Matematika 7 - 6.4 Poučci o sličnosti trokuta

Kut ‒ Kut poučak o sličnosti trokuta

Naučili smo da su dva trokuta slična ako imaju isti oblik, tj. ako su im parovi odgovarajućih kutova jednakih veličina. Za to bi trebalo izmjeriti sve kutove jednog trokuta i sve kutove drugog trokuta, i usporediti ih. U stvarnosti teško možemo mjeriti kutove koje čine zrake Sunca s vrhom stabla ili vrhom štapa.

Kako onda znamo da su ti trokuti slični?

Jedan kut ne moramo mjeriti, vidimo da i drvo i štap stoje pod pravim kutom u odnosu prema tlu. Znači, jedan par kutova imamo, oni su $90 °$ u oba trokuta.

Kut između zrake Sunca i tla isti je kut za oba trokuta, znači imamo još jedan par kutova za koji smo sigurni da je iste veličine u oba trokuta.

A treći par kutova?

Na slici su različiti trokuti s prikazanim mjerama kuta

Prisjetimo se da je zbroj kutova u trokutu $180 ° .$

Ako u nekom trokutu znamo veličine dvaju kutova, treći izračunamo tako da od $180 °$ oduzmemo zbroj veličina dvaju poznatih kutova.

Ako to napravimo za svaki od dvaju trokuta u animaciji, dobit ćemo da je i treći par kutova jednakih veličina, znači trokuti su slični.

Tvrdnja da je zbroj svih unutarnjih kutova u trokutu $180 °$ vrijedi za sve trokute. Iz toga slijedi da ako za trokute znamo da su dva unutarnja kuta jednog trokuta po veličini jednaka dvama unutarnjim kutovima drugog trokuta, onda je zasigurno jednak i treći par odgovarajućih unutarnjih kutova. Znači da je za trokute dovoljno znati dva para veličina odgovarajućih unutarnjih kutova da bismo mogli zaključiti jesu li ili nisu trokuti slični.

KK poučak o sličnosti trokuta (kut-kut)

Ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični.

Na slici su dva slična šiljastokutna trokuta kojima su označeni parovi jednakih kuteva narančastom, odnosno ljubičastom bojom

Primjer 1.

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor.

Izračunajmo treći kut prvog trokuta, $γ = 180 ° - (42 ° + 30 °) = 108 ° .$

Izračunajmo treći kut drugog trokuta, $α' = 180 ° - (108 ° + 30 °) = 42 ° .$

Kažemo da su trokuti slični prema poučku KK.

Uočimo da nismo trebali računati treći kut drugog trokuta jer smo već kod prvog računa mogli uočiti odgovarajuća dva para unutarnjih kutova jednakih veličina.

$△ A B C \sim △ A' B' C'$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Na slici su trokuti kojima treba izračunati veličine trećeg kuta

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor.

Izračunajmo treći kut prvog trokuta, $α = 180 ° - (37 ° + 70 °) = 73 ° .$

Uočimo dva para kutova jednakih veličina.

Trokuti su slični prema poučku KK.

$△ A B C \sim △ A' B' C'$

Zadatak 2.

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor.

Na slici su trokuti kojima treba izračunati veličinu trećeg kuta

Na slici nisu slični trokuti jer nemaju dva odgovarajuća kuta jednakih veličina

Izračunajmo treći kut prvog trokuta, $β = 180 ° - (45 ° + 80 °) = 55 ° .$

Izračunajmo treći kut drugog trokuta, $α' = 180 ° - (65 ° + 80 °) = 35 ° .$

Imamo samo jedan par odgovarajućih kutova jednake veličine. Zaključujemo da trokuti nisu slični. $△ A B C ≁ △ A' B' C'$

Zatvori

Primjer 2.

Jesu li trokuti $A B C$ i $C D E$ sa slike slični ako znamo da je $\bar{A B} ∥ \bar{D E} ?$ Objasnite odgovor.

Pogledajmo skicu.

$|∠ B C A| = |∠ E C D|$ jer su to vršni kutovi.

