Matematika 6 - 2.6 Opseg i površina trokuta

Opseg trokuta

Kako bi Luna izračunala kolika je duljina letvica kojom treba ograditi vrt, mora zbrojiti duljine svih letvica koje omeđuju vrt. Kako je vrt u obliku trokuta, Luna mora zbrojiti duljine stranica tog trokuta kako bi znala duljinu ograde.

Opseg trokuta

Opseg trokuta je zbroj duljina svih stranica trokuta.

Nacrtaj jednakostranični, jednakokračni i raznostranični trokut i izvedi formule za njihov opseg.

Tri trokuta-raznostraničan, jednakostraničan i jednakokračan. Ispod raznostraničnog trokuta piše formula za opseg o=a+b+c, ispod jednakostraničnog trokuta piše formula o=3a, a ispod jednakokračnog trokuta piše o=a+2b — Opsezi različitih vrsta trokuta

Zadatak 1.

Zadan je raznostranični trokut sa stranicama duljine $4 cm$ $4 cm$ , $6 cm$ $6 cm$ i $7 cm$ $7 cm$ .

Izračunaj njegov opseg.

$a = 4 cm$ $a = 4 cm$

$b = 6 cm$ $b = 6 cm$

$c = 7 cm$ $c = 7 cm$

$o = ?$ $o = ?$

$o = a + b + c$ $o = a + b + c$

$o = 4 + 6 + 7$ $o = 4 + 6 + 7$

o = 17 cm

$o = 17 cm$

Zadatak 2.

Zadan je jednakostranični trokut s duljinama stranica $9 cm$ $9 cm$ .

Izračunaj njegov opseg.

$a = 9 cm$ $a = 9 cm$

$o = ?$ $o = ?$

$o = 3 \cdot a$ $o = 3 \cdot a$

$o = 3 \cdot 9$ $o = 3 \cdot 9$

$o = 27 cm$ $o = 27 cm$

Zadatak 3.

Zadan je jednakokračni trokut kojem je osnovnica duljine $5 cm,$ $5 cm,$ a krakovi duljine $7 cm .$ $7 cm .$

Izračunaj njegov opseg.

$a = 5 cm$ $a = 5 cm$

$b = 7 cm$ $b = 7 cm$

$o = ?$ $o = ?$

$o = a + 2 b$ $o = a + 2 b$

$o = 5 + 2 \cdot 7$ $o = 5 + 2 \cdot 7$

$o = 19 cm$ $o = 19 cm$

Visina trokuta

Kolika je visina najvišeg čovjeka koji može ući u šator, a da ne mora pognuti glavu?

Prikazan je narančasti šator sa plavom i bijelom linijom. Na šatoru je ljubičastom linijom označena visina. — Šator

Zanimljivost

Ako kupuješ šator, primijetit ćeš kako se u njegovim dimenzijama spominje visina sljemena. Ona označava visinu najvišeg dijela šatora, odnosno visinu šatora ispod glavne centrale. O šatorima pročitajte nešto više na poveznici.

Najviši čovjek koji može ući u šator, a da ne mora pognuti glavu može imati visinu kolika je i visina sljemena šatora, kao što je prikazano i na slici.

Visina trokuta

Visina trokuta je dužina čije su krajnje točke vrh trokuta i točka u kojoj okomica iz tog vrha siječe nasuprotnu stranicu (ili pravac na kojem leži nasuprotna stranica).

Duljine visina na stranice $a,$ $a,$ $b$ $b$ i $c$ $c$ označavamo s $v_{a},$ $v_{a},$ $v_{b}$ $v_{b}$ i $v_{c} .$ $v_{c} .$

Prikazana su tri trokuta, šiljastokutan, tupokutan i pravokutan. I njihove visine. U šiljastokutnom trokutu visine su unutar trokuta, u pravokutnom trokutu prikazana je samo jedna visina, na hipotenuzu, jer su katete jedna drugoj visina. U tupokutnom trokutu dvije visine su izvan trokuta. — Visine trokuta

Primijeti kako su visine šiljastokutnog trokuta unutar trokuta, a kod tupokutnog trokuta dvije visine nalaze se izvan trokuta. Kod pravokutnog trokuta katete su dvije visine toga trokuta, a treća visina nalazi se unutar trokuta.

Zadatak 8.

