Što je to periodično gibanje?
U prirodi postoje događaji koji se ponavljaju u jednakim vremenskim razmacima (periodima) kao izmjena dana i noći, godišnjih doba ili godina.
U prirodi postoje događaji koji se ponavljaju u jednakim vremenskim razmacima (periodima).
Primjerice: izmjena dana i noći, godišnjih doba, godina.
Satne kazaljke u različitim vremenskim intervalima prođu kroz istu točku, što predstavlja periodično gibanje.
Kazaljke sata u različitim vremenskim intervalima prolaze kroz istu točku.
To predstavlja periodično gibanje.
Titranje je periodično gibanje na dijelu pravca, kružnice ili neke druge krivulje u kojem se čestica ili tijelo nakon jednakih vremenskih intervala (perioda) vrati u istu točku i stanje gibanja. Jedan takav ciklus zovemo titraj.
Titranje je periodično gibanje na dijelu pravca, kružnice ili neke druge krivulje u kojem se čestica ili tijelo nakon jednakih vremenskih intervala (perioda) vrati u istu točku i stanje gibanja.
Jedan takav ciklus zovemo titraj.
Tijelo na opruzi i njihalo titraju oko točke u kojoj imaju najmanju potencijalnu energiju. Tu točku nazivamo ravnotežni položaj.
U slučaju gibanja po kružnici, projekcija gibanja na proizvoljno odabrani pravac bit će titranje oko središnje točke koju možemo smatrati ¨ravnotežnim položajem¨.
Tijelo na opruzi i njihalo titraju oko točke u kojoj imaju najmanju potencijalnu energiju.
Tu točku nazivamo ravnotežni položaj.
U slučaju gibanja po kružnici, projekcija gibanja na proizvoljno odabrani pravac bit će titranje oko središnje točke.
Središnju točku možemo smatrati ¨ravnotežnim položajem¨.
Gibanje čestice ili tijela čija se udaljenost od ravnotežnog položaja tijekom vremena mijenja po sinusnom zakonu zovemo harmonijsko titranje.
Gibanje čestice ili tijela čija se udaljenost od ravnotežnog položaja tijekom vremena mijenja po sinusnom zakonu zovemo harmonijsko titranje.
Elongacija [latex]\bm x[/latex] je bilo koja udaljenost od ravnotežnog položaja. Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
Elongacija [latex]\bm x[/latex] je bilo koja udaljenost od ravnotežnog položaja.
Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
Amplituda [latex]\bm A[/latex] je najveća udaljenost od ravnotežnog položaja. Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
Amplituda [latex]\bm A[/latex] je najveća udaljenost od ravnotežnog položaja.
Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
Prije nego što krenemo objašnjavati harmonijsko titranje, prisjetimo se određenih fizičkih veličina koje smo naučili još u osnovnoj školi.
Prisjetimo se određenih fizičkih veličina koje smo naučili još u osnovnoj školi.
Frekvencija [latex]\bm f[/latex] je broj titraja [latex]\bm n[/latex] u jedinici vremena [latex]\bm t[/latex]. Mjerna jedinica je herc ([latex]\operatorname{Hz}[/latex]).
Frekvencija [latex]\bm f[/latex] je broj titraja [latex]\bm n[/latex] u jedinici vremena [latex]\bm t[/latex].
Mjerna jedinica je herc ([latex]\operatorname{Hz}[/latex]).
[latex]f=\frac{n}{t}[/latex]
Period [latex]\bm T[/latex] je vrijeme potrebno za jedan titraj. Mjerna jedinica je sekunda ([latex]\operatorname{s}[/latex]).
Period [latex]\bm T[/latex] je vrijeme potrebno za jedan titraj.
Mjerna jedinica je sekunda ([latex]\operatorname{s}[/latex]).
[latex]T=\frac{1}{f}=\frac{t}{n}[/latex]
zapravo je i gibanje po kružnici i titranje na opruzi jer se oba gibanja periodično ponavljaju i možemo ih prikazati sinusnom funkcijom.