$|∠ C A B| = |∠ C D E|$ jer su to kutovi uz presječnicu $A D$ paralelnih pravaca na kojima leže dužine $\bar{A B}$ i $\bar{D E} .$

Trokuti $A B C$ i $C D E$ slični su prema poučku KK, $△ A B C \sim △ C D E$

Zadatak 3.

Na slici su slični trokuti s vršnim kutovima i pravim kutem

Jesu li trokuti $A B C$ i $C D E$ sa slike slični? Objasnite odgovor.

Pogledajmo skicu.

$|∠ B C A| = |∠ E C D|$ jer su to vršni kutovi.

$|∠ C A B| = |∠ C D E|$ jer su to pravi kutovi.

Trokuti $A B C$ i $C D E$ slični su prema poučku KK.

Na slici su slični trokuti s označenim odgovarajućim kutevima

Prisjetimo se da su sličnim trokutima odgovarajuće duljine stranica proporcionalne s istim koeficijentom.

Uobičajeno, uz oznake kao na slici kažemo da su trokuti slični s koeficijentom $k$ i pišemo $△ A B C \sim △ A' B' C',$ $\frac{a'}{a} = k,$ $\frac{b'}{b} = k$ i $\frac{c'}{c} = k .$

Pritom moramo paziti na to koji trokut ima veće duljine stranica ‒ za onaj koji ima veće duljine stranica kažemo „veći trokut”, a za onaj koji ima manje duljine stranica kažemo „manji trokut”.

Primjer 3.

Veličine kutova trokuta $A B C$ su $α = 40 °$ i $β = 60 °,$ a duljina stranice je $a = 4 cm .$ Veličine kutova trokuta $A' B' C'$ su $α' = 40 °$ i $γ' = 80 °,$ a duljine stranica su $a' = 2 cm,$ $b' = 3 cm$ i $c' = 3.5 cm$ .

Jesu li trokuti slični? Objasnite odgovor i izračunajte nepoznate duljine stranica trokuta $A B C$ $.$

Skica

Izračunajmo treći kut u velikom trokutu, $γ = 180 ° - (40 ° + 60 °) = 80 ° .$ Trokuti imaju dva odgovarajuća unutarnja kuta jednakih veličina pa su prema poučku KK oni slični trokuti. Zbog sličnosti je i $β' = 60 ° .$

Sličnim trokutima omjeri odgovarajućih stranica proporcionalni su s koeficijentom $k .$

Odgovarajuće duljine stranica su $a$ i $a',$ $b$ i $b'$ te $c$ i $c' .$

Zapišimo podatke preglednije:

$△ A B C :$ $a = 4 cm,$ $b = ?,$ $c = ?$

$△ A' B' C' :$ $a' = 2 cm,$ $b' = 3 cm,$ $c' = 3.5 cm .$

Iz podataka se vidi da imamo dvije poznate odgovarajuće stranice, to su $a$ i $a' .$

Izračunat ćemo njihov omjer i dobiti koeficijent sličnosti trokuta.

$k = \frac{a'}{a} = \frac{1}{2}$

Isti omjer vrijedi i za ostale stranice trokuta.

$\frac{b'}{b} = \frac{1}{2}$ uvrstimo i dobijemo jednadžbu $\frac{3}{b} = \frac{1}{2}$ iz koje slijedi $b = 6 cm .$

Za preostale stranice vrijedi $\frac{c'}{c} = \frac{1}{2},$ uvrstimo i dobijemo jednadžbu $\frac{3.5}{c} = \frac{1}{2}$ iz koje slijedi

$c = 7 cm .$

Ovdje smo mogli uočiti da su duljine stranica $△ A' B' C'$ dvaput kraće od duljina stranica

$△ A B C,$ i samo smo duljinu stranice $b'$ i $c'$ mogli pomnožiti s $2 .$

Duljine stranica trokuta $A B C$ iznose: $b = 6 cm,$ $c = 7 cm .$

Zadatak 4.

