Nakon što usvoje tipove kvadratnih jednadžbi i načine njihova rješavanja, uvježbajte s učenicima primjenu različitih načina rješavanja kroz dinamičnu vježbu u skupinama.

U Padletu unaprijed izradite prazne zidove za skupine, čije ćete skraćene poveznice kasnije podijeliti učenicima (možete upotrijebiti neki od alata za skraćivanje poveznica). Podijelite učenike u skupine (3 do 5 učenika). Učenici zajedno otvaraju GeoGebrin aplet Riješi me, koji nasumično generira kvadratnu jednadžbu (bez slobodnog člana ili potpunu kvadratnu jednadžbu) i zadaje načine kojima je treba riješiti: faktorizacijom (gdje je moguće), dopunom do potpunog kvadrata ili uporabom formule za rješavanje kvadratne jednadžbe. Najprije neka svaki učenik individualno rješava jednadžbu jednim od zadanih načina (ako je broj učenika u skupini veći od broja ponuđenih načina, neka se učenici među sobom dogovore koji će rješavati jednadžbu kojim načinom). Nakon toga neka zajednički uspoređuju rješenja koja su dobili, kao i postupak rješavanja. Ako neki od učenika (ili više njih) ima(ju) drukčije rješenje od ostalih, svi učenici zajedno raspravljaju o rješenju (pri tome mogu primjerice primijeniti drukčiji način rješavanja od onoga kojim je rješavao taj učenik), surađujući i pomažući jedni drugima. Kad usuglase rješenje, klikom na gumb Nova jednadžba dobivaju sljedeću jednadžbu (nasumično) i nastavljaju s rješavanjem nove kvadratne jednadžbe, pri čemu se mijenja način rješavanja pojedinog učenika u skupini. Cilj je vježbe da svaki učenik, u zadanom vremenu točno riješi barem po jednu kvadratnu jednadžbu, svakim od zadanih načina rješavanja. Pri tome ne moraju sve skupine rješavati zadatke jednakom brzinom, što će ovisiti i o strukturi pojedine skupine. Unaprijed samo okvirno dogovorite vrijeme za cijelu aktivnost, a broj riješenih zadataka po skupinama razlikovat će se.

Na kraju zadatke, postupke rješavanja (koje neka prije toga fotografiraju) i rješenja skupine objavljuju svaka na svome zajedničkom zidu Padleta. Pri tome, u slučaju različitih rješenja istoga zadatka (ako nisu uspjeli usuglasiti rješenje), objavljuju sva dobivena rješenja. Zadajte učenicima da za domaću zadaću prouče zidove ostalih skupina i riješe njihove zadatke provjeravajući i komentirajući objavljena rješenja, a vi ih može provjeriti uz pomoć primjerice mrežne stranice Symbolab. Na sljedećem satu raspravite s učenicima o ponuđenim rješenjima, posebice o zadatcima u kojima su skupine eventualno ponudile različita rješenja iste jednadžbe te ih usporedite s učeničkim domaćim zadaćama. Porazgovarajte s učenicima o načinima rješavanja, o tome koji im se čini najjednostavniji i(li) najprimjereniji s obzirom na tip kvadratne jednadžbe. Prema prilici, možete i nagraditi najuspješniju skupinu.

Postupci potpore

Učenike s teškoćama potrebno je pripremiti za uporabu digitalnih alata te im je rad s računalom potrebno učiniti pristupačnim, kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku. Kao podsjetnik učenicima s poremećajem pažnje i učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju mogu poslužiti primjeri riješenih zadataka. Zadatke mogu rješavati na sva tri načina, ali mogu i na jedan koji im je najprimjereniji, što se posebno odnosi na rad u skupini. Tijekom rješavanja zadataka u GeoGebri, pri generiranju svakoga novog zadatka s učenicima s poremećajem pažnje i učenicima sa specifičnim teškoćama učenja potrebno je utvrditi način rješavanja jednadžba te pratiti njihov rad i pružati postupnu potporu. Učenicima s oštećenjem vida koji se služe Brailleovim pismom suučenici neka pročitaju zadatak, a oni će nakon rješavanja njima pročitati svoje rješenje.

Pripremite za učenike određen broj izjava u vezi s tipovima kvadratnih jednadžbi, načinima rješavanja, rješenjima i diskriminantom kvadratne jednadžbe. Učenici neka pregledaju izjave i odluče vrijedi li dana izjava „uvijek“, „ponekad“ ili „nikad“. Uz svaku izjavu učenici trebaju opravdati svoj odabir primjerenom matematičkom argumentacijom, odnosno primjerom (npr. ako za ponuđeno svojstvo učenici smatraju da vrijedi „ponekad“, mogu svoj odabir potkrijepiti primjerom u kojem to svojstvo ne vrijedi i sl.). Time kod učenika razvijamo naviku argumentiranja tvrdnji koje iznose, što je važna vještina ne samo u matematici već i u svakodnevnim životnim situacijama. Primjeri nekih izjava koje možete ponuditi učenicima: Kvadratna jednadžba jest jednadžba drugoga stupnja. („uvijek“); Kvadratna jednadžba ima linearni koeficijent jednak 0. ili Kvadratnu jednadžbu moguće je riješiti faktorizacijom. („ponekad“); Ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe nenegativna, jednadžba ima dva konjugirano kompleksna rješenja. ili Rješenja jednadžbe 2x2 – 3x + 5 = 0 su realna. („nikad“). Ta strategija formativnog vrednovanja korisna je za otkrivanje generaliziraju li učenici ispravno svojstva povezana s ponuđenim matematičkim objektima i konceptima.

