U ovoj aktivnosti učenici otkrivaju kako primjenom derivacije odrediti dimenzije kvadra maksimalnog volumena.

Učenike slučajnim odabirom podijelite u tročlane do četveročlane grupe. Svakoj grupi pripremite ukrasni papir u obliku pravokutnika, ravnalo, ljepilo i škare. Važno je da svi papiri budu različitih dimenzija. Učenici će istraživanjem zajednički otkriti koje su dimenzije najveće moguće kutije (dara) u obliku kvadra kvadratne baze koju mogu zamotati dobivenim ukrasnim papirom. Također, pojednostavnjeni zadatak može glasiti: Od kartona izradite pravilnu uspravnu četverostranu prizmu maksimalnog volumena.

Da bi učenici istražili zadani problem pripremite im predložak u alatu, npr., GeoGebra u kojem će crtati kvadar tako što će pomicanjem klizača mijenjati duljinu brida i visinu kvadrata (u granicama dimenzija zadanog papira) i računati volumen. Učenici prije izrezivanja papira analiziraju svoje ideje, isprobavaju mogućnosti i uočavaju kada se volumen povećava i postiže maksimum. Kada pronađu dimenzije kvadra najvećeg volumena od papira izrađuju traženu kutiju. Izradom kvadra učenici će sebi lakše predočiti situaciju i uvidjeti stvarnu primjenu u svakidašnjem životu.

Grupe zapisuju zaključak, putem Padlet ploče podijele s ostalim učenicima, iznose i potkrepljuju zaključke.

Sada preraspodijelite učenike u nove grupe tako da spojite učenike različitih grupa iz prethodnog dijela aktivnosti. Učenici uspoređuju sve zadatke i dobivene rezultate, otkrivaju vezu između zadanih dimenzija papira i maksimalnog volumena. Također zapisuju formulu za volumen i konačno rješenje prepoznajući pravilo deriviranja. Zatim rješavaju zadatke primjenjujući derivaciju i provjeravaju rješenja dobivena istraživanjem u prvom dijelu aktivnosti.

Postupci potpore

U prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Tijekom rada su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Također je važno osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju – savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj aktivnosti učenici analiziraju, povezuju i rješavaju zadatke s ekstremima.

Kao uvodnu aktivnost pozovite ih da otvore e-škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.5.

Učenici u paru proučavaju sadržaj jedinice Problemi s ekstremima, komentiraju riješene zadatke, konzultiraju se i, ako smatraju potrebnim, zapisuju korake rješavanja.

Nakon uvodne aktivnosti učenici u grupama rješavaju nekoliko zadataka primjene problema s ekstremima u svakidašnjem životu ujedinjenih u jednu priču. Za svaku grupu pripremite neku temu primjene da bi na kraju učenici dobili uvid u raznolikost i veliku primjenjivost derivacije funkcije. (npr. Protočnost prometa, Trošak i prihod tvrtke pri proizvodnji, Maksimalni/minimalni volumeni i oplošja...)

Učenici će se pri rješavanju vjerojatno koristiti različitim strategijama. Da bi lakše razumjeli problem i istražili put do rješenja pripremite im primjere za istraživanje u alatu, npr., GeoGebra, u kojem mogu provjeriti odnose volumena, oplošja, rast i pad te ekstreme zadane funkcije.

Primjer priče:

Želite otvoriti tvornicu sokova. Da bi posao bio uspješan, trebate razmisliti i riješiti sljedeće zadatke.

1. Financijski stručnjak predviđa da se trošak punjenja limenki može izračunati prema formuli $T\left(x\right)=0.025x^{\mathrm{2\; –}}0.5x+5$, gdje je x količina soka u stotinama litara, a T(x) trošak u tisućama kuna, pri čemu je kapacitet stroja za punjenje od 0 do 2000 litara. Koliko je limenki volumena 0.25 litara najisplativije napuniti? Koliki je trošak za punjenje te količine soka?

2. Sokove želite prodavati u limenkama u obliku valjka volumena 0.25 litara. Koje dimenzije limenka trebaju biti da bi se pri izradi upotrijebilo najmanje materijala?