Veličine kutova trokuta $A B C$ iznose $β = 70 °$ i $γ = 35 °,$ a duljine stranica su $a = 6 cm,$ $b = 4 cm$ i $c = 3 cm .$ Veličine kutova trokuta $A' B' C'$ iznose $α' = 75 °$ i $γ' = 35 °,$ a duljina jedne stranice je $a' = 12 cm .$

Jesu li trokuti slični? Objasnite odgovor i izračunajte nepoznate duljine stranica trokuta $A' B' C'$ $.$

Skica

$α = 180 ° - (35 ° + 70 °) = 75 ° .$ Trokuti su slični prema poučku KK. Zbog sličnosti je i $β' = 70 ° .$

$△ A B C :$ $a = 6 cm,$ $b = 4 cm,$ $c = 3$

$△ A' B' C' :$ $a' = 12 cm,$ $b' = ?,$ $c' = ?$

$k = \frac{a'}{a} = \frac{12}{6} = 2$

$\frac{b'}{b} = 2,$ $\frac{b'}{4} = 2,$ $b' = 8 cm .$

$\frac{c'}{c} = 2,$ $\frac{c'}{3} = 2,$ $c' = 6 cm .$

Duljine stranica trokuta $A' B' C'$ iznose $b' = 8 cm,$ $c' = 6 cm .$

Stranica ‒ Kut ‒ Stranica poučak o sličnosti trokuta

Iz animacije vidimo koja su nam tri podatka dovoljna da možemo zaključiti jesu li neki trokuti slični. Koji su to podatci?

SKS poučak o sličnosti trokuta (stranica-kut-stranica)

Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a duljine odgovarajućih stranica uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuti slični.

Na slici su slični trokuti prema SKS poučku

Primjer 4.

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

Pogledajmo skicu. Prisjetimo se da dulja stranica uz odgovarajući kut u jednom trokutu odgovara duljoj stranici uz odgovarajući kut u drugom trokutu. Kraća stranica uz odgovarajući kut u jednom trokutu odgovara kraćoj stranici uz odgovarajući kut u drugom trokutu.

$|∠ A B C| = |∠ A' B' C'| = 67 °$

$\frac{a'}{a} = \frac{3.5}{7} = \frac{1}{2}$

$\frac{c'}{c} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Trokuti su slični prema poučku SKS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{1}{2} .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Trokuti na slici su slični po S-K-S poučku

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Kutovi označeni istom bojom su sukladni. Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

Pogledajmo skicu.

$|∠ C A B| = |∠ C' A' B'|$ sukladni kutovi imaju jednake veličine.

$\frac{b'}{b} = \frac{3.2}{4} = \frac{4}{5}$

$\frac{c'}{c} = \frac{4}{5}$

Trokuti su slični prema poučku SKS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{4}{5} .$

Zadatak 6.

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

Sličnost trokuta po SKS poučku, trokuti na slici nisu slični

Pogledajmo skicu.

$|∠ C A B| = |∠ C' A' B'| = 45 °$

$\frac{b'}{b} = \frac{7}{4}$

$\frac{c'}{c} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Trokuti nisu slični jer omjeri odgovarajućih stranica uz sukladne kutove nisu jednaki.

Zatvori

Primjer 5.

Jesu li trokuti $A B C$ i $A' B C'$ sa slike slični trokuti ako je $\bar{A C} ∥ \bar{A' C'} ?$ Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

Pogledajmo skicu.

$|∠ A B C| = |∠ A' B C'|$ jer je to zajednički kut tih dvaju trokuta.

$\frac{|B C|}{|B C'|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\frac{|A B|}{|A' B|} = \frac{3}{2}$

Trokuti su slični prema poučku SKS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{3}{2} .$

Zadatak 7.

Sličnost trokuta po S-K-S poučku, uočimo vršne kutove na slici

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

Pogledajmo skicu.

$|∠ A B C| = |∠ A B' C|$ jer su to vršni kutovi.

$\frac{|A' B|}{|A B|} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$\frac{|B C'|}{|B C|} = \frac{4}{3}$

Trokuti su slični prema poučku SKS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{4}{3} .$

Primjer 6.

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti i izračunajte duljinu nepoznate stranice.

