Aktivnost je zamišljena kao uvod u temu Limes niza. Učenici će za početak na osnovi primjera iz svakodnevnog života, na koje će se nastaviti ucrtavanje članova niza s pomoću apleta u digitalnom alatu, naslutiti mogućnost postojanja realnog broja kojem se članovi niza približavaju kako je n sve veći, zatim će zamijetiti da članovi nekih nizova teže u beskonačno za sve veći n i vidjeti nizove koji nemaju takva svojstva. Učenici rede u manjim tročlanim ili četveročlanim grupama.

Za početak aktivnosti pozovite učenike da zamisle sljedeće situacije:

1. Na velikom odmoru dvije su se prijateljice dogovorile podijeliti pizzu. Dok su čekale narudžbu, pridružila im se još jedna kolegica iz razreda pa su odlučile da im je i trećina pizze dovoljna. Kada su u učionicu donijele pizzu, prilazili su i ostali učenici te su na kraju pizzu podijelile na 20 dijelova.

(Učenici zaključuju da dijeljenjem pizze na sve više dijelova dio koji će dobiti jedna osoba postaje sve manji, tj. zanemarivo mali.)

2. Petar je posudio Vlatki 0.50 eura, koliko joj je nedostajalo za sok. Vlatka je obećala sutradan vratiti. Idući je dan Vlatka donijela novac, ali Petar ga nije htio uzeti. Rekao je da mu je taj dan baka darovala 100 eura i da mu sad posuđeni iznos ne nedostaje.

(Učenici zaključuju da dodavanje ili oduzimanje malog iznosa nekome velikom broju ne mijenja znatno vrijednost izraza.)

3. Zamislite da odlučite vježbati i prvog dana napravite 10 trbušnjaka, a svaki sljedeći dan pet više. Je li moguće nastaviti tim tempom godinu dana?

(Učenici zaključuju da broj trbušnjaka napravljenih u jednom danu s vremenom postaje prevelik da bi ih mogli izvesti.)

Nakon uvodnih primjera učenici raspravljaju i razmjenjuju razmišljanja među grupama. Potaknite učenike de se i sami prisjete nekog primjera iz svakodnevnog života na kojem bi primijenili slična razmatranja kao u uvodnim primjerima.

Nakon što su učenici uvedeni u temu, razmatranja primjenjuju na nizove.

U alatu GeoGebra učenici u pripremljeni aplet u dvodimenzijski koordinatni sustav (ili na brojevni pravac) ucrtavaju točke koje predstavljaju članove sljedećih nizova: $a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{n}{n+1},c_n=n^2,d_n=(-3{)}^{\mathrm{n.}}$

Promatrajući točke učenici zaključuju da se, kako u opći član niza uvrštavamo sve veći prirodni broj n, članovi niza a_n približavaju broju nula, članovi nizova b_n broju jedan, članovi niza c_n teže prema beskonačnosti, a za članove niza_.d_n ne možemo tako nešto zaključiti. Na taj način učenici otkrivaju da članovi niza mogu težiti nekom broju, tj. da može postojati neka granična vrijednost koju za ma kako veliki n član niza neće prijeći ili da za jako veliki n članovi niza mogu težiti prema beskonačnosti.

Kako bi bolje razumjeli pojam granične vrijednosti, pozovite učenike da ponovno pročitaju uvodne primjere, povežu zaključke iz primjera sa zadanim nizovima te uoče vezu i primjenu u svakodnevnom životu.

Za kraj aktivnosti pozovite učenike da na internetu potraže pojam „granična vrijednost niza”. Prikupite povratne informacije te ih sa svim učenicima podijelite koristeći se alatom Mentimeter. Očekuje se da će učenici otkriti pojam i naziv limesa, povijesne crtice...

Postupci potpore

Pri prilagodbi scenarija važno je imati na umu da su učenici s teškoćama u razvoju i učenici sa specifičnim teškoćama u učenju heterogena skupina i da je odabir prilagodbi potrebno temeljiti na pojedinačnim značajkama svakog učenika (jakim i slabim stranama, specifičnim interesima i sl.) te na obilježjima teškoće koju ima. Preporučuje se učenika s teškoćom premjestiti u prednju klupu u razredu kako bi ga se moglo pratiti i pružiti mu dodatnu uputu ili pomoć pri obavljanju zadatka.

Važno je provjeriti s učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju i učenicima s jezičnim teškoćama razumiju li ključne pojmove. Za učenike s teškoćama pripremite podsjetnik s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima uz vizualnu pomoć.

