Na početku
Dualnost val-čestica u kvantnoj fizici potaknula je rasprave o granicama naše mogućnosti preciznog mjerenja svojstava u mikrosvijetu. Raspravlja se o tome na koji način mjerenje utječe na samu veličinu koju mjerimo. Znamo, na primjer, ako stavimo hladan termometar u šalicu vruće kave, temperatura kave se mijenja jer ona predaje toplinu termometru. Mjerni uređaj tako utječe na veličinu koja se mjeri. Ali mi možemo ispraviti ovakve pogreške u mjerenju, ako znamo početnu temperaturu termometra te toplinske kapacitete tijela i mjernog instrumenta. Takve korekcije spadaju u domenu klasične fizike i to nisu neodređenosti kvantne fizike. Kvantna neodređenost proizlazi iz valne prirode materije. Val po svojoj prirodi zauzima neki prostor i traje neko vrijeme. Ne može se pritisnuti na točku u prostoru ili ograničiti na samo jedan trenutak vremena, jer tada to ne bi bio val. Ova svojstvena "nejasnoća" vala daje "maglovitost" mjerenju na kvantnoj razini.
Dualnost val-čestica u kvantnoj fizici potaknula je rasprave o granicama naše mogućnosti preciznog mjerenja svojstava u mikrosvijetu.
Raspravlja se o tome na koji način mjerenje nečeg utječe na samu veličinu koja se mjeri.
Na primjer:
ako stavimo hladan termometar u šalicu vruće kave, temperatura kave se mijenja jer ona predaje toplinu termometru.
Mjerni uređaj tako utječe na veličinu koja se mjeri.
Ali mi možemo ispraviti ovakve pogreške u mjerenju ako znamo:
početnu temperaturu termometra
toplinske kapacitete tijela i mjernog instrumenta.
Takve korekcije spadaju u domenu klasične fizike. To nisu neodređenosti kvantne fizike.
Kvantna nesigurnost proizlazi iz valne prirode materije.
Val po svojoj prirodi zauzima neki prostor i traje neko vrijeme.
Ne može se pritisnuti na točku u prostoru ili ograničiti na samo jedan trenutak vremena. Tada to ne bi bio val.
Ova svojstvena "nejasnoća" vala daje "maglovitost" mjerenju na kvantnoj razini.
Neodređenost pri mjerenju u mikrosvijetu, koju je matematički prvi opisao njemački fizičar Werner Heisenberg, naziva se . To je osnovno načelo u kvantnoj mehanici. Heisenberg je utvrdio: kada se neodređenost u mjerenju količine gibanja čestice i neodređenost u mjerenju položaja iste čestice pomnože, njihov produkt mora biti jednak ili veći od Planckove konstante, [latex]\mathrm h[/latex], podijeljene sa [latex]4\pi[/latex]. Načelo neodređenosti zapisujemo formulom:
[latex]\Delta p \Delta x \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi }[/latex]
[latex]\Delta p[/latex] označava neodređenost količine gibanja, a [latex]\Delta x[/latex] je neodređenost položaja čestice.
Nesigurnost pri mjerenju u mikrosvijetu matematički je prvi opisao njemački fizičar Werner Heisenberg.
Naziva se .
To je osnovno načelo u kvantnoj mehanici.
Heisenberg je utvrdio:
kada se neodređenost u mjerenju količine gibanja čestice i nesigurnost u mjerenju položaja iste čestice pomnože (·), njihov produkt mora biti jednak (=) ili veći (>) od Planckove konstante, [latex]\bf h[/latex], podijeljenoj (:) sa [latex]\bm{4\pi}[/latex].
Načelo nesigurnosti zapisujemo formulom:
[latex]\Delta p \Delta x \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi }[/latex]
Ovdje [latex]\bf \Delta[/latex] označava neodređenost.
[latex]\bf{\Delta}\bm p[/latex] je neodređenost količine gibanja.