Jedan unutarnji kut trokuta $A B C$ sukladan je jednom unutarnjem kutu trokuta $A' B' C',$ $|∠ B C A| = |∠ B' C' A'| = 42 ° .$

Omjeri duljina odgovarajućih stranica uz te kutove jesu:

$\frac{a'}{a} = \frac{7.2}{6} = \frac{6}{5}$

$\frac{b'}{b} = \frac{3.6}{3} = \frac{6}{5} .$

Trokuti su slični prema poučku SKS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{6}{5} .$

Sličnim su trokutima omjeri odgovarajućih stranica jednaki i iznose $k .$ Odgovarajuće duljine stranica su $a$ i $a',$ $b$ i $b'$ te $c$ i $c' .$

Za preostale stranice vrijedi:

$\frac{c'}{c} = \frac{6}{5},$ uvrstimo i riješimo jednadžbu

$\frac{c'}{4} = \frac{6}{5}$

$5 c' = 24$

$c' = 4.8 cm .$

Duljina nepoznate stranice je $c' = 4.8 cm .$

Zadatak 8.

Sličnost trokuta po SKS poučku, trokuti na slici su slični

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti te izračunajte duljinu nepoznate stranice.

$|∠ A B C| = |∠ A' B' C'| = 73 °$

$\frac{a}{a'} = \frac{2.4}{5.6} = \frac{3}{7}$

$\frac{c}{c'} = \frac{3}{7}$

Trokuti su slični prema poučku SKS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{3}{7} .$

$\frac{b}{b'} = \frac{3}{7}$ , $\frac{b}{6.3} = \frac{3}{7},$ $b = 2.7 cm .$

Duljina nepoznate stranice je $b = 2.7 cm .$

Pokazali smo dva poučka s pomoću kojih možemo provjeriti sličnost trokuta, a pritom ne trebamo mjeriti sva tri kuta i računati omjere duljina svih stranica.

Nazivi tih poučaka podsjećaju na nazive poučaka sukladnosti trokuta. Prisjetimo se poučaka o sukladnosti trokuta i usporedimo njihove iskaze s iskazima dosad naučenih poučaka o sličnosti trokuta.

KSK poučak o sukladnosti trokuta kaže da su dva trokuta sukladna ako se podudaraju u dvama odgovarajućim kutovima i stranici između njih.

KK poučak o sličnosti trokuta kaže da su dva trokuta slična ako se podudaraju u dvama kutovima.

SKS poučak o sukladnosti trokuta kaže da su dva trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i kutu između njih.

SKS poučak o sličnosti trokuta kaže da su dva trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a duljine stranica uz taj kut su im proporcionalne.

Treći poučak o sukladnosti trokuta SSS kaže da su dva trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima odgovarajućim stranicama.

Što mislite kako glasi treći poučak o sličnosti trokuta?

Stranica ‒ Stranica ‒ Stranica poučak o sličnosti trokuta

Projekt

Izrežite tri što tanja štapića različite duljine od kojih ćete složiti trokut. Pritom pazite da vam zbroj duljina dvaju kraćih štapića bude veći od duljine trećeg štapića. Zalijepite te štapiće na papir i izrežite trokut kojemu su ti štapići duljine stranica. Zatim izrežite još po dva od svakog od tih štapića, spojite ih što preciznije i dobit ćete štapiće koji su po duljini dvostruko dulji od početnih štapića. Spojite dobivene štapiće u trokut, zalijepite na papir i izrežite novi trokut kojemu su ti dvostruko dulji štapići stranice.

Usporedite kutove tih dvaju trokuta, tako da preklopite jedan po jedan njihov kut.

Što zamjećujete?

Sve možete napraviti i na računalu, primjerice u PowerPointu i prikazati razredu.

Pogledajte animaciju koja pokazuje kako bi vaš rad trebao izgledati.

Iz animacije vidimo da je trokut s dvostruko duljim odgovarajućim duljinama stranica sličan početnom trokutu. Na isti bi se način to moglo pokazati i za trokut s višestruko duljim ili kraćim duljinama stranica. To znači da su trokuti slični ako su im odgovarajuće duljine stranica proporcionalne. Tako dolazimo do trećeg poučka o sličnosti trokuta.