Učenici s teškoćama će bolje raditi u paru ili u manjoj skupini s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove ili manje skupine uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para ili pojedine skupine. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para ili skupine u kojima je učenik s teškoćama. Suučenik bi prema potrebi mogao usmjeravati učenika s teškoćama ili mu pomagati, no pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi.

Za učenike s oštećenjem sluha možete situacije ispisati na papir kako bi ih bolje pratili.

Provjeravajte snalaze li se učenici s teškoćama u spomenutim alatima. Prema potrebi osigurajte i pisane upute sa slikovnim prikazima radi lakše uporabe alata.

Dodatne informacije možete potražiti na poveznicama:
Hrvatska udruga za disleksiju – savjeti učiteljima
Informativni letak o razvojnome jezičnom poremećaju
Didaktičko-metodičke upute za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama
Smjernice MZO-a za rad s učenicima s teškoćama.

U ovoj će aktivnosti učenici otkrivati i proučavati svojstva monotonosti i omeđenosti zadanih nizova.

Svakom paru učenika putem alata Google Classroom zadajte nekoliko jednostavnih nizova tako da neki od njih imaju limes jednak nula, neki realan broj različit od nule, neki teže u beskonačno, neki su omeđeni, a neki imaju samo gornju ili donju granicu.

S pomoću digitalnog alata GeoGebra učenici ucrtavaju točke pridružene članovima zadanih nizova uočavajući svojstvo monotonosti (raste li niz ili pada) i postojanje granice te određuju gornju i/ili donju granicu ako postoji.

Istraživanje učenika može biti i vođeno tako da pri ucrtavanju točaka odgovore na pitanja kao što su u nastavku.
1. Povećavaju li se (ili smanjuju) vrijednosti članova niza što je n veći? Ako da, kako biste opisali to svojstvo?

2. Postoji li realan broj takav da su svi članovi niza manji ili veći od njega? Koji je to broj?

3. Mislite li da se svi članovi niza nalaze unutar nekog intervala? Ako da, kojeg?

Da bi učenici provjerili svoje zaključke te ih povezali s pojmom limesa i usvojili pojmove omeđenosti, monotonosti te konvergentnosti i divergentnosti niza pozovite ih da prouče i riješe pripadne zadatke u e-Škole DOS Matematika 4, Modul 2, Jedinica 2.5. Kada riješe zadatke u paru, rješavaju i igricu na kraju teme.

Nakon što su učenici u zadatcima i igrici provjerili koliko su savladali sadržaje, važno je da prepoznaju važnost naučenog unutar ostalih područja i svakodnevnog života.

Učenike podijelite u grupe i pozovite ih da istraže primjenu granične vrijednosti, primjerice, u fizici.

– Kako funkcionira leća fotoaparata te što se događa s položajem slike kada se objekt sve više udaljava od fotoaparata? Očekujemo da će učenici otkriti da se položaj slike objekta koji se jako udaljava pomiče prema granici, žarišnoj duljina leće.

– Što je granična valna duljina elektromagnetskog zračenja? Očekujemo da učenici prouče fotoelektični učinak.

– Što je granična brzina tijela pri slobodnom padu (najveća brzina koju tijelo može postići zbog otpora)?

Za kraj aktivnosti grupe rezultate iznose koristeći se alatom Canva, a ostali učenici komentiraju i proširuju predstavljeno svojim saznanjima.

Postupci potpore

Učenici s teškoćama će bolje raditi u paru s učenikom koji će usmjeravati učenika koji je možda sporiji u rješavanju zadataka. Tijekom podjele u parove uvijek je važno voditi računa o obilježjima pojedinog para. Potrebno je češće provjeravati funkcioniranje para u kojem je učenik s teškoćama. Suučenik bi prema potrebi mogao usmjeravati učenika s teškoćama ili mu pomagati, no pritom je potrebno imati na umu da pretjerano pomaganje može otežati osamostaljivanje učenika u nastavi.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom biti potrebno dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da ih imaju manji broj. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, pritom se preporučuje upotrijebiti boje. Dopustite im da se koriste primjerom u samostalnom rješavanju zadataka.