Usporedbu ovih gibanja možete vidjeti na sljedećoj animaciji.
je zapravo i gibanje po kružnici i titranje na opruzi jer se oba gibanja periodično ponavljaju.
Usporedbu ovih gibanja možete vidjeti na sljedećoj animaciji.
Usporedba kružnog gibanja i tiranja
Promotrimo gibanje tijela po kružnici kako bismo mogli pojasniti jednostavno harmonijsko gibanje. Projekciju gibanja tijela po kružnici možemo promatrati na proizvoljno odabranom pravcu (osi). One su međusobno slične i mi smo odabrali vertikalnu os.
Promotrimo gibanje tijela po kružnici kako bismo mogli pojasniti jednostavno harmonijsko gibanje.
Tijelo se giba po kružnici. Položaj kada se tijelo nalazi u točki [latex]\mathrm{R}[/latex] označit ćemo kao ravnotežni ili početni položaj. Na vertikalnoj projekciji ovaj položaj je označen crvenom crtom i smatramo da je jednak nuli.
Promotrimo li situaciju u kojoj se tijelo na kružnici giba iz točke [latex]\mathrm{R}[/latex] u točku [latex]\mathrm{R'}[/latex], vidimo da sjena koju sada tijelo baca više nije u ravnotežnom položaju te vertikalna sjena više nije jednaka nuli.
Spojimo li središte kružnice [latex]0[/latex] s točkom [latex]\mathrm{R'}[/latex], vidimo da dužine [latex]\overline{\mathrm{0R}}[/latex] i [latex]\overline{\mathrm{0R'}}[/latex] zatvaraju kut koji možemo označiti s [latex]\theta[/latex]. Pretpostavimo da se tijelo giba stalnom kutnom brzinom.
Tijelo se giba po kružnici.
Položaj kada se tijelo nalazi u točki [latex]\mathrm{R}[/latex] označit ćemo kao ravnotežni ili početni položaj.
Na vertikalnoj projekciji ovaj položaj je označen crvenom crtom.
Smatramo da je jednak nuli.
Promotrimo situaciju u kojoj se tijelo na kružnici giba iz točke [latex]\mathrm{R}[/latex] u točku [latex]\mathrm{R'}[/latex].
Vidimo da sjena koju sada tijelo baca više nije u ravnotežnom položaju.
Vertikalna sjena više nije jednaka nuli.
Spojimo središte kružnice [latex]0[/latex] s točkom [latex]\mathrm{R'}[/latex].
Vidimo da dužine [latex]\overline{\mathrm{0R}}[/latex] i [latex]\overline{\mathrm{0R'}}[/latex] zatvaraju kut.
Kut možemo označiti s [latex]\theta[/latex].
Pretpostavimo da se tijelo giba stalnom kutnom brzinom.
Kutna brzina ili kružna frekvencija [latex]\bm{\omega}[/latex] predstavlja brzinu kojom spojnica središta kružnice i točke [latex]\mathrm R[/latex] prebrisuje kut [latex]\theta[/latex]. Mjerna jedinica je radijan u sekundi ([latex]\operatorname{rads^{-1}}[/latex]).
Kutna brzina ili kružna frekvencija [latex]\bm{\omega}[/latex] predstavlja brzinu kojom spojnica središta kružnice i točke [latex]\mathrm R[/latex] prebrisuje kut [latex]\theta[/latex].
Mjerna jedinica je radijan u sekundi ([latex]\operatorname{rads^{-1}}[/latex]).
Budući da za jedan period [latex]T[/latex] ova duljina napravi kut [latex]2\pi[/latex], kutna brzina definirana je omjerom [latex]2\pi[/latex] i [latex]T[/latex].
[latex]\omega =\frac{2\pi}{T}[/latex]
Kako je frekvencija [latex]f[/latex] jednaka recipročnoj vrijednosti perioda, postoji i veza između kružne i obične frekvencije:
[latex]\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f[/latex]
Promotrimo li na gornjoj simulaciji trokut [latex]\triangle0\mathrm{NR'}[/latex] vidimo da vrijedi:
[latex]x=A\sin \theta [/latex]
Budući da za jedan period [latex]T[/latex] ova duljina napravi kut [latex]2\pi[/latex], kutna brzina definirana je omjerom [latex]2\pi[/latex] i [latex]T[/latex].
