Zagrijte učenike igrom „Imaginarno ili realno?“. Radi se o razvrstavalici u kojoj je zadatak pojednostavniti ponuđeni brojevni izraz i odrediti je li rješenje imaginaran ili realan broj. Možete sami izraditi online vježbu na obrazovnoj mrežnoj stranici LearningApps (Group assignment) ili ponuditi učenicima sljedeći primjer online razvrstavalice. Matematičke izraze i formule možete napisati uz pomoć Dodatka za pisanje jednadžbi u jednom od Microsoft Office alata i snimiti ih kao sliku ili uz pomoć jednog od online LaTeX Editora, kao npr. CodeCogs, u kojem je moguće od LaTeX izraza izraditi sliku i pohraniti je na čvrsti disk.

Nakon toga izradite s učenicima matematički labirint kroz koji treba pronaći imaginaran ili realan put. U kvadratnoj mreži odnosno labirintu zadani su zadatci i označeno je početno i završno polje. Rješavajući redom zadatke, potrebno je odrediti je li rješenje imaginaran ili realan broj. Ako se traži imaginaran put kroz labirint, onda je potrebno obojiti svako polje na kojem je rješenje imaginaran broj. Ako se traži realan put, potrebno je obojiti svako polje na kojem je rješenje realan broj. Na taj se način pronalazi put kroz labirint bojenjem polja redom, od početnoga prema završnom polju. Primjer riješenog labirinta možete pogledati ovdje.

Podijelite učenike u parove i najprije se dogovorite koliko će polja biti u labirintu. Učenici neka zatim u parovima samostalno izrađuju toliko zadataka koliko će ih kasnije razvrstati u labirint, tako da rješenje pojedinog zadatka bude imaginaran ili realan broj. Broj pojedinih zadataka (s imaginarnim odnosno realnim rješenjem) ovisi o tome hoće li put kroz labirint biti imaginaran ili realan i kako će učenici razmjestiti zadatke u labirint. Zatim neka svaki par učenika, primjerice u online Wordu, uz pomoć tablice izrađuje ploču s dogovorenim brojem polja i u njih upisuje zadatke te označi početno i završno polje. Pri tome treba voditi računa o razmještaju zadataka tako da put čine susjedna polja (polja su susjedna ako dijele brid i nije dozvoljeno dijagonalno kretanje) i da put bude jednoznačan, odnosno da nema prečaca. Nakon što učenici izrade svoje labirinte, možete ih ispisati i razmijeniti među parovima ili ih mogu razmijeniti u zajedničkoj mrežnoj mapi na OneDriveu, tako da ne rješavaju onaj labirint koji su sami izradili. U prvoj inačici polja mogu bojiti markerima, a u drugoj u alatima za oblikovanje tablice.

Postupci potpore

Na početku aktivnosti s učenicima s teškoćama ponovite relevantno gradivo te im po potrebi pripremite memorijske kartice s riješenim tipičnim primjerima koji će im tijekom aktivnosti služiti kao podsjetnik. Kartice svojim sadržajem (jednostavnost primjera i izraza) i izgledom (format, font, kontrast, Brailleovo pismo) trebaju biti prilagođene svakom pojedinom učeniku, pri čemu učenicima kojima je to potrebno u kontekstu objasnite pojam imaginaran. Prije izrade online vježbi učenicima je potrebno dati detaljne upute za uporabu alata te s njima riješiti nekoliko oglednih zadataka, pri čemu uvijek treba imati na umu da je za većinu učenika s teškoćama važna postupnost u objašnjavanju, zadatci prilagođeni njihovim mogućnostima (broj i sadržaj zadataka) te dovoljno vremena da uvježbaju i samostalno rade. To se posebno odnosi na dio aktivnosti u kojem učenici kroz matematički labirint pronalaze imaginaran ili realan put te osmišljavaju zadatke. Ako se učenici s oštećenjem vida koriste Brailleovim pismom, zadatci u labirintu moraju biti zadani tim pismom.

Za uvježbavanje geometrijske predodžbe kompleksnog broja i prikaza kompleksnih brojeva u Gaussovoj ravnini, kao i uvježbavanje osnovnih računskih operacija s kompleksnim brojevima, s učenicima odigrajte igru „Tri u nizu“. Igra se može odigrati online, s igraćim kockama ili digitalnim „karticama“.

