Zakon radioaktivnog raspada

Nestabilne atomske jezgre

Nestabilne atomske jezgre se s vremenom raspadaju i prelaze u jezgre kćeri koje mogu biti stabilne ili nestabilne. Ukoliko su novonastale jezgre nestabilne, radioaktivni procesi se nastavljaju. Imamo li određenu količinu (uzorak) nestabilnog izotopa, broj njegovih jezgri će se smanjivati, a povećavat će se broj jezgri izotopa koji su produkti radioaktivnih procesa.

Koja će se radioaktivna jezgra u uzorku raspasti u nekom trenutku je stvar slučaja. Pojedinačni raspadi javljaju se nasumično.

Vrijeme poluraspada (poluživot)

Mjerenja su pokazala da svaki radioaktivni izotop karakterizira vrijeme potrebno da se točno polovica ukupnog broja jezgri iz početnog uzorka raspadne. To vrijeme nazivamo vrijeme poluraspada (poluživot). Radioaktivni raspad opisuje se vremenom poluraspada (poluživotom) T_1/2 radioaktivne jezgre.

Na primjer, radij $^{226}_{88}Ra$ ima poluživot od 1600 godina. Toliko je godina potrebno da se početni broj jezgri uzorka tog izotopa smanji na polovicu. U sljedećih 1600 godina, polovica preostalih jezgri radija će se raspasti, ostavljajući samo četvrtinu izvornog broja netaknuto. Ako broj jezgara prisutnih u trenutku t=0 s iznosi N₀, broj preostalih jezgri u trenutku t=T_1/2 iznosi $N=\frac{1}{2}N_0$ . Tada broj preostalih jezgri u t=2T_1/2 iznosi $N=\frac{1}{4}N_0$ . Iznos poluživota ovisi o prirodi radioaktivne jezgre i vrlo se razlikuje za pojedine izotope. Pogledajte tablicu sa nekoliko primjera.

Na primjer, radij $^{228}_{88}Ra$ ima poluživot od 1600 godina.

To je jer je toliko godina potrebno da se početni broj jezgri uzorka tog izotopa smanji na polovicu.

U sljedećih 1600 godina, polovica preostalih jezgri radija će se raspasti.

Ostavit će samo četvrtinu izvornog broja netaknuto.

Ako je broj jezgara prisutnih u trenutku t=0 s je N= N₀, broj preostalih jezgri u trenutku t=T_1/2 je N=N₀.

Broj preostalih jezgri u t=2T_1/2 je N=N₀, i tako dalje.

Iznos poluživota ovisi o prirodi radioaktivne jezgre.

Vrlo se razlikuje za pojedine izotope.

Pogledajte tablicu sa nekoliko primjera.

Tablica 1

Izotop		Vrijeme poluraspada
Polonij	$^{218}_{84}Po$	1,64 · 10^-4 s
Radon	$^{222}_{86}Rn$	3,83 dana
Radij	$^{226}_{88}Ra$	1600 godina
Ugljik	$^{14}_{6}C$	5730 godina
Uranij	$^{238}_{92}U$	4470000 godina

Radon $^{222}_{86}Rn$ je prirodni plin koji nastaje α raspadom radija $^{226}_{88}Ra$ . Kako je radon u tlu plinovit, može ući u podrume domova kroz pukotine u temeljima. Jednom kada je radon prodro u kuću, njegova koncentracija može značajno porasti, ovisno o vrsti stambene konstrukcije i koncentraciji radona u okolnom tlu. Plin radon se raspada u jezgre kćeri koje su i same radioaktivne. Radioaktivne jezgre mogu se vezati za čestice prašine i dima te ih je moguće udahnuti. Unesene u pluća mogu uzrokovati oštećenje tkiva. Koncentracija radona može se mjeriti jeftinim uređajima, te se preporučuje povremeno kontroliranje podruma.

Radon $^{222}_{86}Rn$ je prirodni plin.

Nastaje α raspadom radija $^{228}_{88}Ra$ .

Radon u tlu je plinovit.

Može ući u podrume domova kroz pukotine u temeljima.

Jednom kada je radon prodro u kuću, njegova koncentracija može značajno porasti.

To ovisi o:

vrsti stambene konstrukcije
koncentraciji radona u okolnom tlu.

Plin radon se raspada u jezgre kćeri koje su i same radioaktivne.

Radioaktivne jezgre mogu se vezati za čestice prašine i dima.

Moguće ih je udahnuti.

Unesene u pluća mogu uzrokovati oštećenje tkiva.

Koncentracija radona može se mjeriti jeftinim uređajima.

Preporučuje se povremeno kontroliranje podruma.

Slika 1.

