Matematičko njihalo

Jednostavno njihalo

Svi ste se kao djeca ljuljali na ljuljački.

Ljuljačka se giba naprijed nazad, tj. periodično ponavlja svoje gibanje.

Možda ste kod bake i djeda vidjeli sat koji ima sekundno njihalo.

Slika 1.

Ljuljačka

Djevojčica u roza haljinici se ljulja na ljuljačci. Ima plavu kosu. U pozadini se vide oblaci i nebo.

Dijete na ljuljački.

Slika 2.

Sat s njihalom

Sat s njihalom.

U prvoj jedinici ste učili o harmonijskom titranju.

Ljuljanje na ljuljački i gibanje sata su primjeri jednostavnog harmonijskog gibanja. Jednostavno harmonijsko gibanje je gibanje koje se ponavlja.

U fizici, ljuljačku i dio sata koji se njiše nazivamo jednostavnim njihalom.

Matematičko njihalo

Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase $\bm m$ obješene na donjem kraju niti duljine $\bm l$ . Nit je učvršćena na gornjem kraju i zanemarive je mase.

Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase $\bm m$ obješene na donjem kraju niti duljine $\bm l$ .

Nit je učvršćena na gornjem kraju.

Zanemarive je mase.

Njihalo se giba: iz ravnotežnog stanja A do krajnjeg položaja desno B natrag kroz A do krajnjeg lijevog položaja C na kraju ponovo do ravnotežnog položaja A.

Promotrimo kada se njihalo giba iz ravnotežnog stanja A do krajnjeg položaja desno B te natrag kroz A do krajnjeg lijevog položaja C i na kraju ponovo do ravnotežnog položaja A. Ovakvo gibanje njihala od A do B pa C i ponovni povratak u A zovemo 1 titraj. Jedan titraj je gibanje od bilo koje točke do povratka u istu točku u istom smjeru.

Već smo naučili da vrijeme jednog titraja zovemo period $T$ .

Frekvencija je definirana kao broj titraja u jedinici vremena.

Vrijeme jednog titraja ( $\bm T$ ) zovemo period.

Frekvencija ( $\bm f$ ) je broj titraja u vremenu.

Pokušajte sami riješiti zadatak, a zatim provjerite rješenje

Koliko titraja napravi njihalo u $18\operatorname{s}$ , ako titra frekvencijom $2\operatorname{Hz}$ ?

Koje sile djeluju na njihalo?

Na slici vidimo jednu lopticu mase $m$ obješenu na nit duljine $l$ .

Kada se loptica nalazi u ravnotežnom položaju sile koje na nju djeluju su:

sila teža $F_g$ koja se određuje izrazom: $F_g=mg$ i usmjerena je vertikalno prema dolje.
Sila napetosti niti $F_{\mathrm N}$ , usmjerena duž niti prema gore. Sila $F_{\mathrm N}$ je sila kojom nit djeluje na lopticu i u položaju ravnoteže jednakog je iznosa kao sila teža, ali suprotnog smjera.

Na slici vidimo jednu lopticu mase $\bm m$ obješenu na nit duljine $\bm l$ .

Kada se loptica nalazi u ravnotežnom položaju sile koje na nju djeluju su:

sila teža $\bm{F_g}$ koja se određuje izrazom: $F_g=mg$ i usmjerena je vertikalno prema dolje.
Sila koja je usmjerena vertikalno prema gore, $\bm{F_{\bold N}}$ , napetost niti.

Sila $F_{\mathrm N}$ je sila kojom nit djeluje na lopticu.
Istog je iznosa kao sila teža.
Suprotnog je smjera.

Kada se loptica nalazi na udaljenosti lijevo ili desno od ravnotežnog položaja, sila teža $F_g$ se razdvaja na 2 komponente, što možete vidjeti na ilustraciji.

Sila teža $\bm{F_g}$ se razdvaja na 2 komponente kada se loptica nalazi na udaljenosti lijevo ili desno od ravnotežnog položaja.

To možete vidjeti na ilustraciji.

Slika 3.

Razdvajanje sila na jednostavnom njihalu

Razdavajanje sila na matematičkom njihalu

Sila se razdvaja na matematičkom njihalu. Prikazane su sile: Fn, Gg, F1 i F2

Sila teža se razdvaja na komponentu sile okomitu na nit $F_1$ te komponentu sile paralelnu s niti $F_2$ .