Učenici neka najprije u parovima igraju online inačicu igre, izrađenu u GeoGebri, u kojoj naizmjenično bacaju kocke i sami odabiru koji od dobivenih brojeva predstavlja realni, a koji imaginarni dio kompleksnog broja. Nakon toga ucrtavaju taj kompleksan broj u koordinatni sustav, odnosno odgovarajuću točku u kompleksnu ravninu. Ako je točka već zauzeta, igrač ne može odigrati i gubi red. Pobjednik je igrač koji prvi ima niz od tri točke (vodoravno, okomito ili dijagonalno). Igru možete odigrati i s markerima (za bojenje) ili žetonima (za prekrivanje) u različitim bojama, ispisanim koordinatnim sustavom i dvije igraće kocke kojima možete promijeniti i prilagoditi brojeve na stranama.

Nakon toga možete s učenicima pripremiti i odigrati složeniju inačicu igre. Svaki par učenika neka izradi svoje digitalne „kartice“ s kompleksnim brojevima u programu GeoGebra. Učenici mogu unaprijed pogledati videoupute (u trajanju od 4:33 min) o tome kako raditi s kompleksnim brojevima u GeoGebri i kako generirati nasumičan kompleksan broj (isječak od 2:24 min). Slijedeći upute, učenici neka izrade „kartice“ s dva kompleksna broja u proizvoljnom intervalu. Kad je na redu, svaki učenik u apletu generira dva kompleksna broja i zatim, ovisno o tome kako dogovorite pravila igre, oba učenika izračunavaju zbroj/razliku/umnožak/količnik tih dvaju brojeva. Možete se dogovoriti da se primjenjuje samo jedna računska operacija ili da učenik koji je na redu sâm odabire računsku operaciju. Nakon toga rezultat odnosno novi kompleksan broj učenici neka prikažu u koordinatnom sustavu u istom GeoGebrinu apletu. Uputite učenike kako mogu prilagoditi grafički prikaz(namještanje koordinatnih osi i promjena veličine vidljivog dijela koordinatnog sustava).

Nakon što učenici, svaki za sebe, riješe zadatak (prije igre dogovorite vremenski okvir rješavanja) primjenjujući ili zadanu računsku operaciju ili onu računsku operaciju koju je odabrao učenik koji je na redu, međusobno usporede i nakon toga provjere svoja rješenja u GeoGebri. Ako je učenik koji je na redu točno riješio zadatak, može rezultat odnosno novi kompleksan broj ucrtati u koordinatni sustav, a ako nije, onda drugi učenik, u slučaju točnog rješenja, ima pravo ucrtati točku na tome mjestu. U slučaju da je točka već zauzeta, igrač ne može odigrati i gubi red. I tu je pobjednik igrač koji prvi ima niz od tri točke (u bilo kojem od tri smjera).

Postupci potpore

Za igranje online igre učenike s teškoćama pripremite na način kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama. Učenici s oštećenjem vida u prvome dijelu aktivnosti mogu sudjelovati tako da svaki zadatak dobiju napisan Brailleovim pismom, a kad ga riješe, učenik s kojim igraju u paru upisat će točku u koordinatni sustav. Videouputu o tome kako raditi s kompleksnim brojevima u GeoGebri potrebno je pojednostavniti. U složenijoj inačici igre učenicima s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem i učenicima sa specifičnim teškoćama učenja pružite potporu pri samostalnom osmišljavanju zadataka, što uključuje i ponavljanje prethodno stečenog znanja, zajedničko rješavanje nekoliko primjera stvaranja kartica digitalnim alatima te dodatna objašnjenja i vođenje kroz svaki korak toga dijela aktivnosti. U tavo zahtjevnim aktivnostima vrlo je važno da učenici s teškoćama budu motivirani za rad, a to će se dogoditi ako uz potporu može riješiti zadane zadatke i doživjeti uspjeh.

Ponudite učenicima različite problemske zadatke i zagonetke sa skupovima točaka u kompleksnoj ravnini povezujući i objedinjujući različite sadržaje: od drugoga korijena pozitivnog i negativnog broja, preko računskih operacija s kompleksnim brojevima, sve do modula kompleksnog broja i geometrijske predodžbe konjugirano kompleksnih brojeva. Učenici neka rješavaju zadatke služeći se online programom dinamične geometrije GeoGebra. Videoupute o tome kako raditi s kompleksnim brojevima u GeoGebri možete pogledati na poveznici (trajanje od 4:33 min, isječak do 2:24 min).

Podijelite učenike u skupine i motivirajte ih primjerice sljedećim geometrijskim problemom u kompleksnoj ravnini:

Kompleksnim brojevima z1=3+2i i z2=2z1 pridružene su točke A i B u kompleksnoj ravnini. Pronađi točke C i D koje će s danim točkama činiti vrhove jednakokračnog trapeza ABCD tako da osnovice toga trapeza budu usporedne s imaginarnom osi. Postoji li samo jedno rješenje?

