U ovoj će aktivnosti učenici naučiti razlikovati algebarske i transcendentne funkcije.

Na početku pripremite tri skupine kartica:

1. s problemima koji se mogu modelirati raznim matematičkim funkcijama

2. s problemima koji se mogu modelirati pripadnim matematičkim zapisima s pomoću funkcija

3. s problemima koji se mogu modelirati grafičkim prikazima tih funkcija.

Primjer takvih kartica možete pronaći ovdje.

Svrstajte učenike u timove u kojima su najviše četiri učenika. Svakom timu podijelite kartice koje ste pripremili. Zadatak je učenika da spoje problem s funkcijom koja ga opisuje i njezinim grafičkim prikazom. Rješenja provjerite i komentirajte zajedno (po jedan učenik iz svakog tima neka objasni po jedan pojam).

Podijelite učenike u dva tima: tim A, algebarske, i tim T, transcendentne funkcije. Svaki tim neka odabere vođu koji će koordinirati radom i predstaviti rad. Uz njega neka jedan učenik bude zadužen za proučavanje grafa funkcija, drugi za zapis funkcije, a treći za opis funkcije. Zadatak prvog tima (tim A) neka bude proučiti algebarske funkcije te izraditi virtualnu izložbu grafova algebarskih funkcija u alatu Artsteps, a drugog tima, tima T, proučiti transcendentne funkcije te također u tom alatu izraditi virtualnu izložbu transcendentnih funkcija. Svaki član tima treba pridonijeti izložbi izradom barem jedne „slike" (grafičkog prikaza funkcije izrađenog u alatu GeoGebra). Vođa tima neka objasni virtualnu izložbu. Nakon toga neka prvi član tima A pokuša objasniti kako bismo mogli prepoznati algebarsku funkciju iz grafičkog prikaza, drugi član kako bismo je mogli prepoznati iz zapisa funkcije, a treći član kako bismo je mogli prepoznati iz opisa funkcije. Tijekom njihova objašnjavanja ostali učenici mogu postavljati potpitanja, ponuditi protuprimjere i raspravljati. Jednaka rasprava neka se provede i nakon izlaganja tima T.

Svaki učenik neka odabere „najbolju sliku” s pomoću like na sliku.

Nakon proglašenja „najbolje slike” komentirajte rečenicu koju je prof. Bruckler upotrijebila u prezentaciji svojega predavanja Transcedentne funkcije kako bi opisala algebarske funkcije: „Znaju baratati fizikalnim jedinicama.”

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć u rješavanju zadatka.

Tijekom izrade kartica vodite računa o jezičnoj i grafičkoj prilagodbi. Jezična prilagodba podrazumijeva kraće rečenice uobičajenog poretka riječi u rečenici s jasno izrečenim svim njezinim dijelovima, bez metafora, s izdvojenim i objašnjenim nepoznatim i/ili ključnim pojmovima. Grafička prilagodba podrazumijeva prilagodbe poput upotrebe određene vrste fonta (npr. OmoType, Arial, Verdana), koji je uvećan, dvostruki prored, povećani razmak među slovima te lijevostrano poravnanje.

Pri radu su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Tijekom rada u skupini važno je osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Pazite na to da učenik s teškoćom bude u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici uočiti kako riješiti jednadžbe i nejednadžbe u kojima su i algebarske i transcendentne funkcije.

S učenicima počnite razgovor o bankama i obračunu kamata u bankama. Kolike su kamatne stope na štednju, a kolike na kredite? Isplati li se štedjeti? Kako se obračunavaju kamate na kredite? Podsjetite ih na jednostavan i složeni kamatni račun.

Postavite problemski zadatak u kojem se kamate obračunavaju s pomoću jednostavnoga kamatnog računa i s pomoću složenoga kamatnog računa. Zadajte konkretne vrijednosti za glavnicu i kamatnu stopu. Npr.: Imamo dvije ponude za oročivanje novca u banci. Prva ponuda je obračun kamata s pomoću jednostavnoga kamatnog računa ako je glavnica 1000 kn, a kamatna stopa 1 %. Druga ponuda uključuje obračun kamata s pomoću složenoga kamatnog računa uz glavnicu od 100 kn i kamatnu stopu 5 %.

Razgovarajte s učenicima koji im se model više sviđa i zašto, koji im se model čini isplativiji i je li uvijek tako, mogu li izračunati u kojem će trenutku iznos koji posjedujemo biti jednak bez obzira na model koji smo odabrali i zašto.

Pripremite u alatu GeoGebra aplet u kojem su prikazana oba modela. Linearna funkcija neka prikazuje jednostavni kamatni račun u kojem je varijabla vrijeme, a kamatna stopa i glavnica mogu se mijenjati s pomoću klizača. Eksponencijalna funkcija neka predstavlja složeni kamatni račun također s varijablom vrijeme i klizačima za glavnicu i kamatnu stopu.

Podijelite učenike u parove koji će istraživati izgled grafova tih dviju funkcija mijenjajući klizače.

