Matematika 6 - 1.3 Množenje i dijeljenje cijelih brojeva

Na početku...

Uzastopno zbrajanje broja minus 2, tri puta. — Uzastopno zbrajanje negativnih brojeva

Osmisli računsku priču kojom možeš opisati dani brojevni izraz.

Možeš li zadani račun zapisati na drugačiji način?

Priča prva: Filip je posudio po $2$ kune od trojice svojih prijatelja. Koliko kuna Filip duguje?

Priča druga: Danas je termometar pokazao $0 ° C,$ a prognoza je da će tri dana uzastopce temperatura padati po dva stupnja. Koliku temperaturu zraka možemo očekivati trećega dana?

Priča treća: Ribica uči roniti. Prvoga je dana zaronila dva metra, drugoga dana dvostruko, a trećega trostruko više nego prvog dana. Koliko je metara ribica zaronila trećega dana?

Množenje cijelih brojeva različitih predznaka

Uvodni primjer podsjetio te da je množenje kraći zapis zbrajanja jednakih pribrojnika. Kako množimo cijele brojeve negativnih predznaka, sigurno možeš već naslutiti. Provjeri svoje pretpostavke rješavajući sljedeći primjer i zadatke.

Primjer 1.

Temperatura zraka tijekom $4$ dana padala je po tri stupnja Celzijeva dnevno.

a. Zapiši brojevni izraz koji opisuje danu situaciju pa izračunaj vrijednost izraza.

b. Za koliko se stupnjeva snizila temperatura tijekom ta četiri dana?

a. $- 3 + (- 3) + (- 3) + (- 3) = 4 \cdot (- 3) = - 12$

b. Temperatura se snizila za $12$ stupnjeva Celzijevih.

Umnožak dvaju cijelih brojeva različitih predznaka negativan je broj.

Kolekcija zadataka #1

Množenje negativnih brojeva

Pažljivo pročitaj rečenice s dvostrukim negacijama i spoji odgovarajuće tvrdnje.

Možeš li naslutiti vezu dvostrukih negacija s množenjem cijelih brojeva?

Ne volim nemati sav školski pribor.	Iskrena sam.
Ne tražim nešto neizvedivo.	Želim ići na izlet.
Ne želim ne ići na izlet.	Volim imati sav školski pribor.
Nisam neiskrena.	Tražim nešto izvedivo.

null

Pravilo množenja dvaju negativnih brojeva otkrit ćeš uz pomoć modela crvenih i plavih kuglica. Za razumijevanje ovog modela važno je znati da se jedna crvena i jedna plava kuglica poništavaju tj. čine par suprotnih brojeva.

Dakle, jednak broj crvenih i plavih kuglica uvijek predstavlja broj nula.

Umnožak dvaju negativnih cijelih brojeva pozitivan je broj.

Kolekcija zadataka #2

a. Izračunaj.

- 8 \cdot (- 5) =

Umnožak dvaju negativnih brojeva pozitivan je broj.

null

- 10 \cdot (- 12) =

null

(- 6) \cdot (- 11) =

null

(- 5) \cdot 0 =

null

Poredaj od najveće prema najmanjoj vrijednosti.

$- 3 \cdot (- 5)$
$- 4 \cdot (- 7)$
$- 6 \cdot (- 4)$
$- 13 \cdot (- 2)$

null

Pravilo množenja cijelih brojeva (mnemotehnika) — Tablica prijateljstva

Zanimljivost

Mnemotehnika je vještina koja omogućuje da se, povezivanjem slika, riječi, brojeva ili slova, neka informacija lakše zapamti.

Ova se "tablica prijateljstva", uz pretpostavku da je $N$ oznaka za negativni broj (neprijatelj), a $P$ oznaka za pozitivni broj (prijatelj), može zapamtiti na sljedeći način.

Prijatelj mog prijatelja meni je prijatelj.

Prijatelj mog neprijatelja meni je neprijatelj.

Neprijatelj mog prijatelja meni je neprijatelj.

Neprijatelj mog neprijatelja meni je prijatelj.

Upamti!

Umnožak cijelih brojeva

Umnožak dvaju cijelih brojeva jednakih predznaka pozitivan je broj.