Prijedloge učeničkih rješenja prikupite uz pomoć alata za suradnju Tricider. Dogovorite se s učenicima da izvezu grafički prikaz iz GeoGebre kao sliku (odabrati opciju Preuzmite kao… u traci s izbornicima) i uključe je u svoju objavu. Neka svaka skupina ponudi barem dva rješenja. U raspravi o ponuđenim rješenjima promotrite i slučaj u kojem su kompleksni brojevi, pridruženi vrhovima trapeza, parovi konjugirano kompleksnih brojeva i raspravite o njihovoj geometrijskoj predodžbi.

Ponudite učenicima različite zadatke, primjerice:

(1) Zadajte dva kompleksna broja da se prikažu u kompleksnoj ravnini te primjerice zbroj/razlika/umnožak/količnik tih brojeva tako da dobivene točke čine vrhove nekog učenicima poznatog četverokuta (jednakokračan trapez, paralelogram, deltoid i sl.). Tražite od učenika da razmisle kako bi mogli matematički provjeriti/argumentirati da je dobiveni četverokut baš taj lik.

(2) Zadajte dva brojevna izraza (recimo s drugim korijenom) da se prikažu u kompleksnoj ravnini i primjerice njihov zbroj/razlika/umnožak/količnik. Učenici trebaju pronaći četvrtu točku odnosno kompleksan broj tako da se dobije neki učenicima poznati četverokut. Zadatak možete dodatno moderirati tako da realni i imaginarni dio traženog kompleksnog broja bude cjelobrojan.

(3) Zadajte da se jednakost(i) ili nejednakost(i) s modulom kompleksnog broja i rješenje(a) prikažu grafički i sl. Za tu aktivnost učenicima pripremite radni list sa zadatcima (primjer nekoliko zadataka možete pogledati ovdje), koji im možete podijeliti na društvenoj mreži Yammer.

Pomognite učenicima u korištenju različitim alatima te upisom u Traku za unos u GeoGebri. U zadatcima gdje učenici moraju grafički prikazati zbroj/razliku/umnožak/količnik danih kompleksnih brojeva neka najprije odrede algebarsko rješenje, a zatim pronađu rješenje i u GeoGebri jer će tako odmah moći provjeriti točnost svojega rada. U zadatcima s modulom kompleksnog broja učenici neka najprije uvjete zadatka (jednakost ili nejednakost) postave algebarski, a zatim rješenje(a) istraže i odrede u GeoGebri. Prema potrebi, prije rješavanja pojedinih zadataka povedite s učenicima raspravu o uvjetima zadatka, kao i o njihovim idejama za rješavanje. Svoja rješenja neka objave na zajedničkom online zidu u Padletu (uključujući rješenja iz GeoGebre, kao i računske postupke u obliku fotografija). Na kraju raspravite i usporedite učenička rješenja i postupke rješavanja pojedinih zadataka.

Postupci potpore

Problemske zadatke i zagonetke za učenike s teškoćama unaprijed pripremite tako da težinom (sadržaj, broj zadataka) i načinom (font, format, Brailleovo pismo) budu prilagođeni svakom pojedinačnom učeniku s teškoćama. Korisni su i podsjetnici na kojima su postupci učenicima sažeto i uz pomoć jednostavnijih primjera objašnjeni. Za rad s digitalnim alatima učenici moraju dobiti detaljnu uputu kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama, gdje su dane i upute kako pripremiti nastavne listiće za učenike s teškoćama. S obzirom na zahtjevnost gradiva, učenicima s teškoćama bit će potrebno kontinuirano praćenje i potpora. Isto tako, potrebno je voditi računa o tome da učenici imaju dovoljno vremena za rješavanje zadataka.

Za učenike koji žele znati više

Ponudite učenicima nekoliko matematičkih problema na temu kompleksnih brojeva, koje možete pronaći na mrežnim stranicama Illustrative Mathematics. Odaberite one koji su sadržajno primjereni dobi učenika (primjerice Powers of a complex number, Complex number patterns ili Complex Distance). Kako su problemi na engleskome jeziku, uputite učenike na mrežni Englesko-hrvatski rječnik temeljnih matematičkih pojmova. Neka učenici odaberu i riješe jedan od ponuđenih problema. Gdje je rješenje(a) potrebno prikazati grafički, mogu se poslužiti programom GeoGebra. Dogovorite s učenicima da formuliraju i prikažu problem te njegovo algebarsko i(li) grafičko rješenje u obliku digitalnog plakata (primjerice u alatu Canva) ili da rezultate svojega istraživanja oblikuju u Tackk stranicu.