Svaki par neka osmisli problemsku situaciju koja se može prikazati jednadžbom i jednu situaciju koja se može prikazati nejednadžbom.

Npr.: Tijelo je izbačeno vertikalno uvis početnom brzinom $10\raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s$}\right..$ Kada će biti na visini od $4m?$ Kada će biti na visini većoj od $2m$ ako se visina na kojoj se tijelo nalazi može prikazati formulom $h=v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2},$ gdje je $v_0$ početna brzina, $t$ vrijeme u sekundama, a $g\approx 10\raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s^2$}\right.?$

Te probleme neka grafički prikažu koristeći se alatom GeoGebra. Svoja rješenja neka snime u obliku videozapisa u kojem objašnjavaju što određeni grafički prikaz predstavlja i koje bi bilo približno rješenje jednadžbe, odnosno nejednadžbe. Svoje radove neka postave u Wakelet u kolekciju koju ste im pripremili i gdje ostali učenici iz razreda mogu dati like ako im se rad sviđa te napisati komentar zašto im se sviđa. Svaki učenik neka komentira još nečiji rad (svaki učenik barem dva rada) bez obzira na to je li pozitivno ili negativno. Zajednički razgovarajte o radovima i komentarima te ako ima grešaka u radovima koje učenici nisu primijetili, obavezno ih istaknite.

Postupci potpore

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom. Također predvidite dulje vrijeme za rješavanje zadataka, to se posebno odnosi na učenike s diskalkulijom.

Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, preporučuje se upotreba boja. Dopustite im da se primjerom koriste u samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom razredne rasprave ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to ne izraze želju. U raspravi nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio.

Učenici s teškoćama će bolje funkcionirati u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Pri podjeli u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici u igri grafički rješavati jednadžbe i nejednadžbe u kojima se pojavljuju i algebarske i transcendentne funkcije.

Pripremite igru u alatu Goose Chase. Igra se temelji na pustolovini, lovu na blago. Na početku postavite naslov igre, naslovnu sliku i kratki opis. Nakon toga postavljate misije. Misije u vašoj igri bit će matematički zadatci koje učenici trebaju riješiti. Na raspolaganju vam je više vrsta zadataka. Odaberite različite. Npr., za prilaganje slike kao rješenja misije (zadatka) možete učenicima zadati da grafički riješe jednadžbu $2x-3=sin(\pi x-\mathrm{2).}$

Za vrstu zadatka u kojem treba upisati broj može poslužiti pitanje: Koliko rješenja ima jednadžba $\frac{1}{2}x+1=cos\left(\pi x\right)?$ ili problemski zadatak: Broj gusaka u jezeru raste prema formuli $N=N_0·{10}^{0.01m},$ gdje je $m$ broj mjeseci proteklih od početka promatranja, a $N_0$ broj gusaka na početku promatranja. Nakon koliko će mjeseci broj gusaka u jezeru biti 100 ako ih je na početku bilo 10?

Za prilaganje videozapisa može poslužiti zadatak: Grafički riješite nejednadžbu $\ln (x-2)<-x+2.$

ili postavite problem sličan problemu iz prethodne aktivnosti s kamatama.

Kad ste pripremili sve misije (zadatke), igra je spremna.

Podijelite učenike u grupe. Upozorite ih da se svi članovi grupe uključe u rješavanje svih misija jer ćete na kraju provjeriti kako su riješili zadatke koji se pojavljuju u misijama. Naravno, učenici neka surađuju, jedni drugima pomažu u razumjevanju i rješavanju problema.

Svaka grupa dobije tablet s pripremljenom aplikacijom Goose Chase. Grupe tijekom igre rješavaju zadatke. Cijelo vrijeme pratite njihov rad te ako pogrešno riješe, možete im poslati povratnu informaciju i uputu što i kako treba riješiti. Svaki zadatak bodujte i i vremenski ograničite. Pobjednik je grupa koja prva uspješno riješi sve zadatke. Na kraju zajedno provjerite rješenja zadataka i razgovarajte o načinima rješavanja. U nekim su zadatcima učenici do rješenja mogli doći računski, u nekima grafički, a u nekima možda i metodom eliminacije. Razgovarajte s učenicima u grupama kako su riješili zadatke i zašto su se odlučili upravo za tu metodu te jesu li mogli brže i jednostavnije riješiti određeni problem.

Postupci potpore

S učenicima s teškoćama provjerite jesu li razumjeli sva pravila za navedenu igru. Prema potrebi pružite detaljnije upute i potaknite suučenika iz klupe da svojim riječima objasni pravila te pratite je li to jasno učinio.

Tijekom rada su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Također je važno osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Za učenike koji žele znati više

Neka učenici istraže dio numeričke matematike koji se bavi numeričkim metodama rješavanja jednadžbi. U tu svrhu može im pomoći dokument autorice Biserke Draščić Ban, Numeričko rješavanje jednadžbi. Metode rješavanja neka prikažu s pomoću plakata izrađenog u alatu Canva.