x
Učitavanje

3.5 Monotonost i omeđenost funkcije

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Samostalno učenje icon samostalno učenje
Procjena znanja icon procjeni znanje
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Uzlazna krivulja na grafu
Na slici je ilustracija rasta profita.

Opišite što, po vašem mišljenju, prikazuje gornja fotografija. Možete li prikazanu krivulju opisati nekom od elementarnih funkcija?

Primjer 1.

Što je zajedničko funkcijama prikazanim sljedećim grafovima?

Rastuće funkcije
Na slici su tri grafa rastuće funkcije

Lako se uoči da sve tri prikazane funkcije opisuju rast varijable y u ovisnosti o x , odnosno rastuću funkciju.

Ako je funkcija zadana svojim grafom, lako se odredi je li ona rastuća ili padajuća. Kako bismo to učinili bez grafičkog prikaza? Postoje li neki uvjeti koje funkcija treba zadovoljiti da bi bila rastuća, odnosno padajuća? Pogledajmo kako bismo matematički precizno definirali rastuću i padajuću funkciju.

Rast ili pad funkcije

Primjer 2.

Promotrite graf jedne rastuće i jedne padajuće funkcije.
Rastuća funkcija
Na slici je graf jedne rastuće i jedne padajuće funkcije.

a. Koje su tvrdnje točne za rastuću funkciju?

null
null

b. Koje su tvrdnje točne za padajuću funkciju?

null
null

c. U slučaju rastuće funkcije, što je vrijednost varijable x veća, to je vrijednost funkcije sve

.
U slučaju padajuće funkcije, što je vrijednost varijable x veća, to je vrijednost funkcije sve
.
null
null

Promatrane su funkcije bile rastuće ili padajuće na cijelom području definicije. To ne mora uvijek biti slučaj, funkcija može imati dijelove na kojima je rastuća i dijelove na kojima je padajuća.

Intervali monotonosti
Na fotografiji je roller-coaster – prikaz monotone funkcije.

Monotona funkcija

Kažemo da je funkcija f rastuća na nekom intervalu I iz njezine domene ako za sve x 1 , x 2 iz tog intervala takve da je x 1 < x 2 vrijedi da je f x 1 ≤ f x 2 .

Kažemo da je funkcija f padajuća na nekom intervalu I iz njezine domene ako za sve x 1 , x 2 iz tog intervala takve da je x 1 < x 2 vrijedi da je f x 1 ≥ f x 2 .

Zajedničkim se imenom rastuće, odnosno padajuće funkcije zovu monotone funkcije.

Ako u gornjim definicijama umjesto nejednakosti ≤ ili ≥ vrijede stroge nejednakosti < ili > , kažemo da je funkcija strogo rastuća, odnosno strogo padajuća.

Primjer 3.

Funkcija je zadana grafom. Koristeći se sljedećom animacijom, odredimo intervale na kojima je funkcija rastuća i intervale na kojima je padajuća.

Podsjetimo se

Koje su od elementarnih funkcija monotone na svojoj domeni? Koje su monotone po intervalima?

Intervali monotonosti
Na slici su prikazane sinus funkcija, kvadratna funkcija, funkcija apsolutne vrijednosti i racionalna funkcija 1 kroz x.

Zadatak 1.

Na sljedećoj su slici grafovi elementarnih funkcija f , g , h i k . O kojim se funkcijama radi?

Odredite njihove intervale monotonosti, odnosno intervale na kojima su rastuće i intervale na kojima su padajuće.

Funkcija f ( x ) = sin x   je rastuća na intervalima . . . - π 2 , π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , 7 π 2 , 9 π 2 . . . , a padajuća na intervalima . . . - 3 π 2 , - π 2 , π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , 7 π 2 . . . .

Kvadratna funkcija g ( x ) = x 2 i funkcija apsolutne vrijednosti h ( x ) = x  padajuće su na intervalu - ∞ , 0 , a rastuće na intervalu 0 , ∞ .

Racionalna funkcija k ( x ) = 1 x padajuća je na intervalima - ∞ , 0 , 0 , ∞ .

Linearna funkcija  f ( x ) = a x + b  rastuća je na skupu  R , ako je

 
, a padajuća ako je
 
. Eksponencijalna funkcija f ( x ) = a x i logaritamska funkcija f ( x ) = log a x  rastuće su za
 
, a padajuće ako je
 
.
a > 0
0 < a < 1
a > 1
a < 0
null
null

Zadatak 2.