[latex]\omega =\frac{2\pi}{T}[/latex]
Kako je frekvencija [latex]f[/latex] jednaka recipročnoj vrijednosti perioda, postoji i veza između kružne i obične frekvencije:
[latex]\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f[/latex]
Promotrimo li na gornjoj simulaciji trokut [latex]\triangle0\mathrm{NR'}[/latex] vidimo da vrijedi:
[latex]x=A\sin \theta [/latex]
Konstrukcija periodične funkcije
Prilikom konstrukcije periodične funkcije koja odgovara određenom harmonijskom titranju, vrijede sljedeće relacije:
[latex]A=r[/latex]
[latex]x=A \sin\theta[/latex]
[latex]\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\theta}{t}[/latex]
Prilikom konstrukcije periodične funkcije koja odgovara određenom harmonijskom titranju, vrijede sljedeće relacije:
[latex]A=r[/latex]
[latex]x=A \sin\theta[/latex]
[latex]\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\theta}{t}[/latex]
Jednadžba elongacije glasi:
[latex]x=A\sin \omega t[/latex]
Jednadžba nam pokazuje mijenjanje elongacije titranja s vremenom, odnosno početnom fazom. Prvo na apscisu unesemo prijeđeni (prebrisani) kut [latex]\theta[/latex] (što je jednako [latex]\omega t[/latex]) u radijanima, a na ordinatu unosimo elongaciju [latex]x[/latex] u metrima i označimo amplitudu [latex]A[/latex].
Na apscisi razdijelimo kut od [latex]2\pi[/latex] na osam dijelova i svakom dijelu pridružujemo vrijednost elongacije kao što je vidljivo na ilustraciji. Krivulja koju smo dobili zove se sinusoida.
Gornje relacije izvedene su za slučaj kada je u početnom trenutku sjena kuglice bila u ishodištu koordinatnog sustava. Za tu relaciju kažemo da je početna faza jednaka nuli. Ako je u početnom trenutku kuglica u položaju određenom nekim kutom [latex]\theta_0[/latex] (fazni kut), jednadžba elongacije ima oblik:
[latex]x=A\sin (\omega t+\theta_0)[/latex]
Početna faza ili fazni pomak [latex]{\theta\scriptsize 0}[/latex] je početni iznos kuta između tijela i ravnotežnog položaja.
Početna faza ili fazni pomak [latex]{\theta\scriptsize 0}[/latex] je početni iznos kuta između tijela i ravnotežnog položaja.
Za znatiželjne i one koji žele znati više
Poigrajmo se malo s matematikom i prisjetimo se što znamo o funkcijama sinus (znak [latex]\sin[/latex]) i kosinus (znak [latex]\cos[/latex]). To su trigonometrijske funkcije, tj. periodične funkcije kutne varijable. Pogledajmo na slici broj 5a brojevnu kružnicu (kružnica polumjera duljine 1 sa središtem u ishodištu Kartezijeva koordinatnoga sustava). Kut [latex]\theta[/latex] određen je položajem točke [latex]\mathrm A[/latex] na brojevnoj kružnici. Elementarna je definicija trigonometrijskih funkcija za vrijednost varijable [latex]\theta[/latex] iz intervala ([latex]0[/latex], [latex]\frac{\pi }{2}[/latex]) shvaćenog kao šiljati kut pravokutnog trokuta nasuprot kateti duljine [latex]a[/latex].
Zadržat ćemo se na funkcijama [latex]\sin[/latex] i [latex]\cos[/latex]. One su definirane:
[latex]\sin \theta=\frac{a}{c}[/latex]
[latex]\cos \theta=\frac{b}{c}[/latex]
Vrijednosti tih funkcija ovise samo o kutu, a ne o duljinama stranica trokuta (zbog sličnosti trokuta [latex]a:b:c=a':b':c'[/latex]) na brojevnoj kružnici [latex]c=1[/latex].
