Porazgovarajte s učenicima o njihovu poznavanju zlatnog omjera ili zlatnog reza – što je to, koliko iznosi, može li se vidjeti, znaju li za neke primjere iz arhitekture, umjetnosti ili prirode gdje se pojavljuje zlatni omjer?

Zlatni rez govori o odnosu dvaju omjera: Veći dio prema manjem odnosi se jednako kao cjelina prema većem dijelu.

Vodite učenike do otkrića zlatnoga reza eksperimentom, a zatim i računom. Neka učenici naprije u nekom programu dinamične geometrije, primjerice Geogebri, nacrtaju dužinu AB i na njoj pomičnu točku C. Neka izmjere udaljenosti a=|AC| i b=|CB| te izračunaju omjere ba i a+bb. Zatim neka pokušaju pomicanjem točke C namjestiti da izračunati omjeri budu, barem približno, jednaki.

Neka učenici zatim iskoriste jednakost omjera kako bi računski došli do precizne vrijednosti broja , poznatog kao zlatni rez (potrebno je uvesti supstituciju =ba u jednadžbu ba=a+bb). Jesu li dobili isti broj?

Neka učenici zatim, u istome programu za dinamičnu geometriju, uz vaše vođenje konstruiraju točku koja zadanu dužinu dijeli u zlatnom omjeru (sedam načina konstrukcije pronaći ćete u članku Konstrukcije zlatnog reza).

Pripremite za učenike fotografije primjera primjena zlatnog reza koje su navodili na početku, primjerice Partenon, Da Vincijeva Mona Lisa ili Posljednja večera, Michelangelovo Stvaranje Adama, ljuska Indijske lađice, ljudsko lice, Keopsova piramida… Objavite ih na online zidu u Padletu. Svaki učenik neka odabere jednu fotografiju i uveze je u datoteku na kojoj radi (u kojoj je konstruirana dužina podijeljena u zlatnom omjeru). Učenici mogu i sami pretraživanjem interneta pronaći željenu fotografiju. Uz pomoć svoje „zlatne dužine“ učenici traže zlatne omjere na fotografiji. Pronađene primjene zlatnog reza upisuju u obliku komentara na online zidu u Padletu ispod fotografije koju proučavaju.

Na kraju raspravite s učenicima jesu li našli onoliko primjena koliko su očekivali, je li ih nešto posebno iznenadilo, je li zlatni rez pozadina ljepote…

Postupci potpore

Razumijevanje zlatnoga reza većini učenika s teškoćama najlakše ćemo približiti uz pomoć dužine na kojoj jasno mogu vidjeti i izračunati odnos omjera te raznim slikovnim primjerima kako bismo osigurali razumljivost. Za učenike s diskalkulijom potrebno je pripremiti dužinu u kojoj će rezultati dijeljenja biti cijeli brojevi, a za učenike s oštećenjem vida pripremite dužinu uz pomoć plastelina kako bi učenici taktilno doživjeli zlatni rez. Tek nakon što smo učenicima dali dovoljno vremena i primjerenu potporu za svladavanje pojma zlatnog reza, učenici mogu pristupiti konstruiranju točke. Izaberite koja je od predloženih sedam konstrukcija težinom primjerena učenicima s teškoćama, a zatim vodite učenika pri konstruiranju. Predloženi tekst Konstrukcije zlatnog reza za učenike s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem i učenike s disleksijom pojednostavnite. U dijelu aktivnosti u kojem učenici traže zlatne omjere na fotografijama potrebno je dati upute za rad s digitalnim alatima te rabiti primjerene asistivne tehnologije kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama.

Kroz ovu aktivnost učenici će otkriti vezu između Fibonaccijeva niza i zlatnog reza te izraditi „zlatni šestar“.