$\vec{F}_g = \vec{F}_1+ \vec{F}_2$

Želimo li odrediti iznose sila koje djeluju na njihalo moramo uzeti u obzir i kut otklona njihala iz ravnotežnog položaja $\alpha$ .

Sila teža se razdvaja na:

komponentu sile okomitu na nit $\bm {F_1}$
komponentu sile paralelnu s niti $\bm {F_2}$

$\vec{F}_g = \vec{F}_1+ \vec{F}_2$

Želimo li odrediti iznose sila koje djeluju na njihalo moramo uzeti u obzir i kut otklona njihala iz ravnotežnog položaja $\bm \alpha$ .

Promotrimo gornju ilustraciju kada se njihalo nalazi na udaljenosti $x$ od ravnotežnog položaja.

Za male otklone njihala, kuteve manje od 10 stupnjeva, $\sin \alpha$ je približno jednak kutu $\alpha$ .

Promotrimo pravokutan trokut:

$\sin \alpha =\frac{x}{l} \implies x=l\alpha$

Pretpostavimo da njihalo harmonijski titra:

$F=–kx=–kl\alpha$

Promotrimo gornju ilustraciju.

Njihalo nalazi na udaljenosti $x$ od ravnotežnog položaja.

Za male otklone njihala, kuteve manje (<) od 10 stupnjeva, $\sin \alpha$ je približno jednak (=) kutu $\alpha$ .

Promotrimo pravokutan trokut:

$\sin \alpha =\frac{x}{l} \implies x=l\alpha$

Pretpostavimo da njihalo harmonijski titra:

$F=–kx=–kl\alpha$

Sila koja vraća njihalo u ravnotežni položaj je:

$F_1=-mg\sin\alpha$

Sila ima smjer prema ravnotežnom položaju, a elongacija od ravnotežnog položaja te tu suprotnost smjerova iskazujemo negativnim predznakom sile.

Za male otklone njihala, kuteve manje od 10 stupnjeva, $\sin \alpha$ je približno jednak kutu $\alpha$ pa vrijedi:

$F_1=-mg\alpha$

Matematički izraz za vrijeme jednog titraja jednostavnog matematičkog njihala izvodi se na sljedeći način:

Izjednačimo silu koja vraća njihalo u početni položaj i silu kojom njihalo harmonijski titra.

$-mg\alpha =-kl\alpha \implies mg=kl \implies \frac{m}{k}=\frac{l}{g}$

Znamo da je period harmonijskog titranja:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Izraz za određivanje perioda titranja matematičkog njihala je:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Gdje je $l$ oznaka za duljinu niti, a $g$ ubrzanje sile teže.

Za male otklone matematičko njihalo titra harmonijski.

Istražimo

Uz pomoć simulacije matematičkog njihala istražite kako period njihala ovisi o masi utega, duljini niti te otklonu njihala.

Matematičko njihalo

Na interaktivnoj simulaciji vidljivo je da gibanje utega na užetu. Simulacija mjeri vrijeme titranja i automatski crta graf energije titranja. U grafu je stupcima prikazana količina kinetičke, potencijalne te ukupne energije pri titranju. Interakcija omogućuje mijenjanje duljine užeta, kuta otklona i mase utega. Mijenjanjem ovih parametara vidljivo je da Period titranja njihala ovisi o duljini niti te da period matematičkog njihala ne ovisi o masi utega niti otklonu njihala.

Energija

00:00,00

1 cmDuljina užeta l (cm)100 cm

0,1 kgMasa utega m (kg)1,5 kg

Pri svom istraživanju za mjerenja možete koristiti zaporni sat na simulaciji, a podatke zapisati u tablicu koju možete preuzeti na svoj uređaj ili prepisati u bilježnicu temeljem sljedećih predložaka.