Popis s izjavama možete podijeliti u novoj sekciji učeničke bilježnice unutar OneNote Bilježnice za predmete (Class Notebook), u obliku radnog listića koji će učenici preslikati u svoje bilježnice (Student Notebook) i odgovarati izravno u listiću. Možete se dogovoriti s učenicima da primjerice oboje tvrdnje različitim bojama uz pomoć odgovarajućih alata u aplikaciji (recimo, „uvijek“ plavom, „ponekad“ zelenom i „nikad“ crvenom bojom), radi kasnije lakše provjere rješenja. Za svaku izjavu predvidite i odgovarajući prostor u listiću za argumentaciju, gdje će učenici navesti primjer kao potkrepljenje za svoj izbor. Na taj ćete način na svojem računalu moći pratiti rad učenika.

Nakon što učenici završe zadatak, usporedite njihova rješenja, prokomentirajte pojedine izjave i dajte svakom učeniku mogućnost da pred ostalima iznese argument kojim je potkrijepio/la svoj izbor. Verbalna argumentacija sastavni je dio ove vježbe. Iskoristite priliku da, u slučaju kad se izbor jednoga ili više učenika razlikuje od ostalih, povedete razrednu raspravu u kojoj „suprotstavljene“ strane argumentiraju i obrazlože svoj izbor. Pri tome potaknite atmosferu međusobnog uvažavanja bez obzira na eventualne pogreške u zaključivanju i/ili argumentiranju. Možete učenicima za domaću zadaću zadati da sami na sličan način osmisle različite izjave na istu temu i ponude ih u jednom do dva slajda primjerice PowerPoint Online prezentacije. Izrađene prezentacije možete iskoristiti na nekom od sljedećih satova za ponavljanje i/ili vježbu.

Postupci potpore

Broj izjava i težinu izjave potrebno je prilagoditi učenicima s teškoćama. Ako je potrebno, pokraj izjave može biti zapisan i zadatak koji navodi na odgovor, odnosno učenike je potrebno usmjeravati potpitanjima kako bi uspješno matematički argumentirali svoju izjavu, što se prvenstveno odnosi na učenike s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem i učenike sa specifičnim teškoćama učenja. Korisno je i pripremiti podsjetnik sa zornim primjerima riješenih zadataka kako bi služili kao predložak. Pri izboru izjava potrebno je voditi računa o razini usvojenog znanja, a način uporabe OneNote bilježnice, odnosno radnog listića, potrebno je unaprijed objasniti te s učenicima odraditi nekoliko izjava. Svakom učeniku s teškoćama pružite priliku da argumentira svoj izbor te mu u tome pružite potporu potpitanjima i vođenjem. Učenici s oštećenjem vida neka zadatke rješavaju na Brailleovu pismu ili im omogućite rad na računalu na način kako je opisano u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku. Na istoj poveznici opisan je i način kako rad na računalu učiniti pristupačnim učenicima s motoričkim teškoćama.

U ovoj aktivnosti učenici kreću od rješenja i samostalno osmišljavaju zadatke s kvadratnim jednadžbama na temelju ponuđenih rješenja.

Podijelite učenike u skupine i ponudite im niz proizvoljnih brojeva. Možete svim skupinama ponuditi isti niz (npr. –5, √5, 7, 2323, 0.5, 3+i√2). Broj članova niza prilagodite broju učenika u skupinama. Zadatak je učenika osmisliti odgovarajući broj zadataka tako da rješenje svakog zadatka bude jedan od brojeva iz ponuđenog niza. Pri tome im možete i tipološki odrediti određeni broj zadataka ili sve zadatke koje moraju osmisliti. Primjerice, možete tražiti da osmisle dva tekstualna zadatka s problemima drugoga stupnja (npr. jedan s geometrijskim sadržajem ili s primjerom iz svakodnevnog života, a drugi sadržajno povezan s npr. Fizikom ili nekim drugim nastavnim predmetom) tako da rješenja pripadnih kvadratnih jednadžbi budu među ponuđenim rješenjima. Ili im primjerice možete zadati da osmisle različite tipove kvadratnih jednadžbi ili po jedan zadatak povezan s primjenom Vièteovih formula i diskriminantom kvadratne jednadžbe i sl. Važno je da učenici upotrijebe sve ponuđene brojeve u nizu kao rješenja zadataka koje će osmisliti. Ponovite s učenicima na početku broj rješenja kvadratne jednadžbe i skrenite im pozornost da vode računa o tome kako će formulirati i osmisliti zadatke s obzirom na to da im je za svaki zadatak koji moraju osmisliti ponuđen jedan broj kao rješenje. Potaknite ih na raspravu u kojoj ćete razmotriti različite mogućnosti: ponuđeno je rješenje primjerice pozitivno ili negativno rješenje neke kvadratne jednadžbe (što učenici trebaju naglasiti u tekstu zadatka ako je to slučaj), kvadratna jednadžba ima dvostruko realno rješenje, kvadratna jednadžba ima konjugirano kompleksna rješenja, kvadratna jednadžba predstavlja algebarski opis nekoga konkretnog problema u kojem se zbog značenja uvedene nepoznanice zanemaruje npr. negativno rješenje i sl. Zato je važno da za osmišljavanje pojedinog zadatka učenici odrede strategiju kojom će birati rješenja među ponuđenim brojevima u nizu. Za raspravu možete unaprijed pripremiti nekoliko primjera zadataka, o kojima ćete s učenicima raspraviti, primjerice u obliku Word Online dokumenta.