Rasporedite sljedeće elementarne funkcije u grupu kojoj pripadaju prema monotonosti.

f ( x ) = 2 x   

Rastuće funkcije

Padajuće funkcije

null
null

Primijenimo

Svojstvom monotonosti elementarnih funkcija često se koristimo pri rješavanju nejednadžbi.

Pogledajmo na primjeru eksponencijalne funkcije.

Primjer 4.

Što znači da je eksponencijalna funkcija f ( x ) = 2 x strogo rastuća?

Ako je x 1 < x 2 , slijedi da je f ( x 1 ) < f ( x 2 ) , odnosno 2 x 1 < 2 x 2 , za sve realne brojeve x 1 , x 2 .

Stoga iz nejednakosti 2 x < 2 4 zaključujemo da je x < 4 . U protivnom funkcija f ( x ) = 2 x ne bi bila strogo rastuća na skupu R .

Primijenite svojstvo monotonosti u sljedećim zadatcima.

Omeđenost funkcije

Omeđenost
Na fotografiji su prikazana valna gibanja u fizici.

Primjer 5.

Na koje nas funkcije podsjeća ova slika? Za koju bismo od elementarnih funkcija mogli reći da je omeđena i zašto?

To su funkcije sinus ili kosinus. Za njih vrijedi:

- 1 ≤ sin x ≤ 1 , - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

Omeđenu funkciju definiramo slično kao i omeđeni niz.

Omeđena funkcija

Za funkciju f kažemo da je omeđena ili ograničena ako postoje realni brojevi m i M takvi da je m ≤ f ( x ) ≤ M za sve brojeve  x iz domene funkcije f .

Broj m je donja međa, a broj M je gornja međa.

Ako takvi brojevi ne postoje, funkcija je neomeđena.

Na slici je kvadratna funkcija f x = - x - 2 2 + 3 .

Slika u interakciji, omeđenost odozgo
Funkcija f ima najveću vrijednost M =
koju
postiže za x =
.


Za sve realne brojeve  x vrijedi f ( x ) ≤
.


Funkcija f ima samo gornju među, broj
,
nema donju među.
null
null

Na slici je kvadratna funkcija f x = 1 2 x 2 - 2 .

Slika u interakciji, omeđenost odozdo
Funkcija f ima najmanju vrijednost m =
koju
postiže za x =
.


Za sve realne brojeve x vrijedi f ( x ) ≥
.


Funkcija f ima samo donju među, broj
, nema gornju među.
null
null

Uočimo da funkcija može imati samo donju ili samo gornju među.

Omeđenost odozdo; omeđenost odozgo

Kažemo da je funkcija f omeđena odozdo ako postoji m ∈ R tako da je f ( x ) ≥ m za sve brojeve x iz domene funkcije f .

Kažemo da je funkcija f omeđena odozgo ako postoji M ∈ R tako da je f ( x ) ≤ M za sve brojeve x iz domene funkcije f .

Zadatak 3.

Navedite primjer omeđene funkcije f za koju vrijedi

  1. - 2 ≤ f ( x ) ≤ 2
  2. - 1 ≤ f ( x ) ≤ 3
  1. Jedan je primjer takve funkcije  f ( x ) = 2 cos x .
  2. Koristeći se rješenjem pod a., možemo pisati f ( x ) = 2 cos 2 x + 1 .

Provjerite da je jedna mogućnost i funkcija f x = 4 x 2 + 1 - 1 .

Zadatak 4.

Navedite primjer funkcije koja je omeđena odozdo i ima donju među m = 1 .

Neki su od primjera: f ( x ) = 3 x + 1 , f ( x ) = x 2 + 1 , . . .

...i na kraju

U jednakostraničan trokut, kojemu je duljina stranice 6 cm , upisan je pravokutnik visine x cm . Napišite funkciju P ( x ) koja računa površinu pravokutnika u ovisnosti o x .

Raspravite u paru je li ta funkcija omeđena. Ako jest, odredite donju i gornju među. Odredite intervale monotonosti dobivene funkcije.

Jednakostraničan trokut
Na slici je prikazan jednakostranični trokut stranice duljine 6 kojemu je upisan pravokutnik duljine stranice x.

Funkcija je P x = x 6 - 2 3 3 x , 0 ≤ x ≤ 3 3 .

Raspravu provedite sami!

Povratak na vrh