Pogledajmo sliku broj 5b.
Na apscisi je kut [latex]\theta[/latex], na ordinati vrijednosti funkcija [latex]\sin[/latex] i [latex]\cos[/latex] (označeno s [latex]f(\theta)[/latex]) očitane s brojevne kružnice. Vidi se da su sinus i kosinus funkcije periodične funkcije s periodom [latex]2\pi [/latex] i s međusobnom razlikom u fazi [latex]\frac{\pi}{2}[/latex].
[latex]\cos \theta =\sin (\theta -\frac{\pi }{2})[/latex]
[latex]\sin \theta =\cos (\theta +\frac{\pi }{2})[/latex]
Za tijelo koje se giba jednoliko po kružnici [latex]\theta=\omega t[/latex], a početna faza [latex]\theta_0[/latex] i njegovo gibanje možemo prikazati pomoću grafa:
[latex]x=A\sin (\omega t+\theta_0)=Acos\left(\omega t+\theta_0+\frac{\pi }{2}\right)[/latex]
Poigrajmo se malo s matematikom.
Prisjetimo se što znamo o funkcijama sinus (znak [latex]\sin[/latex]) i kosinus (znak [latex]\cos[/latex]).
To su trigonometrijske funkcije, tj. periodične funkcije kutne varijable.
Pogledajmo na slici broj 5a brojevnu kružnicu (kružnica polumjera duljine 1 sa središtem u ishodištu Kartezijeva koordinatnoga sustava).
Kut [latex]\theta[/latex] određen je položajem točke [latex]\mathrm A[/latex] na brojevnoj kružnici.
Elementarna je definicija trigonometrijskih funkcija za vrijednost varijable [latex]\theta[/latex] iz intervala ([latex]0[/latex], [latex]\frac{\pi }{2}[/latex]) shvaćenog kao šiljati kut pravokutnog trokuta nasuprot kateti duljine [latex]a[/latex].
Zadržat ćemo se na funkcijama [latex]\sin[/latex] i [latex]\cos[/latex]. One su definirane:
[latex]\sin \theta=\frac{a}{c}[/latex]
[latex]\cos \theta=\frac{b}{c}[/latex]
Vrijednosti tih funkcija ovise samo o kutu.
Ne ovise o duljinama stranica trokuta (zbog sličnosti trokuta [latex]a:b:c=a':b':c'[/latex]) na brojevnoj kružnici [latex]c=1[/latex].
Pogledajmo sliku broj 5b.
Na apscisi je kut [latex]\theta[/latex], na ordinati vrijednosti funkcija [latex]\sin[/latex] i [latex]\cos[/latex] (označeno s [latex]f(\theta)[/latex]) očitane s brojevne kružnice.
Vidi se da su sinus i kosinus funkcije periodične funkcije s periodom [latex]2\pi [/latex] i s međusobnom razlikom u fazi [latex]\frac{\pi}{2}[/latex].
[latex]\cos \theta =\sin (\theta -\frac{\pi }{2})[/latex]
[latex]\sin \theta =\cos (\theta +\frac{\pi }{2})[/latex]
Za tijelo koje se giba jednoliko po kružnici [latex]\theta=\omega t[/latex], a početna faza [latex]\theta_0[/latex] i njegovo gibanje možemo prikazati pomoću grafa:
[latex]x=A\sin (\omega t+\theta_0)=Acos\left(\omega t+\theta_0+\frac{\pi }{2}\right)[/latex]
Grafički prikaz titranja s početnom fazom
Na donjoj interaktivnoj animaciji vidljivo je da periodično gibanje po kružnici možemo prikazati kao graf periodičke funkcije, u ovom slučaju sinusoide.
Na donjoj interaktivnoj animaciji vidljivo je da periodično gibanje po kružnici možemo prikazati kao graf periodičke funkcije.
U ovom slučaju kao graf sinusoide.
Riješite sljedeće zadatke. Koristeći interaktivnu simulaciju provjerite rješenja i grafički prikaz titranja. Kao što je vidljivo u simulaciji početna faza je nula te se tijelo giba u pozitivnom smjeru osi [latex]x[/latex].