Priloženi dokument

Bilježenje podataka - Matematičko njihalo

Ovisnost perioda njihala o masi utega

$\bm m / \operatorname{kg}$	$\bm T / \operatorname{s}$
0,5
1
1,5

Ovisnost perioda njihala o duljini niti

$\bm l / \operatorname{cm}$	$\bm T / \operatorname{s}$
50
75
100

Ovisnost perioda njihala o kutu otklona njihala

$\bm \alpha / \degree$	$\bm T / \operatorname{s}$
5
10
15

Period titranja njihala ovisi o:

duljini niti $l$
ubrzanju sile teže $g$

Potrebno je uočiti da period matematičkog njihala ne ovisi o:

masi utega $m$
otklonu njihala $\alpha$ , tj. o amplitudi njihala

Period titranja njihala ovisi o:

duljini niti $\bm l$
ubrzanju sile teže $\bm g$

Period matematičkog njihala ne ovisi o:

masi utega $\bm m$
otklonu njihala $\bm \alpha$ , tj. o amplitudi njihala

U prethodnoj interaktivnoj simulaciji možete vidjeti i promjene energija tijekom njihanja, međutim više o njima možete naći u jedinici Energija titranja.

Odredite period i frekvenciju matematičkog njihala ako se uteg mase $1\operatorname{kg}$ objesi na nit duljine $0,5\operatorname{m}$ .

$m=1\operatorname{kg}$

$l=0,5\operatorname{m}$

$T=\ ?$

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0,5}{10}}=2\pi \sqrt{0,05}=1,4\operatorname{s}$

$f=\frac{1}{T}=0,71\operatorname{Hz}$

Odredite duljinu matematičkog njihala koje titra frekvencijom $0,2\operatorname{Hz}$ .

$f=0,2\operatorname{Hz}$

$l=\ ?$

$T=\frac{1}{f}=5\operatorname{s}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\rightarrow l=\frac{T^2g}{4\pi ^2}=6,34\operatorname{m}$

Za znatiželjne i one koji žele znati više

Foucaultovo njihalo

Leon Foucault je 1851. godine šokirao parišku akademsku zajednicu kada je na nit dugu $67\operatorname{m}$ objesio olovnu kuglu mase $28\operatorname{kg}$ unutar Pariškog Panteona. Na donjem dijelu kugle postavio je šiljak (pisaljku) koji je pisao po pijesku postavljenom na drvenoj ploči. Specifično gibanje njihala bilo je dokaz rotacije Zemlje. Naš sustav promatranja tada možemo aproksimativno smatrati inercijskim.

Slika 4.

Leon Foucault

Gibanje njihala promatramo u referentnom sustavu s ishodištem na površini Zemlje. Sustav rotira zajedno sa Zemljom i rezultat su krivulje koje opisuje pisaljka na vrhu Foulcoultovog njihala. Zakretanje ravnine njihanja može se objasniti djelovanjem Coriolisove sile.
U prvom razredu naučili ste razlikovati inercijske od neinercijskih sustava, te prepoznati inercijske sile koje se pojavljuju u neinercijskim sustavima.

Prisjetite se što ste sve naučili.

Zbog akceleracije neinercijskog sustava tijela u njemu će „osjećati” djelovanje inercijske (prividne) sile. Upoznali ste centrifugalnu silu. Coriolisova sila je još jedna prividna sila koja se javlja kao posljedica rotacije. Istodobno je okomita na brzinu tijela i na os vrtnje, a djeluje na tijelo u gibanju ako je njegova brzina pod nekim kutom usmjerena prema osi vrtnje.

Slika 5.

Foucaultovo njihalo

Foucaultovo njihalo u školi IES Los Cerros, Ubeda, Španjolska

Slika prikazuje uteg ovješen o nit koji se giba po kružnom drvenom postolju

Slika 6.

Krivulje nastale Foucaultovim njihalom

Slika 7.

Focaultovo njihalo

Zemlju u svojim razmatranjima često smatramo inercijskim sustavom unatoč njezinoj rotaciji. To je moguće jer je učinak Zemljine rotacije na tijela na njoj dovoljno mali da ga možemo za naše potrebe zanemariti. U slučaju Foucaultovog njihala djelovanje Coriolisove sile je primjetno i periodično gibanje njihala prikazano je specifičnim krivuljama. Njihalo se vraća u početnu točku nakon što referentni sustav opiše puni krug zajedeno s točkom na Zemlji u kojoj se nalazi ishodište sustava.

Primjena matematičkog njihala

Slika 8.

Shinjuku Mitsui zgrada

Sinjuku Mitsui zgrada je jedna od 10 najviših zgrada u Tokiju. Međutim, zanimljivost ove zgrade je u tome da je ona jedna od prvih zgrada u koju je postavljeno 6 masovih njihala na vrh zgrade.