SSS poučak o sličnosti trokuta (stranica-stranica-stranica)

Ako su duljine odgovarajućih stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični.

Na slici su slični trokuti po SSS poučku

Zanimljivost

Prisjetimo se da najdulja stranica u jednom trokutu odgovara najduljoj stranici u drugom trokutu. Srednja po duljini stranica u jednom trokutu odgovara srednjoj stranici u drugom trokutu. Najkraća stranica u jednom trokutu odgovara najkraćoj stranici u drugom trokutu.

Primjer 7.

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

Pogledajmo skicu i preračunajmo sve mjerne jedinice, primjerice u centimetre.

$b' = 32 mm = 3.2 cm$

$c' = 36 mm = 3.6 cm$

Odgovarajuće duljine stranica su $a$ i $a',$ $b$ i $b'$ te $c$ i $c' .$

$\frac{a'}{a} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$\frac{b'}{b} = \frac{3.2}{8} = \frac{2}{5}$

$\frac{c'}{c} = \frac{3.6}{9} = \frac{2}{5}$

Trokuti su slični prema poučku SSS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{2}{5} .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Trokuti na slici su slični po SSS poučku

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

$b = 36 mm = 3.6 cm$

$\frac{a'}{a} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$\frac{b'}{b} = \frac{9}{3.6} = \frac{5}{2}$

$\frac{c'}{c} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Trokuti su slični prema poučku SSS.

Koeficijent sličnosti je $k = \frac{5}{2} .$

Zadatak 10.

Sličnost po SSS poučku, trokuti na slici nisu slični

Jesu li trokuti sa slike slični trokuti? Objasnite odgovor i ako jesu, odredite koeficijent sličnosti.

$\frac{a'}{a} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$\frac{b'}{b} = \frac{5}{6}$

$\frac{c'}{c} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Trokuti nisu slični jer duljine svih odgovarajućih stranica nisu proporcionalne s istim koeficijentom $k .$

Nismo morali računati omjer duljina stranica $c$ i $c'$ jer već prva dva para nisu proporcionalna s istim koeficijentom.

Zatvori

Primjer 8.

Je li trokut sa stranicama duljine $4 cm,$ $6 cm$ i $8 cm$ sličan trokutu sa stranicama duljine $6.4 cm,$ $9.6 cm$ i $12.8 cm ?$ Ako jest, odredite koeficijent sličnosti.

Odgovarajuće stranice sličnih trokuta u jednakim su omjerima. To znači da omjeri najvećih stranica, omjeri stranica srednjih po duljini i omjeri najkraćih stranica moraju biti jednaki.

$\begin{array}{l} \frac{6.4}{4} = \frac{8}{5} \\ \frac{9.6}{6} = \frac{8}{5} \\ \frac{12.8}{8} = \frac{8}{5} \end{array}$

Trokuti su slični prema poučku SSS.

Koeficijent sličnosti je $\frac{8}{5} .$

Zadatak 11.

Je li trokut sa stranicama duljine $6.25 cm,$ $15 cm$ i $11.25 cm$ sličan trokutu sa stranicama duljine $5 cm,$ $12 cm$ i $9 cm ?$ Ako jest, odredite koeficijent sličnosti.

$\begin{array}{l} \frac{5}{6.25} = 0.8 \\ \frac{9}{11.25} = 0.8 \\ \frac{12}{15} = 0.8 \end{array}$

Trokuti su slični prema poučku SSS.

Koeficijent sličnosti je $0.8,$ tj. $\frac{4}{5} .$

Primjer 9.

Omjer duljina odgovarajućih stranica dvaju sličnih trokuta iznosi $3 : 4$ $.$ Duljine stranica većeg trokuta iznose $12 cm,$ $16 cm$ i $20 cm .$ Kolike su duljine stranica manjeg trokuta?