Detektor radona

Pretpostavimo sada da je u trenutku kada je podrum zaštićen od daljnjeg prodiranja radona u njemu još 3 · 10⁷ atoma radona. Procijenimo koliko će jezgri radona biti u podrumu nakon 31 dana. (Vrijeme poluraspada pronađite u tablici).

Tijekom svakog poluživota broj atoma radona smanjuje se za faktor dva. Prema tome, utvrđujemo broj poluživota koji postoje u razdoblju od 31 dan te svakim poluživotom smanjujemo broj atoma radona koji su prisutni na početku tog poluživota s faktorom dva.

U razdoblju od 31 dana postoji (31 dan) / (3,83 dana) = 8,1 poluživota. Pošto broj jezgri procjenjujemo zanemarit ćemo decimalno mjesto te zaključujemo da se polovičnih broj atoma radona smanjuje za faktor 2⁸= 256. Broj atoma koji u podrumu ostaju nakon 31 dana prema tome je 3 · 10⁷ : 256 = 1,2 · 10⁵.

Zakon radioaktivnog raspada

Vidjeli smo da je radioaktivni raspad proces statističke prirode. Moguće je izračunati kako će se vremenski mijenjati količina radioaktivne tvari u uzorku. Također, iz prethodnog razmatranja vidimo da se broj radioaktivnih jezgara koje se još nisu raspale eksponencijalno smanjuje u vremenu.

Općenito broj neraspadnutih jezgri, početni broj jezgri i povezuje jednostavan zakon.

Neka je N₀ broj neraspadnutih jezgara u uzorku u početnim trenutku (t=0), tada će nakon vremena t taj broj biti:

$N=N_0e^{-\lambda t}$

gdje je λ konstanta raspada karakteristična za pojedini izotop. Nuklidi koji se brže raspadaju imaju veću konstantu raspada.

Za vrijeme t = T_1/2broj neraspadnutih jezgara je N = N₀/2, uvršteno u zakon radioaktivnog raspada daje:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow e^{-\lambda T_{1/2}}=\dfrac{1}{2}$

ili

$T_{1/2}=\dfrac{ln\,2}{\lambda}=\dfrac{0,693}{\lambda}$

Ovo je veza konstante raspada i vremena poluraspada. Ponekad se umjesto vremena poluraspada izražava prosječno vrijeme trajanja $T=\dfrac{T_{1/2}}{ln\,2}$ . Zakon radioaktivnog raspada može se pisati i u obliku:

Ovo je veza konstante raspada i vremena poluraspada.

Ponekad se umjesto vremena poluraspada izražava prosječno vrijeme trajanja $T=\dfrac{T_{1/2}}{ln2}$ . Zakon radioaktivnog raspada može se pisati i u obliku:

$N=N_0e^{-\dfrac{ln\,2}{T_{1/2}}t}=N_0e^{-\dfrac{0,693t}{T_{1/2}}}=N_0e^{-\lambda t}$

ili

$N=N_02^{-\dfrac{t}{T_{1/2}}}$

Na slici ispod prikazan je radioaktivni raspad kao funkcija vremena. Na ordinati je broj neraspadnutih jezgara N, a na apscisi vrijeme t. U početnom trenutku (t=0) broj je neraspadnutih jezgara N₀. Nakon vremena t=T_1/2 od početnog broja ostane $\dfrac{N_0}{2}$ neraspadnutih jezgara, nakon vremena $t=\dfrac{T_{1/2}}{2}$ preostane $\dfrac{N_0}{4}$ itd.

Na slici je prikazan radioaktivni raspad kao funkcija vremena.

Na ordinati je broj neraspadnutih jezgara N.

Na apscisi je vrijeme t.

U početnom trenutku (t=0) broj je neraspadnutih jezgara N₀.

Nakon vremena t=T_1/2 od početnog broja ostane $\dfrac{N_0}{2}$ neraspadnutih jezgara.

Nakon vremena $t=\dfrac{T_{1/2}}{2}$ preostane $\dfrac{N_0}{4}$ itd.

Slika 2.

Zakon radioaktivnog raspada

Na slici je prikazan radioaktivni raspad kao funkcija vremena. Na ordinati je broj neraspadnutih jezgara N. Na apscisi je vrijeme t.

Brzina kojom se raspada radioaktivni nuklid zove se . To je broj raspada u jedinici vremena. Jedinica za aktivnost je bekerel (Bq).

Bq=s^-1

Jedan bekerel jest jedan raspad u sekundi. 1 Bq je relativno mala aktivnost. U praksi se susreću radioaktivni izvori aktivnosti reda veličine MBq i čak GBq. Kilogram prirodnog uranija ima aktivnost oko 15 MBq.