Podsjetite učenike na Fibonaccijev niz, zlatni omjer i šestar kroz kratku igru asocijacija. Pripremite prezentaciju u Mentimetru, u kojoj ćete dati izraz za koji učenici trebaju upisati svoju asocijaciju (prvu riječ koja im pada na pamet) i napraviti oblak riječi (Word Cloud). Odaberite pojmove tipa razmnožavanje zečeva, najljepši omjer i crtanje kružnice. Pogledajte odgovore učenika, raspravite o njima i pitajte ih znaju li za vezu među tim trima pojmovima. Ponovite kako se definira Fibonaccijev niz i koliko iznosi zlatni omjer.

Neka učenici u nekom programu za tablične proračune, primjerice Google tablice, zapišu određen broj članova Fibonaccijeva niza (prva dva člana upisuju, a ostale računaju kao zbroj prethodnih dvaju članova), a zatim izračunaju omjere dvaju susjednih članova toga niza, kao u primjeru. Pitajte učenike mogu li što zaključiti o dobivenim omjerima. Oni se povećanjem članova niza sve više približavaju broju =1+521.61803398875. Zato se dva susjedna člana Fibonaccijeva niza često upotrebljavaju za aproksimaciju zlatnoga reza. Jedan je primjer takve primjene izrada takozvanog „zlatnog šestara“, alata kojim se stvara ili provjerava kompozicija u zlatnom omjeru. Upotrebljavaju ga dizajneri, umjetnici, fotografi, arhitekti, kozmetičari, plastični kirurzi… Pretražite slike upisujući ključne riječi golden mean calipers kako biste vidjeli različite vrste „zlatnih šestara“.

Uputite učenike kako da izrade jedan takav šestar. Potreban im je tvrdi karton, plastika ili šperploča, koje je potrebno izrezati po predlošku. Potaknite učenike da prepoznaju članove Fibonaccijeva niza na predlošku. Na naznačenim mjestima potrebno je izbušiti rupe i staviti odgovarajuće vijke (krakovi šestara trebaju biti pokretni). Srednji krak takva šestara pokazivat će točku koja dužinu između vanjskih krakova šestara dijeli u zlatnom omjeru (približno). Potaknite učenike da to i dokažu. Vodite ih pitanjima: U kakvu su odnosu krakovi zlatnoga šestara? Što osigurava da je |BG| || |AH|?Uočavate li slične trokute?Koliko iznosi omjer|FH||FG|?

Za bolju vizualizaciju možete upotrijebiti Geogebrin aplet Zlatni šestar.

Svoj zlatni šestar učenici neka iskoriste kako bi pronašli zlatni rez na svojemu tijelu (neka usporede veličinu ruke i podlaktice, palca i dlana, nožnoga palca i stopala, vrata i glave, gornje jedinice i dvojke zubala itd.). Nakon mjerenja možete pogledati dio videozapisa Golden Ratio in Human Body od 2:50 do 5:05 minute, koji prikazuje gdje bi se sve na savršenom ljudskom tijelu trebao naći zlatni omjer (videozapis je na engleskom jeziku, no može se pratiti i bez tona). Raspravite potom o tome jesu li vaši učenici „zlatni“ i jesu li pronašli još koji zlatni omjer koji nije prikazan u videozapisu.

Učenici mogu postupak izrade zlatnog šestara snimati, a zlatni rez pronađen na svojem tijelu fotografirati te napraviti kratak videouradak u alatu Animoto.

Postupci potpore

Primjer Fibonaccijeva niza učenicima s teškoćama dajte na unaprijed pripremljenim listićima kako biste im olakšali ponavljanje gradiva te ih dodatno usmjerili na način rasta Fibonaccijeva niza. Učenici s diskalkulijom neka rade u dijelu niza s manjim brojevima. Pri izračunu zlatnog omjera smiju se služiti kalkulatorom. Učenike koji imaju teškoća s razumijevanjem apstraktnih sadržaja i uopćavanjem kroz rješavanje zadatka vodite potpitanjima. Za praktičan rad, uporabu digitalnih alata i gledanje videozapisa učenicima s teškoćama dajte upute i pružite potporu kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama.