Zadatak 1.
Napišite izraz za elongaciju tijela koje titra amplitudom [latex]20\operatorname{cm}[/latex] i frekvencijom [latex]2\operatorname{Hz}[/latex].
Prikažite grafički titranje.
Zadatak 2.
Napišite izraz za elongaciju tijela koje titra amplitudom [latex]40\operatorname{cm}[/latex] i periodom [latex]0,8\operatorname{s}[/latex].
Prikažite titranje grafički.
Riješite sljedeće zadatke.
Koristite interaktivnu simulaciju.
Provjerite rješenja i grafički prikaz titranja.
Kao što je vidljivo u simulaciji početna faza je nula.
Tijelo giba u pozitivnom smjeru osi [latex]x[/latex].
Zadatak 1.
Napišite izraz za elongaciju tijela koje titra amplitudom [latex]20\operatorname{cm}[/latex] i frekvencijom [latex]2\operatorname{Hz}[/latex].
Prikažite grafički titranje.
Zadatak 2.
Napišite izraz za elongaciju tijela koje titra amplitudom [latex]40\operatorname{cm}[/latex] i periodom [latex]0,8\operatorname{s}[/latex].
Prikažite titranje grafički.
Mijenja li promjena amplitude frekvenciju titranja?
Opišite što dva grafička prikaza titranja koja ste nacrtali imaju slično, a što različito?
Međutim, uvijek može doći do pomaka u fazi, tj. da početna faza bude različita od nule. Sukladno tome, izraz za elongaciju glasi:
[latex]x=A\sin (\frac{2\pi t}{T}+\theta _0)[/latex]
Mijenja li promjena amplitude frekvencije titranja?
Opišite što dva grafička prikaza titranja koja ste nacrtali imaju slično, a što različito?
Uvijek može doći do pomaka u fazi, tj. da početna faza bude različita od nule.
Sukladno tome, izraz za elongaciju glasi:
[latex]x=A\sin (\frac{2\pi t}{T}+\theta _0)[/latex]
Početna faza može biti pozitivna ili negativna.
Ukoliko je početna faza pozitivna kao na primjeru donje ilustracije lijevo (plava sinusoida):
[latex]\theta _0=\frac{\pi }{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t+\frac{\pi }{2})=A\cos \omega t[/latex]
Ukoliko je početna faza negativna kao na primjeru donje ilustracije desno (crvena sinusoida):
[latex]\theta _0=-\frac{\pi }{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t–\frac{\pi }{2})=–A\cos \omega t[/latex]
Početna faza može biti pozitivna (+) ili negativna (-).
Ukoliko je početna faza pozitivna (+) kao na primjeru donje ilustracije lijevo (plava sinusoida):
[latex]\theta _0=\frac{\pi }{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t+\frac{\pi }{2})=A\cos \omega t[/latex]
Ukoliko je početna faza negativna (-) kao na primjeru donje ilustracije desno (crvena sinusoida):
[latex]\theta _0=-\frac{\pi }{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t–\frac{\pi }{2})=–A\cos \omega t[/latex]
Izračunajte
Zadatak 1.
Napišite jednadžbe titranja prema grafičkim prikazima.
Napišite jednadžbe titranja prema grafičkim prikazima.
[latex]x=A\sin (\omega t-\frac{\pi }{2})[/latex]
[latex]x=-A\cos \omega t[/latex]
[latex]x=A\sin (\omega t -\pi )[/latex]
[latex]x=-A\cos (\omega t -\frac{\pi }{2})[/latex]
[latex]x=A\sin (\omega t+\frac{\pi }{2})[/latex]
[latex]x=A\cos \omega t[/latex]
Zadatak 2.
Zadatak 3.
Brzina i akceleracija gibanja tijela po kružnici
Prisjetimo se što ste naučili u prvom razredu o jednolikom gibanju po kružnici.