Umnožak dvaju cijelih brojeva različitih predznaka negativan je broj.

Dijeljenje cijelih brojeva

Primjenjujući vezu množenja i dijeljenja, riješi sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #4

- 20 : 5 =

jer

\cdot 5 = - 20

Pomoć:

Umnožak negativnog i pozitivnog broja je negativan broj.

null

Količnik negativnog i pozitivnog cijelog broja

broj.

null

- 35 : (- 7) =

jer

\cdot (- 7) = - 35

Pomoć:

Umnožak pozitivnog i negativnog broja je negativan broj.

null

Količnik dvaju negativnih cijelih brojeva

broj.

null

64 : (- 8) =

jer

\cdot (- 8) = 64

Pomoć:

Umnožak dvaju negativnih brojeva je pozitivan broj.

null

Količnik pozitivnog i negativnog cijelog broja

broj.

null

Količnik cijelih brojeva

Količnik dvaju cijelih brojeva različitih predznaka negativan je broj.

Količnik dvaju cijelih brojeva jednakih predznaka pozitivan je broj.

Zadatke, koji slijede, možda nećeš uspjeti riješiti napamet pa pripremi olovku i papir.

Kolekcija zadataka #5

Izračunaj vrijednost zadanih izraza ako je $a = 5,$ $b = - 10$ i $c = - 2$ pa zadanom izrazu pridruži odgovarajuće rješenje.

$- a \cdot b \cdot c$	$0$
$b : c - a$	$- 100$
$- c - b : a$	$4$
$a \cdot b + c$	$- 52$

null

Postupak:

$a \cdot b + c = 5 \cdot (- 10) + (- 2) = - 50 - 2 = - 52$

$- a \cdot b \cdot c = - 5 \cdot (- 10) \cdot (- 2) = - 100$

$b : c - a = - 10 : (- 2) - 5 = 5 - 5 = 0$

$- c - b : a = - (- 2) - (- 10) : 5 = 2 - (- 2) = 4$

Koliko ima cijelih brojeva s kojima je djeljiv broj $6 ?$

Četiri

Šest

Osam

Pomoć:

Ne zaboravi prebrojiti i negativne brojeve s kojima je zadani broj djeljiv.

Postupak:

Traženi brojevi su: $1,$ $- 1,$ $2,$ $- 2,$ $3,$ $- 3,$ $6$ i $- 6 .$

Izračunaj umnoške i izvedi zaključak o vezi broja negativnih faktora i predznaka umnoška.
a.

- 2 \cdot (- 5) \cdot 4 =

null

- 4 \cdot (- 5) \cdot (- 2) \cdot (- 1) =

null

Izračunaj umnoške i izvedi zaključak o vezi broja negativnih faktora i predznaka umnoška.
a.

- 2 \cdot (- 4) \cdot 5 \cdot (- 1) =

null

- 2 \cdot (- 5) \cdot (- 1) \cdot (- 4) \cdot (- 1) =

Množenje je i komutativno i asocijativno pa možeš združivati faktore na različite načine.

null

Dopuni rečenice povlačenjem riječi na odgovarajuće mjesto i provjeri svoje zaključke.
Pravilo o predznaku rezultata glasi:

Množi li se paran broj

faktora, umnožak će biti

broj.
Množi li se

broj negativnih faktora, umnožak će biti

broj.

negativnih

pozitivan

neparan

negativan

null

Zanimljivost

Pomoću zapisa na slici, netko će možda lakše zapamtiti da paran broj negativnih faktora daje pozitivan rezultat, a neparan broj negativnih faktora daje negativan rezultat.

Istražimo

Istraži vrijedi li pravilo o predznaku rezultata i za količnik cijelih brojeva.

1.3 Množenje i dijeljenje cijelih brojeva

Na početku...

Množenje cijelih brojeva različitih predznaka

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Množenje negativnih brojeva

Kolekcija zadataka #2

Zanimljivost

Umnožak cijelih brojeva

Kvadrat cijelog broja

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #3

Dijeljenje cijelih brojeva

Kolekcija zadataka #4

Količnik cijelih brojeva

Kolekcija zadataka #5

Zanimljivost

Istražimo

...i na kraju