Nacrtaj jedan šiljastokutni, jedan tupokutni i jedan pravokutni trokut. Označi im i izmjeri duljine stranica i visina.

Kao pomoć za rješavanje ovoga zadatka posluži se gornjom slikom.

Za što bolje uočavanje visina raznih vrsta trokuta poslužit će i animacija izrađena u Geogebri. Klikni na gumb POKRENI i započni animaciju.

Površina trokuta

Primjer 2.

Izračunaj površinu trokuta s duljinom stranice $c = 5 cm$ $c = 5 cm$ i duljinom visine na tu stranicu $v_{c} = 4 cm .$ $v_{c} = 4 cm .$

Trokut je podijeljen visinom na dva pravokutna trokuta. Jedan ima katete duljine 2 i 4 centimetra, a drugi ima katete duljine 3 i 4 centimetra — Površina trokuta

Nadopuni trokut do pravokutnika kao što je prikazano na slici.

Povuci visinu iz vrha $A .$ $A .$ Uoči kako se pravokutnik podijelio na dva manja pravokutnika, a trokut na dva pravokutna trokuta.

Pravokutnik ima površinu $p = 5 \cdot 4 = 20 {cm}^{2} .$ $p = 5 \cdot 4 = 20 {cm}^{2} .$

Površine pravokutnih trokuta su sljedeće:

$p_{1} = (2 \cdot 4) : 2 = 4 cm$ $p_{1} = (2 \cdot 4) : 2 = 4 cm$

$p_{2} = (3 \cdot 4) : 2 = 6 cm$ $p_{2} = (3 \cdot 4) : 2 = 6 cm$

Kada ih zbrojimo, dobijemo površinu trokuta.

$p = p_{1} + p_{2} = 4 + 6 = 10 {cm}^{2}$ $p = p_{1} + p_{2} = 4 + 6 = 10 {cm}^{2}$

Primijeti kako je površina trokuta upola manja od površine pravokutnika čije su duljine stranica jednake duljini stranice trokuta i njezinoj visini.

Površina trokuta

Površina trokuta $A B C$ $A B C$ s duljinama stranica $a,$ $a,$ $b$ $b$ i $c$ $c$ i duljinama visina na te stranice $v_{a},$ $v_{a},$ $v_{b}$ $v_{b}$ i $v_{c}$ $v_{c}$ dana je formulom $p = (a \cdot v_{a}) : 2 = (b \cdot v_{b}) : 2 = (c \cdot v_{c}) : 2$ $p = (a \cdot v_{a}) : 2 = (b \cdot v_{b}) : 2 = (c \cdot v_{c}) : 2$ .

Ovaj zapis formule koristit ćete dok ne naučite računati s razlomcima. Kada naučite računati s razlomcima, koristit ćete se istom formulom, ali zapisanom na drukčiji način:

$p = \frac{a \cdot v_{a}}{2} = \frac{b \cdot v_{b}}{2} = \frac{c \cdot v_{c}}{2} .$ $p = \frac{a \cdot v_{a}}{2} = \frac{b \cdot v_{b}}{2} = \frac{c \cdot v_{c}}{2} .$

Trokut sa stranicom 8 jedinica, a visinom duljine 5 jedinica — Površina trokuta

Zadatak 9.

Izračunaj površinu trokuta sa slike.

Površina trokuta je $20$ $20$ kvadratnih jedinica.

Zadatak 10.

Izračunaj površinu trokuta čija je duljina stranice $b = 8 cm,$ $b = 8 cm,$ a duljina visine na tu stranicu $v_{b} = 7 cm .$ $v_{b} = 7 cm .$

$b = 8 cm$ $b = 8 cm$

$v_{b} = 7 cm$ $v_{b} = 7 cm$

$p = ?$ $p = ?$

$p = (8 \cdot 7) : 2 = 56 : 2 = 28 {cm}^{2}$ $p = (8 \cdot 7) : 2 = 56 : 2 = 28 {cm}^{2}$

Zadatak 11.

Izračunaj površinu trokuta čija je duljina stranice $c = 18 cm,$ $c = 18 cm,$ a duljina visine na tu stranicu $v_{c} = 10 cm .$ $v_{c} = 10 cm .$

$c = 18 cm$ $c = 18 cm$

$v_{c} = 10 cm$ $v_{c} = 10 cm$

$p = ?$ $p = ?$

$p = (18 \cdot 10) : 2 = 180 : 2 = 90 {cm}^{2}$ $p = (18 \cdot 10) : 2 = 180 : 2 = 90 {cm}^{2}$

Primjena opsega i površine trokuta

Zadatak 12.