Razlog tome je smanjenje podrhtavanja ove visoke zgrade za 60 % u vrijeme potresa. Dok bi se za vrijeme potresa zgrada naginjala njišući se na jednu stranu, njihalo bi se njihalo na suprotnu stranu i time stvaralo silu suprotna smjera.

PROJEKT: Odredite ubrzanje sile teže Zemlje

Učenica izvodi pokus s njihalom. Drži kuglicu njihaka u ruci.

Cilj

Odrediti ubrzanje sile teže u mom gradu.

Pribor

nit poznate duljine $l$
zaporni sat
papir
olovka
džepno računalo

Postupak

Uzmite nit poznate duljine i za njega zavežite uteg određene mase. Postavite njihalo da slobodno visi i mjerite period $T$ . Ponovite mjerenje minimalno 5 puta.

Obrada mjerenja

Odredite srednju vrijednost perioda, te pogreške mjerenja.

Rezultati

Ubrzanje sile teže možete tada odrediti prema izrazu:

$g=\frac{4\pi ^2l}{T^2}$

POKUS: Određivanje ubrzanja sile teže mobilnim telefonom kao njihalom

Prikazani dlanovi osobe. Lijevi dlan drži smart phone. Kažiprstom druge ruke dodiruje ekran mobitela.

Izmjerimo ubrzanje sile teže pametnim telefonom!

Pročitaj

Sažetak

Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase $m$ obješene na donjem kraju niti duljine $l$ . Nit je učvršćena na gornjem kraju i zanemarive je mase.

Sila koja vraća njihalo u ravnotežni položaj je $F_1=-mg\sin\alpha$

Izraz za period titranja matematičkog njihala je:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Period titranja njihala ovisi o:

duljini niti $l$
ubrzanju sile teže $g$

Potrebno je uočiti da period matematičkog njihala ne ovisi o:

masi utega $m$
otklonu njihala $\alpha$ , tj. o amplitudi njihala

Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase $\bm m$ obješene na donjem kraju niti duljine $\bm m$ .

Nit je učvršćena na gornjem kraju.

Zanemarive je mase.

Sila koja vraća njihalo u ravnotežni položaj je $F_1=-mg\sin\alpha$

Izraz za period titranja matematičkog njihala glasi:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Period titranja njihala ovisi o:

duljini niti $\bm l$
ubrzanju sile teže $\bm g$

Period matematičkog njihala ne ovisi o:

masi utega $\bm m$
otklonu njihala $\bm \alpha$ , tj. o amplitudi njihala

Provjerite svoje znanje

Period matematičkog njihala ovisi o duljini njihala.

Period matematičkog njihala ovisi o masi tijela koje se njiše.

Koliko iznosi period titranja njihala niti duljine $1\operatorname{m}$ , koje titra u Zagrebu? Ubrzanje sile teže u Zagrebu iznosi $9,81\operatorname{ms^{-2}}$ .

(Rješenje zaokružite na cijeli broj.)

$T = 8\operatorname{s}$

$T = 10\operatorname{s}$

$T = 0,2\operatorname{s}$

$T = 5\operatorname{s}$

$T = 2\operatorname{s}$

Povežite oznake fizičkih veličina s odgovarajućim oznakama mjernih jedinica.

$\bm F$

$\operatorname{s}$

$\bm l$

$\operatorname{m}$

$\bm T$

$\operatorname{Hz}$

$\bm f$

$\operatorname{kg}$

$\bm m$

$\operatorname{N}$

Riješite zadatak i upišite rješenje

Odredi duljinu matematičkog njihala koje titra s periodom $4\operatorname{s}$ . ( $g=10\operatorname{ms^{-2}}$ ) Rezultat zaokružite na cijeli broj.

$l=$

\operatorname{m}

Riješite zadatak i upišite rješenje

Matematičko njihalo napravi 8 titraja u 64 sekunde. Odredite period njihala i duljinu njihala.

Zaokružite duljinu njihala na cijeli broj.

$T=$

\operatorname{s}

\ \ \ l=

\operatorname{m}

1.3. Matematičko njihalo

Jednostavno njihalo

Slika 1.

Slika 2.

Matematičko njihalo

Koje sile djeluju na njihalo?

Slika 3.

Istražimo

Za znatiželjne i one koji žele znati više

Foucaultovo njihalo

Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Slika 7.

Primjena matematičkog njihala

Slika 8.

Sažetak

Provjerite svoje znanje