Brzina tijela koje se giba jednoliko po kružnici (obodna brzina ) iznosi
[latex]v=\omega r[/latex]
gdje je [latex]r[/latex] polumjer kružnice, a [latex]\omega[/latex] kutna brzina.
Prisjetimo se što ste naučili u prvom razredu o jednolikom gibanju po kružnici.
Brzina tijela koje se giba jednoliko po kružnici (obodna brzina ) iznosi
[latex]v=\omega r[/latex]
gdje je [latex]r[/latex] polumjer kružnice, a [latex]\omega[/latex] kutna brzina.
Akceleracija tijela koje se giba jednoliko po kružnici (centripetalna akceleracija) je
[latex]a=\frac{v^2}{r}=r\omega ^2[/latex]
Povežimo sada to s prikazom kružnog gibanja kao harmonijskog titranja.
Brzina tijela koje se giba po kružnici je vektor tangencijalan na kružnicu, tj. okomit je na radijus kružnice te njegov iznos označimo s [latex]v_0[/latex]. U svakoj točki vektor brzine možemo rastaviti na komponentu paralelnu pravcu na kojem promatramo projekciju gibanja (iznos označimo slovom [latex]v[/latex]) i komponentu okomitu na taj pravac.
Povežimo sada to s prikazom kružnog gibanja kao harmonijskog titranja.
Brzina tijela koje se giba po kružnici je vektor tangencijalan na kružnicu.
Tj. okomit je na radijus kružnice.
Njegov iznos označimo s [latex]v_0[/latex].
U svakoj točki vektor brzine možemo rastaviti na:
- komponentu paralelnu pravcu na kojem promatramo projekciju gibanja (iznos označimo slovom [latex]v[/latex])
- komponentu okomitu na taj pravac.
Na crtežu vidimo da je komponenta paralelna osi projekcije ([latex]v[/latex]) jednaka
[latex]v=v_0cos\omega t[/latex]
Usporedimo s izrazom za obodnu brzinu jednolikog kružnog gibanja
[latex]v=r\omega =A\omega [/latex]
Proizlazi:
[latex]v=A\omega cos\omega t[/latex]
Na crtežu vidimo da je komponenta paralelna osi projekcije ([latex]v[/latex]) jednaka
[latex]v=v_0cos\omega t[/latex]
Usporedimo s izrazom za obodnu brzinu jednolikog kružnog gibanja
[latex]v=r\omega =A\omega [/latex]
Proizlazi:
[latex]v=A\omega cos\omega t[/latex]
Na crtežu vidimo da je komponenta akceleracije paralelna osi projekcije (označena plavom bojom)
[latex]a=-a_0\sin \omega t[/latex]
Usporedimo s izrazom za centripetalnu akceleraciju
[latex]a=r\omega ^2=A\omega ^{^2}[/latex]
Proizlazi:
[latex]a=-A\omega ^2\sin \omega t[/latex]
Na crtežu vidimo da je komponenta akceleracije paralelna osi projekcije (označena plavom bojom)
[latex]a=-a_0\sin \omega t[/latex]
Usporedimo s izrazom za centripetalnu akceleraciju
[latex]a=r\omega ^2=A\omega ^{^2}[/latex]
Proizlazi:
[latex]a=-A\omega ^2\sin \omega t[/latex]
Izračunajte
Ilustracija harmonijskog titranja
Harmonijsko titranje pronalazimo u glazbenim instrumentima. Titraju žice glazbala, glazbene viljuške pa i ljudski glas.
Zanimljiv vizualni prikaz titranja zovemo Chladnijevim figurama. One nastaju na metalnoj ploči koju smo posuli pijeskom.
Kada povučemo gudalom pored ploče, ploča će zatitrati, a pijesak će se sakupljati na onim mjestima koja ne titraju. Tako nastaju pravilne figure koje mogu biti različitog oblika, prema tome na kojem mjestu povučemo gudalom ili gdje stavimo prst.
Ilustracija harmonijskog titranja
Harmonijsko titranje pronalazimo u glazbenim instrumentima.
Titraju:
- žice glazbala
- glazbene viljuške
- ljudski glas
Zanimljiv vizualni prikaz titranja zovemo Chladnijeve figure.