Može se pokazati da za uzorak u kojem je broj jezgara N nuklida čija je konstanta raspada λ, odnosno vrijeme poluraspada T_1/2, aktivnost iznosi:

$A=-\dfrac{\Delta N}{\Delta t}=\lambda N$

ili

$A=A_0 e^{- \lambda t}=A_0 e^{-{\dfrac {0,693t}{T_{1/2}}}}$

gdje je A₀ početna aktivnost, tj. aktivnost u trenutku t=0.

Riješimo zajedno

Ranije smo procijenili broj atoma radioaktivnog radona u podrumu kuće 31 dana nakon što smo spriječili daljnje prodiranje radona, a u trenutku zatvaranja podruma imali smo 3 · 10⁷ atoma.

Izračunajmo:

konstantu raspada za $^{222}_{86}Rn$
broj atoma radona u podrumu nakon 31 dana primjenjujući zakon radioaktivnog raspada
aktivnost radona 31 dan nakon zatvaranja podruma

a) $T_{1/2}=\dfrac{ln\,2}{\lambda }=\dfrac{0,693}{\lambda }$ $\Longrightarrow$ $\lambda =\dfrac{0,693}{T_{1/2}}=\dfrac{0,693}{3,823\,\text{dana}}=0,181\,\text{dan}^{-1}$

b) $N=N_0e^{-\lambda t}=1,097\cdot 10^5\,\text{atoma}$

c) $A=\lambda N=0,23 \,\text{Bq}$

Za znatiželjne i one koji žele znati više

Utvrđivanje starosti pomoću radioaktivnih elemenata (radioaktivno datiranje)

Jedna od važnih primjena radioaktivnosti je određivanje starosti arheoloških ili geoloških uzoraka. Kada neki predmet nastaje on će sadržavati određen broj radioaktivnih jezgri nekog izotopa, a u vremenu poluraspada tog izotopa pola jezgri se raspada. Ako je vrijeme poluraspada poznato, mjerenje broja danas prisutnih jezgri u odnosu na njihov broj u početku mogu dati starost uzorka. Aktivnost uzorka je proporcionalna broju radioaktivnih jezgara, pa je jedan od načina da se dobije dob usporedba sadašnje aktivnosti s početnom aktivnošću. Sadašnja aktivnost uzorka može se mjeriti, ali kako je moguće znati početnu aktivnost? Metode datiranja pomoću radioaktivnih elemenata podrazumijevaju određene pretpostavke koje omogućuju procjenu izvorne aktivnosti.

Na primjer, radiokarbonska tehnika koristi izotop ugljika $^{14}_6C$ , čije vrijeme poluraspada iznosi 5730 godina. Taj izotop je u atmosferi Zemlje u ravnotežnoj koncentraciji od oko jednog atoma na svakih 8,3 · 10¹¹ atoma ugljika $^{12}_6C$ . Pretpostavlja se da je ta vrijednost tijekom godina ostala konstantna jer se $^{14}_6C$ stvara kada kozmičke zrake djeluju s gornjim slojevima atmosfere, a taj process se stalno odvija čime se nadomješta gubitak radioaktivnim raspadom. Zbog toga gotovo svi živi organizmi imaju ravnotežnu koncentraciju ovog izotopa. Međutim, jednom kada organizam umre, metabolizam više ne održava unos $^{14}_6C$ , a polovica jezgri raspadne se svakih 5730 godina.

Na primjer, radiokarbonska tehnika koristi izotop ugljika $^{14}_6C$ .

Vrijeme poluraspada iznosi 5730 godina.

Taj izotop je u atmosferi Zemlje u ravnotežnoj koncentraciji od oko jednog atoma na svakih 8,3 · 10¹¹ atoma ugljika $^{12}_6C$ .

Pretpostavlja se da je ta vrijednost tijekom godina ostala konstantna jer se $^{14}_6C$ stvara kada kozmičke zrake djeluju s gornjim slojevima atmosfere.

Taj proces se stalno odvija čime se nadomješta gubitak radioaktivnim raspadom.

Zbog toga gotovo svi živi organizmi imaju ravnotežnu koncentraciju ovog izotopa.

Jednom kada organizam umre, metabolizam više ne održava unos $^{14}_6C$ .

Polovica jezgri raspadne se svakih 5730 godina.

Odredimo:

a) broj atoma $^{14}_6C$ u jednom gramu ugljika u živom organizmu

b) konstantu raspada $^{14}_6C$

c) aktivnost uzorka

a) Broj atoma $^{12}_6C$ u jednom gramu ugljika, N( $^{12}_6C$ ), jednak je umnošku količine tvari n i Avogadrove konstante N_A . Množina ugljika je kvocijent mase uzorka m i molarne mase ugljika M. Da bismo dobili broj atoma $^{14}_6C$ , N( $^{14}_6C$ ), broj atoma $^{12}_6C$ moramo podijeliti s 8,3 · 10¹¹(jer na toliko atoma $^{14}C$ dolazi jedan atom $^{12}C$ ).