3. Limenke planirate isporučivati u kartonskim kutijama u obliku kvadra. Istražite mogućnosti pakiranja tako da u kutiju stane što više limenki, a volumen kutije bude najmanji mogući.

Zadatke možete podijeliti putem, npr., alata Classroom, a nakon što skupine riješe zadatke izrađuju zajedničku prezentaciju u, npr., alatu PowerPoint te predstavnik grupe ostalim učenicima iz razreda pročita priču i iznosi rješenja zadataka.

Nakon što pojedina grupa iznese rješenje, potaknite i ostale učenike na raspravu. Važno je zaključiti da se svi navedeni zadatci najlakše rješavaju primjenom derivacije funkcija, da su to situacije iz stvarnoga života te na taj način uvidjeti veliku primjenu derivacija u svakidašnjem životu.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Tijekom rada u paru ili skupini pripazite na to da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač. Također vodite brigu o tome da učenici sudjeluju u aktivnostima koje za njih imaju najmanje prepreka s obzirom na prisutno ograničenje. Važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak.

Ova aktivnost planirana je nakon obrade svih sadržaja vezanih za primjenu derivacije funkcije. Učenike podijelite u paran broj grupa po tri do četiri učenika. Učenici će izraditi originalne zadatke u kojima će primijeniti derivaciju funkcije i ekstreme funkcije koje će određivati primjenom derivacije.

Pozovite ih da na mrežnim stranicama istraže primjenu derivacije funkcije u svakidašnjem životu, izaberu područje primjene i sastave barem jedan originalni zadatak na izabranu temu.

Ako imaju poteškoća u pronalaženju sadržaja, sugerirajte im ključne pojmove za pretraživanje: primjena derivacija u svakidašnjem životu/ekonomiji/poduzetništvu, ekstremi, minimum i maksimum, optimizacija...

Kao podsjetnik neka pogledaju sadržaj e-škole DOS Matematika 4, Modul 5, Jedinica 5.5.. Navedeni sadržaj neka im posluži kao nadahnuće, ali svakako ih potaknite da zadatci budu originalni i drukčiji.

Kada svaka grupa sastavi zadatak, dvije grupe međusobno razmjenjuju zadatke. Učenici u grupi zajednički rješavaju zadatak koji su dobili. Pri tome se koriste alatom, npr., GeoGebra da bi provjerili zaključke i nacrtali pripadni graf.

Nakon rješavanja spajaju se po dvije grupe koje su međusobno razmijenile zadatke, raspravljaju o zadanim problemima, njihovoj primjenjivosti, preciznosti zadavanja zadatka, komentiraju očekivanja i uspoređuju dobivena rješenja. Prema potrebi dorađuju zadatke.

Na kraju aktivnosti za daljnju vježbu i eventualnu dogradnju pozovite grupe da zadatke ujedine u digitalnu zbirku zadataka koristeći se, npr., alatom Google Disk.

Sada kada svi učenici mogu vidjeti sve zadatke, pozovite ih još na završnu raspravu i možebitna pitanja ostalim grupama.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Za učenike s teškoćama predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim koracima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste pri samostalnom rješavanju zadataka.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude dio skupine kao pasivni promatrač.

Za učenike koji žele znati više

Učenici koji žele proširiti znanje neka zadatak koji su sastavili poopće i izrade predložak u alatu GeoGebra te svoj rad prikažu ostalim učenicima. Ideja je da učenici izabrani zadatak opširnije i dublje analiziraju, pri čemu će im pomoći naprednija uporaba digitalnog alata.

Zaključe li učenici, na primjer, da se prihod tvornice koja proizvodi neki proizvod može prikazati kubnom, a trošak kvadratnom funkcijom, mogu osim rješavanja zadatka sa konkretnim koeficijentima istražiti kako promjene koeficijenta utječu na prihode i rashode tvrtke te što bi ta promjena značila na konkretnom primjeru (primjerice, stroj radi dva sata dulje, kupljen je dodatni stroj...).