U ovoj će aktivnosti učenici proučiti pojam nizova na osnovi raznih problema koji su se javljali u povijesti.

Na početku uputite učenike da prouče što je paradoks i neka navedu neke primjere paradoksa. Zajedno pogledajte videozapis o Ahileju i kornjači. Razgovarajte o tome zbog čega to nazivamo paradoksom o Ahilu i kornjači ili Zenonovim paradoksom. Koje matematičke i fizikalne činjenice su u neskladu?

Podijelite učenike u četveročlane grupe. Svaka grupa neka kao temu rada dobije različiti primjer iz povijesti vezan za nizove. Zadatak je grupe da prouči određeni problem i u alatu Canva pripremi plakat o tom problemu. Na plakatu uz opis problema mogu biti grafički prikazi, problem je potrebno matematički zapisati koristeći se nizovima, odrediti limes tog niza te, ako je moguće, odrediti zbrojeve ili parcijalne zbrojeve niza.

Primjer tema radova:

1. Gausova dosjetka i računanje zbrojeva u staroj Grčkoj

2. Legenda o šahu i indijskom kralju

3. Arhimedov dokaz o kvadraturi parabole

4. Kochova pahuljica

5. Fibonaccijev niz

6. Figurativni brojevi.

Kako se svaki od problema odnosi na različito razdoblje u prošlosti, neka učenici plakate slože kronološki na vremensku crtu koristeći se alatom Tiki-toki. Objašnjenje plakata može se provoditi prolaskom po vremenskoj crti. Vođa grupe iznosi osnove vezane za povijesno razdoblje te matematički problem ostalim učenicima. Neka svaki učenik odabere najzanimljiviji problem i objasni zbog čega mu je upravo taj problem najzanimljiviji.

Za kraj izradite kviz u alatu Kahoot. Primjer kviza možete vidjeti na poveznici kviz. Pogledajte rezultate kviza te zajedno s učenicima komentirajte rješenja i eventualne greške nastale tijekom rješavanja.

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim obilježjima svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednje klupe u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri rješavanju zadatka.

Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom.

Tijekom rasprave u razredu ne inzistirajte na tome da učenici s teškoćama, primjerice mucanje ili izražena anksioznost, govore osim ako za to ne izraze želju. U raspravi nemojte isticati učenika s teškoćom ako je pogriješio.

Učenicima s teškoćama (npr. specifični poremećaj učenja, poremećaj pažnje / hiperaktivni poremećaj) omogućite ponovno gledanje videozapisa. Tijekom drugoga gledanja zaustavite videozapis kako bi učenici razumjeli svaki postupak u obavljanju zadatka. Prema potrebi uključite učenika iz klupe kako bi učenik s teškoćama lakše riješio zadatak.

Tijekom rada su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj je učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Također je važno osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:

Hrvatska udruga za disleksiju ‒ savjeti učiteljima

Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju

Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama

Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

Za učenike koji žele znati više

Neka učenici prouče pojam niza i pojam funkcije, povežu ta dva pojma, podsjete se na naučene vrste funkcija i nizova, njihove definicije i to sve zajedno slože u umnu mapu koristeći se alatom Coogle.

U ovoj će se aktivnosti učenici upoznati s Fibonaccijevim nizom, njegovom rekurzivnom formulom i određivanjem općeg člana.

Potaknite s učenicima razgovor o razmnožavanju. Koje su vrste razmnožavanja naučili na satu Biologije? Kako se razmnožavaju sisavci? Kako se povećava broj jedinki u određenoj vrsti razmnožavanja?

Pročitajte im Fibonaccijev problem razmnožavanja zečeva koji možete pronaći u radu Fibonacci, zečevi i pčele.

Zajedno pogledajte phET simulaciju o razmnožavanju zečeva. Uočite kako se broj zečeva mijenja. Može li se priroda sama pobrinuti za prirodnu ravnotežu te zašto postoji zakon o zaštiti prirode?

Podijelite učenike u četiri tima u kojima je po pet učenika. Svaki tim neka izabere vođu koji će koordinirati radom tima i predstaviti završni rad (učenik koji ima najbolje organizacijske i prezentacijske sposobnosti).

Timovi imaju isti zadatak (proučiti Fibonaccijev niz) sastavljen od pet podzadatka, ali svaki tim rezultat svojega rada predstavlja na različite načine: prvi u obliku videozapisa, drugi u obliku prezentacije, treći tim izrađuje plakat, a četvrti seminarski rad.

Svakom članu tima dodijelite zadatak:

1. član ‒ grafički treba prikazati obiteljsko stablo zečeva iz Fibonaccijeva problema

2. član ‒ treba ispisati članove Fibonaccijeva niza

3. član ‒ treba odrediti rekurzivnu formulu za računanje n-tog člana niza

4. član ‒ treba odrediti broj zečeva 1. siječnja sljedeće godine

5. član ‒ treba odrediti kvocijent uzastopnih članova Fibonaccijeva niza te formulu za opći član niza.