$N(^{12}C)=n\cdot N_A=\frac{m}{M}\cdot N_A$

$N(^{12}C)=\frac{1g}{12g\cdot mol^{-1}}\cdot 6,022\cdot 10^{23}mol^{-1}=5,0183\cdot 10^{22}$

$N(^{14}C)=\frac{N\left(^{12}C\right)}{8,3\cdot 10^{11}}$

$N(^{14}C)=6,046\cdot 10^{10}$

b), c) rješavamo kao u prethodnom računskom primjeru.

b) Konstanta raspada iznosi λ=3,83 · 10^-12 s^-1

c) Aktivnost uzorka A=0,23 Bq

Organizam, koji je živio prije više tisuća godina, vjerojatno je imao aktivnost otprilike 0,23 Bq po gramu ugljika. Kad je organizam umro, aktivnost je počela opadati. Iz ostataka uzorka, može se mjeriti trenutna aktivnost po gramu ugljika te usporediti sa vrijednosti 0,23 Bq za određivanje vremena koje je proteklo od smrti.

Osim navedenog ugljika $^{14}C$ , za radioaktivno datiranje koriste se i neki drugi elementi, na primjer $^{238}_{92}U$ , $^{40}_{19}K$ ili $^{219}_{92}Pb$ .

Razmislite kako bi na izbor metode radioaktivnog datiranja utjecali:

vrijeme poluraspada određenog izotopa
starost i vrsta uzorka čiju starost istražujemo?

U kojim područjima se sve mogu primijeniti ove metode?

Na mrežnim stranicama potražite opise nekih od metoda radioaktivnog datiranja, njihovu primjenu te provjerite jesu li vaše pretpostavke točne.

Priredite kratko izlaganje za prijatelje u razredu u kojem ćete opisati svoje istraživanje i zaključke.

Osim navedenog ugljika $^{14}C$ , za radioaktivno datiranje koriste se i neki drugi elementi.

Na primjer $^{238}_{92}U$ , $^{40}_{19}K$ ili $^{219}_{92}Pb$ .

Kako bi na izbor metode radioaktivnog datiranja utjecali:

vrijeme poluraspada određenog izotopa
starost i vrsta uzorka čiju starost istražujemo?

U kojim područjima se sve mogu primjeniti ove metode?

Razmislite.

Na mrežnim stranicama potražite:

opise nekih od metoda radioaktivnog datiranja
njihovu primjenu
provjerite jesu li vaše pretpostavke točne.

Priredite kratko izlaganje za prijatelje u razredu u kojem ćete opisati svoje istraživanje i zaključke.

Model radioaktivnog raspada

Radioaktivni raspadi su statističke prirode.
Ne postoji način kako predvidjeti kada će se određena jezgra raspasti.
Određene zakonitosti možemo utvrditi ako imamo velik broj nestabilnih jezgri.

Uzmimo za primjer radioaktivni radij.

Maseni broj radija je 210. Koliko jezgri sadrži 1 miligram radija?

2,87⋅10¹⁸

Radi se o velikom broju jezgri, čije je ponašanje također statističke prirode.

Pogledajte sljedeći pokus. Početni broj kockica je 100. Bacamo kockice, uklonimo sve dobivene "šestice". Ponovimo bacanje, uklonimo "šestice" i nastavimo tako dok ne preostane, na primjer, 10 kockica.

Video 1.

Model radiaktivnog raspada

0

U programu MS Excell u jedinici naći ćete tablicu u koje ćete upisati za svaki redni broj bacanja, broj kockica koje su preostale (nije se okrenula "šestica").

Cijelu seriju bacanja bi valjalo ponavljati toliko puta dok se ne ponovi jednak ukupan broj bacanja.
Nacrtajte grafički prikaz ovisnosti N (preostalih kockica) o broju bacanja.
Opišite dobivenu krivulju.

Koliko iznosi "vrijeme poluraspada" u vašem pokusu?

Ako izvedemo mjerenja za slučaj da nakon svakog bacanja kockica uklonimo dobivene "trojke" i "četvorke", hoće li se promijeniti "vrijeme poluraspada" dobiveno u prethodnom slučaju?

Koja su ograničenja ove analogije sa radiaktivnim raspadima?

Tablica 2

Broj bacanja	Početni broj	Uklonjeno	Preostalo
1	100

Priloženi dokument

Tablica 2

Pokus pokazuje da je radioaktivni raspad statističke prirode.

Sažetak

Nestabilne atomske jezgre se s vremenom raspadaju i prelaze u jezgre kćeri.

Vrijeme poluraspada T_1/2 je vrijeme potrebno da se točno polovica ukupnog broja jezgri iz početnog uzorka raspadne. Broj jezgri N preostao od početnog broja jezgri izotopa N₀ u uzorku nakon vremena t iznosi: