih brojeva $z_1=-1+3i$ i $z_2=3-6i$

Parovi učenika slažu upute i kada završe objavljuju ih na Padletu. Na istom Padletu par učenika preuzima upute drugog para i prema uputama crta sliku i objavljuje rješenje ispod zadatka.

Na kraju aktivnosti učenici koji su zadali upute provjeravaju koliko je par koji je crtao sliku prema uputama točno riješio zadatak te pišu upute za ispravak.

Na kraju aktivnosti učenici rješavaju zadatke iz e-Škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.2., Zadatak 11. ‒ 12.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pri podjeli učenika u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama.

Preporučuje se učeniku s izraženim teškoćama pripremiti jednostavnije zadatke ili manji broj zadataka kako bi završio zadatak u istom vremenu kao i ostali učenici u razredu.

Za učenike koji žele znati više

Učenici koji žele više opise točaka složit će kao, npr., $z_2-z_1,$ a kompleksni brojevi z₁ i z₂ bit će prikazani u Gaussovoj ravnini. Uz zbroj i razliku uključit će i potencije imaginarnih jedinica ili imaginarne brojeve koje će rotirati za određenu mjeru kuta oko ishodišta.

U ovoj će aktivnosti učenici, crtajući mandale, uvježbati rješavanje jednostavnih jednadžbi i nejednadžbi s kompleksniom brojevima.

Što je mandala?

Učenici će u grupama po troje pokušati pronaći odgovor na pitanje. Svaka grupa iznijet će svoje zaključke, a nastavnik će ih dopuniti služeći se tekstom u nastavku.

Mandala je koncentrična konstrukcijska struktura koji predstavljaju fraktalni ili ponavljajući sastav svemira i prirode.

Mandala je riječ sanskrtskog podrijetla i znači „krug”; predstavlja jedinstvo, sklad i beskonačnost svemira u ravnoteži vizualnih elemenata.
U današnje vrijeme proširila se upotreba mandala kao terapijske i protustresne tehnike. Može se primjenjivati na više načina:

• Stvaranje mandale: osoba polazi od nekih osnovnih smjernica i sprema se nacrtati i obojiti svoju mandalu. Uporaba geometrijskih oblika i odabranih boja pruža terapeutu informacije o određenim emocionalnim stanjima.
• Bojenje mandale: kao i u prethodnom slučaju, pozornost se posvećuje uporabi boja, ali u ovom se slučaju temelji na unaprijed pripremljenom dizajnu.
• Vizualiziranje mandale: osoba dobiva već razrađenu mandalu i mora je promatrati nekoliko minuta kako bi se stvorilo stanje opuštenosti.

Na kraju nastavnik ili učenici prikazuju jedan ili više primjera.

U nastavku aktivnosti učenici proučavaju e-Škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.3., Primjer 2. i 3. Nastavnik može učenike ostaviti u grupama s početka ili podijeliti u nove grupe.

Svaka grupa učenika skicira svoju mandalu. Mandale trebaju biti jednostavne i sastavljene isključivo od kružnica različitih polumjera i središta. Za svaku od kružnica koju nacrtaju grupe zapisuju jednadžbu s modulom kompleksnog broja. U alatu Padlet zajednički za sve grupe postavljaju jednadžbe čija su rješenja kružnice koje tvore mandale.

Svaka grupa odabire jedan post na Padletu i rješavajući jednadžbe u GeoGebri crta kružnice i svoju mandalu. S pomoću alata PowToon izrađuju animaciju nastanka mandale.

Animaciju stavljaju u komentar zadatka na Padletu. Grupa koja je autor zadatka ispod stavlja svoj početni crtež.

Učenici ocjenjuju pet objava služeći se jednom do pet zvjezdica.

Najbolje ocjenjene radove nastavnik može vrednovati uzimajući u obzir, osim glasova učenika, i točnost uradaka.

Za kraj aktivnosti učenici zapisuju što su sigurni da su naučili, što im je djelomično jasno, a što nisu shvatili. Nastavnik potiče raspravu u kojoj učenici raspravljaju o svojim iskustvima. Predlaže se i učenička pomoć ‒ učenici mentori koji su naučili rješavati jednostavne jednadžbe i nejednadžbe u parovima pomažu učenicima koji nisu uspjeli naučiti da zajedno riješe još nekoliko zadataka.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pažnje potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Provjeravajte s učenicima kako se snalaze u navedenim digitalnim alatima.

Za učenike koji žele znati više

Učenici koji žele više proučit će e-Škole DOS Matematika 4, Modul 1, Jedinica 1.3., Primjer 5. i 6.

Također crtaju mandalu s pomoću nejednadžbi s modulom kompleksnog broja koristeći se različitim bojama za bojenje unutrašnjosti kruga. Mandala će već biti obojena.

Korak po korak unose u alat PowToon i izrađuju animaciju. U animaciji su i nejednadžbe i nastanak mandale.