U alatu Wakelet izradite kolekciju pod nazivom Fibonaccijev niz te neka učenici svoje radove prilože u kolekciju. Vođe timova neka ukratko prezentiraju svoje radove. Nakon što učenici pregledaju kolekciju, stavljaju oznaku like radovima koji im se sviđaju. Zajedno s učenicima provjerite jesu li njihova rješenja točna te, ako nisu, neka sami pokušaju pronaći grešku u računu. Ako u tome ne uspiju, zajedno riješite pojedine zadatke.

Postupci potpore

I u ovoj aktivnosti za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu potporu. Dopustite im da se u radu koriste podsjetnikom.

Učenike s poremećajem pažnje / hiperaktivnim poremećajem potrebno je poticati na sudjelovanje prozivanjem ili postavljanjem pitanja.

Tijekom rada su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Također je važno osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Za učenike koji žele znati više

Neka učenici prouče zlatni rez te u alatu Wakelet dodaju izložbu likovnih radova koji sadržavaju zlatni rez.

U ovoj će aktivnosti učenici proučavati sortiranje nizova upotrebom različitih algoritama.

Donesite neke učeničke radove ili ispite, raširite ih na klupu te zamolite učenike da ih slože po abecedi. Kad ih slože, pitajte ih jesu li se u slaganju služili nekom metodom, algoritmom. Neka opišu kako su počeli slagati. Povežite radove s pojmom niza, rednim brojem elementa u nizu i podatkom koji se nalazi u nizu. Ima li potrebe slagati nizove prema rastućoj vrijednosti?

Podijelite učenike u pet grupa. Svaka grupa neka dobije jednu vrstu algoritma za sortiranje koju treba proučiti. Kao pomoć u proučavanju možete im pripremiti određene dijelove iz završnog rada Vizualizacija osnovnih algoritama za sortiranje (Oljica, 2014.).

Teme za skupine su:

1. selection sort

2. insertion sort

3. merge sort

4. bubble sort

5. quick sort.

S pomoću alata Wordwall izradite kviz s nekoliko nizova brojeva te organizirajte natjecanje „Najbrži sort”. Za svaki od nizova brojeva učenici u bilježnici sortiraju metodom koju su naučili. Najbrži učenik donosi svojoj grupi bod. Na kraju se može proglasiti „najbrži sort”.

Programirajte svaku od spomenutih vrsta sortiranja u programskom jeziku C+. Poveznice s gotovim rješenjima možete pronaći na mrežnim stranicama (npr. PC chip). Ponovno odigrajte kviz, ali sada neka učenici brojeve upisuju u računalo i pokušaju odrediti najbrži način sortiranja na računalu.

Zajednički komentirajte koja vrsta sortiranja je najbrža i u kojim situacijama. Osim početnog primjera gdje su učenici sortirali testove, raspravite s njima jesu li imali još neke situacije u kojima su nešto trebali sortirati. Kako bi se mogli snaći da imaju veliki broj testova (npr. 200) ili kako je najbrže sortirati manji broj testova (npr. 10)? Koja zanimanja imaju potrebe za sortiranjem podataka? Npr., knjižničar. Postoji li zanimanje u kojem nikad nema potrebe sortirati? Kao primjer učenici mogu navoditi razna zanimanja, ali u većini slučajeva će moći pronaći neke situacije u kojima bi se moglo pojaviti sortiranje.

Postupci potpore

Učenici s disleksijom često imaju poteškoća u prizivanju abecede, posebno kada uz to trebaju razmišljati o drugim čimbenicima, zato prikaz abecede pomaže kako bi se smanjilo opterećenje na radno pamćenje i izbjeglo da učenik ne može prizvati sljedeće slovo u abecedi.

Tijekom rada su skupini preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost). Također je važno osigurati jasne upute za učenike s teškoćama u sklopu skupine u kojoj se nalaze kako bi se izbjeglo da učenik ne sudjeluje ili iščekuje zadatak. Vodite računa da je učenik s teškoćom u skupini s učenikom koji nema poteškoća u svladavanju gradiva, strpljiv je i pozitivno utječe na učenika s teškoćom. Provjeravajte sa skupinom kako napreduje u rješavanju zadatka. Učenike s poremećajem pozornosti potrebno je smjestiti u skupinu u kojoj se nalaze učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).

Učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju problem stvaraju zadatci u kojima je potrebna brzina, zato tijekom rješavanja kviza najprije pročitajte pitanja i ponuđene odgovore, a zatim omogućite svim učenicima da odgovaraju na pitanja. Učenicima s diskalkulijom potrebno je više vremena za rješavanje zadataka, zato se preporučuje da se učenika na drukčiji način uključi u natjecanje jer u neće biti motivirajuće ako se vrednuje brzina. Svakako je važno pohvaliti učenika za sudjelovanje.

Za učenike koji žele znati više

Prema uzoru na završni rad Vizualizacija osnovnih algoritama za sortiranje (Oljica, 2014.), učenicima zadajte da izračunaju brzinu pojedine vrste algoritama. Za određivanje brzine algoritama mogu pronaći i neke druge izvore. Svoje zaključke neka oblikuju u seminarski rad.