Poduzeće koje se bavi izradom prometnih znakova, prema tehničkim uvjetima za izradu prometnih znakova, izrađuje prometne znakove u obliku jednakostraničnog trokuta čija je stranica $120 cm$ $120 cm$ i visina $104 cm$ $104 cm$ . Odgovori na sljedeća pitanja povezana s izradom prometnih znakova.

Površina lima potrebnog za izradu jednog prometnog znaka je (izraženo u ${cm}^{2}$ ${cm}^{2}$ )

624

$624$

Razmisli!

6240

$6 240$

Bravo!

62400

$62 400$

Razmisli!

Pomoć:

Pomnoži stranicu s visinom i rezultat podijeli s dva.

null

Ako bi bilo potrebno staviti tanku zaštitnu letvicu oko znaka, njezina bi duljina bila

Razmisli!

cm

$cm$ .

Pomoć:

Duljina zaštitne letvice jednaka je opsegu jednakostraničnog trokuta.

null

Zadatak 13.

Noa planira zasaditi travu na travnjaku ispred kuće trokutasta oblika, čija je duljina $12 m$ $12 m$ , a najveća širina $4 m$ $4 m$ . Koliko sjemena trave treba kupiti ako za svaki kvadratni metar travnjaka treba $18 g$ $18 g$ sjemena?

Travnjak je oblika trokuta kojem je duljina jedne stranice $12 m$ $12 m$ , a duljina visine na tu stranicu $4 m$ $4 m$ .

Izračunaj površinu tog trokuta.

$a = 12 m$ $a = 12 m$

$v_{a} = 4 m$ $v_{a} = 4 m$

$p = ?$ $p = ?$

$p = (a \cdot v_{a}) : 2 = (12 \cdot 4) : 2 = 24 m^{2}$ $p = (a \cdot v_{a}) : 2 = (12 \cdot 4) : 2 = 24 m^{2}$

Površina travnjaka je $24 m^{2}$ $24 m^{2}$ .

Treba kupiti $24 \cdot 18 = 432 g$ $24 \cdot 18 = 432 g$ sjemena.

Mjerna jedinica za mjerenje duljine i širine travnjaka je

, a mjerna jedinica za mjerenje površine travnjaka je

. Mjerna jedinica za mjerenje mase sjemenki je

.

metar kvadratni

metar

gram

Pomoć:

Razmisli i ponovi mjerne jedinice za duljinu, površinu i masu.

null

Što misliš zašto je odgovor na prethodni zadatak dan u gramima? Bi li imao više smisla da je dan u kilogramima?

Zašto je površina dvorišta dana u metrima? Bi li imalo više smisla da je dana u kilometrima?

Obrazloži svoje odgovore.

...i na kraju

Prisjetimo se naučenog.

je zbroj duljina svih stranica trokuta. Opseg jednakostraničnog trokuta dan je formulom

, opseg jednakokračnog trokuta dan je formulom

, a opseg raznostraničnog trokuta dan je formulom

.

o = a + b + c

$o = a + b + c$

o = 3 \cdot a

$o = 3 \cdot a$

o = a + 2 b

$o = a + 2 b$

Opseg trokuta

Pomoć:

Za rješenje ovog zadatka pročitaj što u jedinici piše o opsegu trokuta.

null

Površina pravokutnog trokuta dana je formulom

zato jer su katete jedna drugoj visina, dok je općenita formula za površinu trokuta

.

p = (a \cdot b) : 2

$p = (a \cdot b) : 2$

p = (a \cdot v_{a}) : 2

$p = (a \cdot v_{a}) : 2$

Pomoć:

Za što uspješnije rješavanje ovog zadatka pročitaj što piše o površini trokuta.

null

2.6 Opseg i površina trokuta

Na početku...

Opseg trokuta

Opseg trokuta

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Površina pravokutnog trokuta

Zadatak 4.

Površina pravokutnika

Primjer 1.

Površina pravokutnog trokuta

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Visina trokuta

Zanimljivost

Visina trokuta

Zadatak 8.

Površina trokuta

Primjer 2.

Površina trokuta

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Primjena opsega i površine trokuta

Zadatak 12.

Zadatak 13.

...i na kraju