One nastaju na metalnoj ploči.
Metalnu ploču smo posuli pijeskom.
Kada povučemo gudalom pored ploče, ploča će zatitrati.
Pijesak će se sakupljati na onim mjestima koja ne titraju.
Tako nastaju pravilne figure.
One mogu biti različitog oblika.
To o mjestu na kojem povučemo gudalom ili stavimo prst.
Sažetak
Gibanje čestice ili tijela čija se udaljenost od ravnotežnog položaja tijekom vremena mijenja po sinusnom zakonu zovemo harmonijsko titranje.
Frekvencija [latex]\bm f[/latex] je broj titraja u jedinici vremena [latex]\bm t[/latex]. Mjerna jedinica je herc ([latex]\operatorname{Hz}[/latex]).
Amplituda [latex]\bm A[/latex] je najveća udaljenost od ravnotežnog položaja. Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
Kutna brzina ili kružna frekvencija [latex]\bm{\omega}[/latex] je opisani kut u jedinici vremena. Mjerna jedinica je radijan u sekundi ([latex]\operatorname{rads^{-1}}[/latex]).
[latex]\omega =2\pi f, \ \omega =\frac{2\pi }{T}[/latex]
Elongacija [latex]\bm x[/latex] je udaljenost od ravnotežnog položaja. Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
[latex]x=A\sin(\omega t)[/latex]
Početna faza je iznos kuta između početog položaja tijela i ravnotežnog položaja.
U slučaju kada je početna faza različita od nule, izraz za elongaciju pišemo:
[latex]x=A\sin\left(\omega t+\theta _0\right)[/latex]
Početna faza može biti pozitivna ili negativna.
Ukoliko je početna faza pozitivna kao na primjeru donje ilustracije lijevo (plava sinusoida):
[latex]\theta _0=\frac{\pi}{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t+\frac{\pi }{2})=A\cos \omega t[/latex]
Ukoliko je početna faza negativna kao na primjeru donje ilustracije desno (crvena sinusoida):
[latex]\theta _0=-\frac{\pi }{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t-\frac{\pi }{2})=-A\cos \omega t[/latex]
Gibanje čestice ili tijela čija se udaljenost od ravnotežnog položaja tijekom vremena mijenja po sinusnom zakonu zovemo harmonijsko titranje.
Frekvencija [latex]\bm f[/latex] je broj titraja u jedinici vremena [latex]\bm t[/latex].
Mjerna jedinica je herc ([latex]\operatorname{Hz}[/latex]).
Amplituda [latex]\bm A[/latex] je najveća udaljenost od ravnotežnog položaja.
Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
Kutna brzina ili kružna frekvencija [latex]\bm{\omega}[/latex] je opisani kut u jedinici vremena.
Mjerna jedinica je radijan u sekundi ([latex]\operatorname{rads^{-1}}[/latex]).
[latex]\omega =2\pi f, \ \omega =\frac{2\pi }{T}[/latex]
Elongacija [latex]\bm x[/latex] je udaljenost od ravnotežnog položaja.
Mjerna jedinica je metar ([latex]\operatorname{m}[/latex]).
[latex]x=A\sin(\omega t)[/latex]
Početna faza je iznos kuta između početnog i ravnotežnog položaja tijela.
Kada je početna faza različita od nule, izraz za elongaciju pišemo:
[latex]x=A\sin\left(\omega t+\theta _0\right)[/latex]
Početna faza može biti pozitivna (+) ili negativna (-).
Ukoliko je početna faza pozitivna (+) kao na primjeru donje ilustracije lijevo (plava sinusoida):
[latex]\theta _0=\frac{\pi}{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t+\frac{\pi }{2})=A\cos \omega t[/latex]
Ukoliko je početna faza negativna (-) kao na primjeru donje ilustracije desno (crvena sinusoida):
[latex]\theta _0=-\frac{\pi }{2}[/latex]
Graf funkcije je:
[latex]x=A\sin (\omega t-\frac{\pi }{2})=-A\cos \omega t[/latex]