Za objavu zadataka unaprijed izradite prazne tematske zidove u Padletu i to po jedan zid za svaki od brojeva u ponuđenom nizu rješenja. Tako će skupine na jednom zajedničkom zidu objaviti različite zadatke koje povezuje isto rješenje. Učenicima možete podijeliti skraćene poveznice na zidove u nekome od alata za skraćivanje poveznica. Matematičke izraze i kvadratne jednadžbe koje osmisle učenici mogu fotografirati i uključiti u objavu. Prepustite im da se međusobno organiziraju i dogovore o zaduženjima, surađujući i pomažući jedni drugima. Predložite im da se pri osmišljavanju zadataka posluže internetom (možete im ponuditi poveznice na odgovarajuće mrežne stranice, poput ove), udžbenikom i/ili zbirkom zadataka, kao i bilježnicama, kako bi imali pristup primjerima različitih tipova zadataka, a istovremeno se koristili različitim izvorima informacija. Za domaću zadaću možete im zadati da odaberu i riješe po dva zadatka sa svakoga zida. Na taj će način odmah i provjeriti rješenja objavljenih zadataka. Na sljedećem satu raspravite s učenicima o objavljenim zadatcima uspoređujući različite tipove zadataka koje su osmislili, a koje povezuje isto rješenje. Možete im za vježbu zadati da, u slučaju da postoje pogreške u nekim zadatcima, potraže i isprave te pogreške usklađujući zadatke sa zadanim rješenjem.

Postupci potpore

Učenicima s teškoćama potrebno je dobro objasniti obrnuti put – od rješenja do zadatka – te s njima riješiti nekoliko primjera. Tekstualni zadatci koje bi učenici trebali osmišljavati mogu biti djelomično zadani. No imajte na umu da obrnuti put učenicima sa specifičnim teškoćama učenja i učenicima s poremećajem pažnje/hiperaktivnim poremećajem može činiti veliku teškoću te im je stoga potrebno dati predložak s riješenim zadatkom. Ako procijenite da je to prezahtjevno, učenici ne trebaju rješavati takav tip zadatka. Korelacija s drugim nastavnim predmetima iznimno je važna za učenike s teškoćama, stoga je potrebno poticati osmišljavanje zadataka povezanih s drugim predmetima, a posebno zadataka povezanih sa svakodnevnim životom. Kako učenike s teškoćama potaknuti na raspravu te kako upotrebljavati digitalne alate i računalo učiniti pristupačnim opisano je u Didaktičko-metodičkim uputama za prirodoslovne predmete i matematiku, Aktivnosti usmenog izlaganja i sudjelovanje u raspravi, Aktivnosti prikupljanja i obrade podataka uz pomoć digitalnih alata.

Za učenike koji žele znati više

Zainteresirane učenike potaknite da upoznaju djelić povijesti rješavanja kvadratnih jednadžbi istražujući Al-Hvarizmijevu metodu rješavanja. Koristeći se dostupnom literaturom i pretražujući mrežne stranice (npr. ovaj članak i/ili završni rad, str. 4–6) neka odaberu jedan od tipova kvadratnih jednadžbi koje je u svojem djelu opisao Al-Hvarizmi, jedan od najčuvenijih arapskih matematičara.

Dogovorite se s učenicima da, nakon što prouče geometrijsku ilustraciju postupka rješavanja odabranog tipa kvadratne jednadžbe na način kako ih je rješavao taj poznati matematičar (primjerice, u ranije navedenom završnom radu rješavanje jednadžbe tipa ax2+bx=c ilustrirano je na dva načina), prikažu metodu u obliku digitalnog plakata na kojem će prikazati i ilustrirati postupak rješavanja (za geometrijsku ilustraciju mogu se koristiti programom GeoGebra ili vlastitim ilustracijama) na nekoliko primjera koje će samostalno osmisliti. Za izradu plakata mogu se koristiti primjerice alatom Canva. Neka svakako osmisle i nekoliko zadataka i pitanja koja će postaviti ostalim učenicima nakon prezentacije rezultata svojega istraživanja.