Za učenike koji žele znati više

Učenike koji žele više potaknite na pogled u povijest matematike. Zadajte im da u grupi izrade prezentaciju za ostale učenike u alatu PowerPoint. Trebaju istražiti pojam beskonačnosti, opisati koje je velike matematičare taj problem posebno zaintrigirao, kojim su se paradoksima bavili te koji je njihov osobni pristup navedenim paradoksima (Zenonov paradoks...). Pozovite ih da beskonačnost iz pogleda matematičara (beskonačna djeljivost određenih veličina, neograničeno povećavanje veličina, beskonačno konvergirajući niz...) suprotstave promatranju pojma beskonačnosti u svakodnevnom životu (samo je svemir beskonačan, sve je konačno...).

U ovoj aktivnosti učenici uvježbavaju računanje limesa niza. Ako do sada nisu svladali pravila, mogu se prisjetiti pravila za računanje limesa u e-Škole DOS Matematika 4, Modul 2, Jedinica 2.5, Računanje limesa.

Učenike podijelite u četiri grupe. Za svaku grupu pripremite listić s desetak zadataka tako da grupe imaju različite zadatke. U zadatcima su nizovi zadani općim članom te je potrebno izračunati limes (ako postoji). Na primjer: $a_n=\frac{2n}{5n-3},b_n=\frac{3}{n^2+1},c_n=n^3-1,d_n=(-2{)}^n...$

Kada su učenici riješili zadatke putem Padlet ploče, razvrstavaju nizove u stupce: limes je jednak nula, limes je realni broj različit od nule, niz teži u plus ili minus beskonačno i limes ne postoji. Kada su na ploči zapisani zadatci svih skupina, učenici zajednički provjeravaju ispravnost rješenja.

Nakon toga svakoj grupi zadajte da prouči zadatke i rješenja iz jednog stupca s ploče te zapišu zaključak: što je zajedničko nizovima u pojedinom stupcu, tj. kada i zašto će niz imati limes jednak nula, kada će to biti realan broj različit od nule, kako odrediti ima li niz limes, što znači kad članovi niza teže u beskonačno, kako vidimo da niz nema limes... Nakon zaključka, a zbog boljeg razumijevanja, grupe osmišljavaju i rješavaju zadatak sa zadanim nizom istog tipa koji su proučavali. Služeći se mrežnim stranicama, trebaju pronaći i primjer iz drugog područja ili svakodnevnog života koji opisuje takvu situaciju.

Na primjer: Ako zrna pšenice slažemo na šahovsku ploču tako da na svako polje stavimo dvostruko više zrna nego na prethodno, broj zrna se sve više povećava i kad bismo imali sve više polja broj zrna težio bi u beskonačno. Ili ako tortu pokušavamo podijeliti na sve više i više uzvanika, dio koji će svatko od njih dobiti je sve manji, gotovo ništa.

Predstavnik grupe zaključke iznosi ostalim učenicima s pomoću alata PowerPoint. Pri tome opširno objašnjava rješenje zadatka koji su samostalno sastavili i prikazuju problem iz drugih područja ili svakodnevnog života koji opisuje sličnu situaciju.

Na kraju izradom umne mape naziva „Limes niza” u alatu Popplet učenici samostalno sistematiziraju zaključke.

Postupci potpore

I u ovoj je aktivnosti važno provjeriti s učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju i učenicima s jezičnim teškoćama razumiju li ključne pojmove. Učenicima s teškoćama dopustite da se koriste podsjetnikom s ključnim pojmovima, njihovim objašnjenjima i primjerima.

U samostalnom radu predvidite da će učenicima s diskalkulijom biti potrebno dulje vrijeme za rješavanje zadataka i zbog toga se preporučuje da ih imaju manji broj. Učenicima s diskalkulijom, učenicima s deficitom pažnje / poremećajem hiperaktivnosti te učenicima s poremećajem iz autističnog spektra pripremite riješen primjer zadatka s jasno objašnjenim postupcima, pritom se preporučuje upotrijebiti boje. Dopustite im da se koriste primjerom u samostalnom rješavanju zadataka.

Tijekom rada u skupini važno je da vodite računa o tome da učenik s teškoćama aktivno sudjeluje u svim aktivnostima te da nikako ne bude pasivni promatrač. Preporučuje se učenike s teškoćama svrstati u skupinu u kojoj postoji učenik koji je spreman prezentirati (što je posebno važno ako je kod učenika s teškoćama prisutna anksioznost ili ako učenik muca). Učenike s deficitom pažnje potrebno je uvrstiti u skupinu u kojoj su učenici koji djeluju usmjeravajuće (oblik vršnjačke potpore).