2.2 Posebni oblici kvadratne jednadžbe

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Ako je linearni koeficijent u kvadratnoj jednadžbi jednak nuli, tj. $b=0,$ onda kvadratna jednadžba ima oblik:

$a{x}^2+c=0.$

Jednadžbu ovog oblika rješavamo tako da slobodni član prebacimo na desnu stranu jednadžbe:

$a{x}^2=-c.$

Zatim jednadžbu podijelimo s koeficijentom $a:$

$x^2=-\frac{c}{a}.$

Uz ​ $-\frac{c}{a}=k$ imamo jednadžbu $x^2=k.$

• ako je ​ $k>0$ rješenja su realni i različiti brojevi $x_1=\sqrt{k}$ i $x_2=-\sqrt{k}$
• ​ako je $k=0$ rješenja su $x_1=x_2=0$ .
• ako je $k<0$ rješenja su konjugirano kompleksni brojevi $x_1=i\sqrt{\left|k\right|}$ i $x_2=-i\sqrt{\left|k\right|}$

Sada su rješenja jednadžbe $x^2=-\frac{c}{a}:$

$x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}},x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}.$

Primjer 1.

Riješimo sljedeću kvadratnu jednadžbu.

$9x^2-25=0$

$9x^2=25/:9$

$x^2=\frac{25}{9}$

Uz primjenu gore navedenog postupka imamo dva realna rješenja:

$x_1=\frac{5}{3},x_2=-\frac{5}{3}$

Primjer 2.

Riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

$x^2+16=0$

$x^2=-16$

$x_1=4i,x_2=-4i.$

Rješenja su dva konjugirano kompleksna broja.

Primjer 3.

Riješimo kvadratnu jednadžbu:

${\left(x+3\right)}^2=16.$

Provedimo isti postupak kao za jednadžbu: ​ $x^2=16.$

Imamo dva slučaja:

$x+3=4,x+3=-4.$

Iz ovih dviju jednadžbi imamo dva rješenja:

$x_1=1,x_2=-7.$

Kada je slobodni koeficijent jednak nuli, $c=0,$kvadratna jednadžba poprima oblik:

$a{x}^2+bx=0.$

Kvadratnu jednadžbu bez slobodnog člana rješavamo tako da izlučimo zajednički faktor $x:$

$x·\left(ax+b\right)=0.$

Umnožak na lijevoj strani jednak je nuli, a to znači da barem jedan od faktora također mora biti jednak nuli:

$x=0,ax+b=\mathrm{0,}$

pa su rješenja ove jednadžbe:

$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}$

Primjer 4.

Riješimo sljedeću kvadratnu jednadžbu.

$27x^2-9x=0$

$9x·\left(3x+1\right)=0$

$9x=0,3x+1=0$

$x_1=0,x_2=-\frac{1}{3}$

Zadatak 4.

Riješite kvadratnu jednadžbu $\frac{7}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x=0.$

Rješenje

---

Osim navedenih kvadratnih jednadžbi posebnog oblika, imamo i slučaj kada su ​ $b=0,c=0.$

Jednadžba tada glasi: $a{x}^2=0.$

Ova jednadžba ima rješenje $x=0.$

Do sada rješavane kvadratne jednadžbe imale su dva rješenja, pa ćemo i za ovu jednadžbu reći da ima dva rješenja koja su jednaka. Govorit ćemo o dvostrukom rješenju i pisati:

$x_1=x_2=0.$

Primjer 5.

Najkraća stranica pravokutnog trokuta je $6\mathrm{cm}$ kraća od hipotenuze. Razlika u duljini drugih dviju stranica iznosi $3\mathrm{cm}.$ Ako je najkraća stranica $a-3,$ pronađimo stranicu $a.$

Prikažimo problem grafički.

Koristeći se Pitagorinim poučkom problem ćemo svesti na rješavanje kvadratne jednadžbe.

${\left(a-3\right)}^2+a^2={\left(a+3\right)}^2$

$a^2-6a+9+a^2=a^2+6a+9$

$a^2-12a=0$

$a·\left(a-12\right)=0$

Dakle, nepoznanica $a$ može biti ili $0\mathrm{cm}$ ili $12\mathrm{cm}.$ Rješenje polaznog zadatka je $a=12\mathrm{cm}.$

Zadatak 5.

 Ponovimo pojmove koje smo naučili!

1. Razvrstaj nepotpune kvadratne jednadžbe prema vrsti.
   

   $\frac{4}{3}{x}^2+5x=0$  ​

   $7x^2=5x$  ​

   $x^2=7$  ​

   $x^2+6x-5=-5$  ​

   $3x^2-5=0$  

   $\frac{7}{2}=x^2$  ​

   Kvadratna jednadžba bez linearnog člana

   Kvadratna jednadžba bez slobodnog člana

   

   null

2. Jedno od rješenja kvadratne jednadžbe $x^2-5=0$  je:
   

   $\sqrt{5}$

    Točno!

   $5$

    Pokušaj ponovno!

   $0$​

    Pokušaj ponovno!

   

   null

3. Upari nepotpune kvadratne jednadžbe s vrstama rješenja.
   

   $7x^2+7=0$ ​	Dvostruko rješenje jednako 0Realna i različita rješenjaKompleksna rješenja
   $\frac{7}{8}{x}^2=0$	Dvostruko rješenje jednako 0Realna i različita rješenjaKompleksna rješenja
   ${\left(x-5\right)}^2=24$	Dvostruko rješenje jednako 0Realna i različita rješenjaKompleksna rješenja

   

   null