[latex]\bf{\Delta}\bm x[/latex] je neodređenost položaja čestice.
Značaj načela neodređenosti je da, čak i u najboljim uvjetima, postoji donja granica neodređenosti pri mjerenju. To znači, ako želimo znati količinu gibanja elektrona s velikom točnošću, odgovarajuća neodređenost u određivanju položaju bit će velika. Ili obratno, što smo točnije izmjerili položaj čestice, odgovarajuća neodređenost u mjerenju količine gibanja je veća.
Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost pri određivanju energije i vremenskog intervala:
[latex]\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi}[/latex]
Ona nam govori da što smo točnije odredili energetsko stanje u kojem je neka čestica, neodređenost pri određivanju vremenskog intervala u kojem se čestica nalazi u danom energetskom stanju je veća.
Značaj načela neodređenosti je, da čak i u najboljim uvjetima, postoji donja granica neodređenosti pri mjerenju.
To znači, ako želimo znati količinu gibanja elektrona s velikom točnošću, odgovarajuća neodređenost u određivanju položaju će biti velika.
Ili obratno, što smo točnije izmjerili položaj čestice, odgovarajuća neodređenost u mjerenju količine gibanja je veća (>).
Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost energije i neodređenost mjerenja vremenskog intervala:
[latex]\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm{h}}{4\pi}[/latex]
Ona nam govori:
što smo točnije odredili energetsko stanje u kojem je neka čestica, neodređenost pri određivanju vremenskog intervala u kojem se čestica nalazi u danom energetskom stanju je veća (>).
Izračunajmo:
Zadatak:
Pretpostavimo da je položaj nekog predmeta poznat toliko precizno da neodređenost u mjerenju položaja iznosi x = 1,5 · 10-11 m.
a) Odredite minimalnu neodređenost u količini gibanja objekta.
b) Pronađite odgovarajuću minimalnu neodređenost u brzini objekta u slučaju kada je objekt elektron (mase 9,1 · 10 -31 kg).
c) Pronađite odgovarajuću minimalnu neodređenost u brzini objekta u slučaju kada je objekt loptica za stolni tenis (mase 2,2 · 10 -3 kg).
Rješenje:
Minimalna neodređenost [latex]\Delta x[/latex] u [latex]x[/latex] komponenti može se izračunati koristeći formulu koja iskazuje Heisenbergovo načelo neodređenosti. Pri tome će svako tijelo imati jednaku neodređenost količine gibanja jer im je neodređenost pri određivanju položaja jednaka.
Međutim, ti predmeti imaju vrlo različite mase. Kao rezultat toga, neodređenost u brzini tih predmeta vrlo je različita.
a)
[latex]\Delta p \Delta x\geq \dfrac{h}{4\pi }=\dfrac{6.626\cdot{10}^{-34}\operatorname{Js}}{4\pi (1,5\cdot{10}^{-11}\operatorname{m})}=3,5\cdot{10}^{-24}\operatorname{kgms^{-1}}[/latex]
b)
[latex]\Delta v=\Delta \dfrac{p}{m}=\dfrac{3,5\cdot{10}^{-24}\operatorname{kgms^{-1}}}{9,1\cdot {10}^{-31}\operatorname{kg}}=3,8\cdot {10}^6\operatorname{ms^{-1}}[/latex]
c)
Analogno kao pod b), ali uvrštavamo masu loptice te dobijemo iznos neodređenosti pri određivanju brzine [latex]1,6\cdot 10^{-21}\operatorname{ms^{-1}}[/latex]
Razgovarajte u razredu o dobivenom rezultatu.
Vrijedi li za velike objekte, poput loptice za stolni tenis, načelo neodređenosti? Zbog čega ga ne uočavamo?
Pogledajte simulaciju posljedice relacija neodređenosti na primjeru ogiba fotona ili elektrona na pukotini. Mijenjajte širinu pukotine.