Učenici s teškoćama neka dobiju pisanu uputu kako bi mogli uspješno obaviti domaću zadaću. Na početku upute stavite kratak sažetak (kombinacija riječi i slike), a zatim jasnim i kratkim rečenicama opisan zadatak fotografiranja i na kraju uputu o uporabi digitalnog alata za označavanje zlatnih omjera na fotografiji, uređivanja fotografije i objavljivanja. Uputu je svakako potrebno proći i usmeno te riješiti s učenicima primjer zadatka. Za učenike s oštećenjem vida i ometajućim motoričkim teškoćama pripremite konkretan materijal (fotografije ili crteže većeg formata i prikladnog kontrasta, model neke građevine, čovjeka i sl.) na kojem će učenici, uz asistenciju, uz pomoć zlatnoga šestara otkrivati zlatne omjere.

Postupci potpore

Učenicima s teškoćama potrebno je suziti odabir izvora na internetu kako bi im pretraživanje bilo lakše, a isto tako potrebno je napisati kratki podsjetnik o eksperimentu (rezultati i pitanja usmjerena na otkrivanje razlika) kako bi učenici pri pretraživanju lakše detektirali relevantne podatke. S učenicima s teškoćama posebno pažljivo porazgovarajte o izboru izvora na internetu, s obzirom na sigurnost i pouzdanost.

Smatra se da je zlatni rez matematička pozadina ljepote te da je ljudskom oku najljepša kompozicija u kojoj je upotrijebljen zlatni rez. Stoga zlatni rez upotrebljavaju i dizajneri logotipova (Twitter, Pepsi, Apple, Toyota…). Pretražite slike prema ključnim riječima golden ratio logo design za više detalja i više primjera. Pripremite za učenike prezentaciju u primjerice PowerPointu s nekoliko primjera zlatnog reza u dizajnu loga.

Hoće li nas zaista najviše privući logotip u zlatnome omjeru? Istražimo. Podijelite učenike u skupine. Svaka skupina neka dizajnira jednostavan logo u alatu Canva. Neka naprave pet inačica istoga logotipa – u jednoj inačici neka upotrijebe zlatni rez, a u ostalima neke druge omjere. Primjerice:

Zatim neka svaka skupina u alatu KwikSurveys napravi anketu (Poll) o tome koji je logotip najprivlačniji promatrača (pogledajte primjer). Anketu neka objave na nekoj društvenoj mreži, primjerice Facebooku, kako bi prikupili podatke na raznovrsnijem uzorku ispitanika. Neka svaka skupina objavi rezultate svoje ankete na online zidu u Padletu koji ste za tu svrhu pripremili.

Pregledajte zajedno sve objave i raspravite o rezultatima. Je li zaista zlatni omjer najljepši ljudskom oku ili je to samo mit (u pripremi vam može pomoći članak Golden Ratio Myth, Fact and Misunderstanding)?

Porazgovarajte s učenicima o relevantnosti i pouzdanosti prikupljenih podataka te o valjanosti njihova istraživanja (iako su ispitanici raznovrsni, ipak svi imaju pristup internetu i koriste se društvenim mrežama pa uzorak nije valjan).

Postupci potpore

Za pretraživanje mrežnih stranica za učenike s oštećenjem vida, ali i sve druge učenike s teškoćama kojima je to potrebno, možete iskoristiti prilagodbe u pregledniku Google Chrome. Prije izrade logotipa učenicima je potrebno dati detaljne upute za uporabu alata kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku za učenike s teškoćama te ih kontinuirano poticati na aktivan rad u skupini.

Za učenike koji žele znati više

Govori se da je Meka smještena u točki koja je zlatni rez Zemlje. Potaknite učenike da razmisle o tome gdje bi bio zlatni rez Zemlje. Radi li se o samo jednoj točki? Neka pokušaju izračunati GPS koordinate te točke, a neka je zatim pronađu na Google karti. Koliko je Meka udaljena od te točke? O svojem projektu učenici mogu napraviti plakat u alatu Canva.