Kako se mijenja ogibna slika? Što možete zaključiti o neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja u ovom primjeru?
Pogledajte simulaciju posljedice relacija neodređenosti na primjeru ogiba fotona ili elektrona na pukotini.
Mijenjajte širinu pukotine.
Kako se mijenja ogibna slika?
Što možete zaključiti o neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja u ovom primjeru?
Za znatiželjne i one koji žele znati više
Procijenimo umnožak neodređenosti količine gibanja i neodređenosti položaja za slučaj ogiba elektrona na pukotini. Većina elektrona nalazi se unutar dva ogibna maksimuma, odnosno u području određenom kutevima [latex]-\alpha[/latex] i [latex]\alpha[/latex]:
Procijenimo umnožak (·) neodređenosti količine gibanja i neodređenosti položaja za slučaj ogiba elektrona na pukotini.
Većina elektrona nalazi se unutar dva ogibna maksimuma.
Odnosno, nalazi se u području određenom kutevima [latex]\bm{-\alpha}[/latex] i [latex]\bm{\alpha}[/latex]:
Procijenimo neodređenost količine gibanja [latex]\Delta p_x[/latex] u ovom području.
Procijenimo neodređenost količine gibanja [latex]\bf{\Delta}\bm{p_x}[/latex] u ovom području.
Iz slike slijedi da je:
[latex]\Delta p_x = p \sin \alpha[/latex]
Iz valne optike je poznato da pri ogibu na pukotini širine [latex]\Delta x[/latex], za prvi ogibni minimum vrijedi:
[latex]\sin \alpha = \dfrac{\lambda}{\Delta x}[/latex]
Uvrstimo izraz za de Broglievu valnu duljinu elektrona
[latex]\lambda = \dfrac{\mathrm h}{p}[/latex]
u prethodni izraz
[latex]\sin \alpha = \dfrac{\mathrm h}{\Delta x p}[/latex]
Daljnjim uvrštavanjem ovog izraza u izraz kojim smo izrazili neodređenost količine gibanja dobije se:
[latex]\Delta x \Delta p_x=\mathrm h[/latex]
Radi se o procjeni na osnovu koje možemo zaključiti da umnožak neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja ne može biti proizvoljno malen.
Iz slike slijedi da je:
[latex]\Delta p_x = p \sin \alpha[/latex]
Iz valne optike znamo da pri ogibu na pukotini širine [latex]\bf{\Delta}\bm x[/latex], za prvi ogibni minimum vrijedi:
[latex]\sin \alpha = \dfrac{\lambda}{\Delta x}[/latex]
Uvrstimo izraz za de Broglievu valnu duljinu elektrona
[latex]\lambda = \dfrac{\mathrm h}{p}[/latex]
u prethodni izraz
[latex]\sin \alpha = \dfrac{\mathrm h}{\Delta x p}[/latex]
Daljnjim uvrštavanjem ovog izraza u izraz kojim smo izrazili neodređenost količine gibanja dobije se:
[latex]\Delta x \Delta p_x=\mathrm h[/latex]
Na osnovi te procjene možemo zaključiti da:
umnožak neodređenosti položaja i neodređenosti količine gibanja ne može biti proizvoljno malen.
Neodređenost u mikro i makro svijetu
Načelo neodređenosti relevantno je samo za kvantne pojave. Neodređenost u mjerenju položaja i količine gibanja lopte zbog interakcija objekta i opažača potpuno su zanemarive. Ali neodređenost u mjerenju položaja i količine gibanja elektrona daleko su od zanemarivih jer je u tom slučaju neodređenost pri mjerenju usporediva s veličinama koje mjerimo.
Učinimo sada misaoni pokus.
Zamislimo mjerenje brzine bačene teniske loptice. Možemo mjeriti brzinu bačene loptice tako što ćemo pustiti da proleti pored dvije foto-ćelije međusobno razmaknute na poznatoj udaljenosti.
Načelo neodređenosti relevantno je samo za kvantne pojave.
Netočnosti u mjerenju položaja i količine gibanja lopte zbog interakcija objekta i opažača potpuno su zanemarive.
Ali netočnosti u mjerenju položaja i količine gibanja elektrona nisu zanemarive.
U tom slučaju neodređenost pri mjerenju usporediva je s veličinama koje mjerimo.
Učinimo sada misaoni pokus.
Zamislimo mjerenje brzine bačene teniske loptice.
Možemo mjeriti brzinu bačene loptice tako što ćemo pustiti da proleti pored dvije foto-ćelije.
One su međusobno razmaknute na poznatoj udaljenosti.
Dok loptica prolijeće, prekida zrake svjetlosti koje u tom trenutku ne dolaze do postavljenih detektora. Točnost izmjerene brzine lopte povezana je s točnošću u izmjerenom razmaku detektora i u mjerenju vremena. Interakcije između makroskopske kugle s fotonima koji ju pogađaju je potpuno zanemariva.
Ali nije tako u slučaju mjerenja submikroskopske tvari poput elektrona. I jedan jedini foton koji pogodi elektron vidljivo mijenja gibanje elektrona - i to na nepredvidiv način.
Ako želimo promatrati elektron i pomoću svjetla utvrditi njegov položaj, valna duljina svjetlosti morala bi biti vrlo kratka. Naime, kao što smo vidjeli u prvom modulu, da bismo mogli razlučiti točke u prostoru, njihova udaljenost ne bi trebala biti manja od valne duljine svjetlosnog vala kojim ih promatramo. No, što je manja valna duljina svjetlosti, a veća energija fotona koji pogađa elektron, doći će do veće promjene u količini gibanja elektrona.
S druge strane, valna duljina vidljive svjetlosti zanemariva je u odnosu na dimenzije loptice, isto kao i energija koju njeni fotoni predaju loptici. Pri određivanju položaja i brzine loptice, neodređenost ima zanemariv učinak.
Dok loptica prolijeće prekida zrake svjetlosti. Zrake u tome trenutku ne dolaze do postavljenih detektora.
Točnost izmjerene brzine loptice povezana je s točnošću u izmjerenom razmaku detektora i u mjerenju vremena.
Interakcije između makroskopske kugle s fotonima koji ju pogađaju je potpuno zanemariva.
Sažetak
Nije moguće istovremeno odrediti položaj [latex]x[/latex] i količinu gibanja [latex]p[/latex] neke čestice. Ako je neodređenost u mjerenju položaja [latex]\Delta x[/latex], količinu gibanja moguće je odrediti jedino s neodređenosti [latex]\Delta p[/latex], pri čemu [latex]\Delta x \cdot \Delta p[/latex] ne može biti manje od [latex]\frac{\mathrm h}{4\pi}[/latex].
[latex]\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi}[/latex]
Nije moguće istovremeno odrediti položaj [latex]\bm x[/latex] i količinu gibanja [latex]\bm p[/latex] neke čestice.
Ako je neodređenost u mjerenju položaja [latex]\bf{\Delta}\bm x[/latex], količinu gibanja moguće je odrediti jedino s neodređenosti [latex]\bf{\Delta}\bm p[/latex].
Pri čemu [latex]\bf{\Delta}\bm x \cdot \bf{\Delta}\bm p[/latex] ne može biti manje (<) od [latex]\frac{\bf h}{\bm{4\pi}}[/latex].
[latex]\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi}[/latex]
Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost energije i neodređenost mjerenja vremenskog intervala:
[latex]\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi }[/latex]
Slična relacija neodređenosti vrijedi za neodređenost energije i neodređenost mjerenja vremenskog intervala:
[latex]\Delta E \Delta t \geq \dfrac{\mathrm h}{4\pi }[/latex]