Omjer duljina odgovarajućih stranica, u ovom slučaju $3 : 4,$ koeficijent je sličnosti dvaju trokuta. Za svaki par odgovarajućih stranica pišemo odgovarajući razmjer. Duljine stranica manjeg trokuta moramo pisati na mjesto prvog člana, a duljine stranica većeg trokuta na mjesto drugog člana jer je broj $3$ manji od broja $4 .$ Neka su duljine stranica manjeg trokuta $a,$ $b$ i $c .$

Tako dobijemo prvi razmjer

$3 : 4 = a : 12$ i riješimo ga

$4 a = 36$

$a = 9 cm .$

Zatim dobijemo drugi razmjer

$3 : 4 = b : 16$ i riješimo ga

$4 b = 48$

$b = 12 cm .$

Na isti način dobijemo i treći razmjer $3 : 4 = c : 20$ iz kojeg slijedi $c = 15 cm .$

Duljine stranica manjeg trokuta iznose $a = 9 cm,$ $b = 12 cm,$ $c = 15 cm .$

Zadatak 12.

Omjer duljina odgovarajućih stranica dvaju sličnih trokuta iznosi $3 : 2$ $.$ Duljine stranica manjeg trokuta iznose $4 cm,$ $5 cm$ i $8 cm .$ Kolike su duljine stranica većeg trokuta?

$3 : 2 = a : 4,$ $a = 6 cm$

$3 : 2 = b : 5,$ $b = 7.5 cm$

$3 : 2 = c : 8,$ $c = 12 cm$

Duljine stranica većeg trokuta iznose $a = 6 cm,$ $b = 7.5 cm,$ $c = 12 cm .$

Primjer 10.

Trokut $A' B' C'$ sličan je većem trokutu $A B C$ s koeficijentom $k = \frac{5}{3} .$ Izračunajte duljine stranica trokuta $A' B' C'$ ako je zadano $a = 12 cm,$ $b = 5 cm$ i $c = 13.5 cm .$

Sličnost po SSS poučku, trokuti na slici su slični

Brojnik koeficijenta veći je od nazivnika, znači da duljine stranica većeg trokuta pišemo u brojnik.

Trokuti su slični s koeficijentom $k = \frac{5}{3} .$

Brojnik koeficijenta veći je od nazivnika, znači da duljine stranica većeg trokuta pišemo u brojnik.

Odgovarajuće duljine stranica iznose $a$ i $a',$ $b$ i $b'$ te $c$ i $c' .$

Zapišimo podatke preglednije.

$△ A B C$ veći trokut: $a = 12 cm,$ $b = 5 cm,$ $c = 13.5 cm$

$△ A' B' C'$ manji trokut: $a', b', c' = ?$

U omjer $\frac{a}{a'} = \frac{5}{3}$ uvrstimo poznate podatke $\frac{12}{a'} = \frac{5}{3}$ i izračunamo

$5 a' = 36$

$a' = 7.2 cm .$

U omjer $\frac{b}{b'} = \frac{5}{3}$ uvrstimo poznate podatke $\frac{5}{b'} = \frac{5}{3}$ i odmah vidimo $b' = 3 cm .$

U omjer $\frac{c}{c'} = \frac{5}{3}$ uvrstimo poznate podatke $\frac{13.5}{c'} = \frac{5}{3}$ i izračunamo

$5 c' = 40.5$

$c' = 8.1 cm .$

Duljine stranica trokuta $A' B' C'$ iznose $a' = 7.2 cm,$ $b' = 3 cm,$ $c' = 8.1 cm .$

Primjer smo mogli riješiti i tako da koeficijent napišemo u obliku omjera, i onda duljine odgovarajućih stranica uvrstimo u razmjer.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Trokut $A' B' C'$ sličan je manjem trokutu $A B C$ s koeficijentom $k = \frac{5}{3} .$ Izračunajte duljine stranica trokuta $A' B' C'$ ako je zadano $a = 12 cm,$ $b = 7.8 cm$ i $c = 13.5 cm .$

$△ A B C$ manji trokut: $a = 12 cm,$ $b = 7.8 cm,$ $c = 13.5 cm$

$△ A' B' C'$ veći trokut: $a', b', c' = ?$

Napišimo omjere odgovarajućih stranica i izračunajmo nepoznati član omjera vodeći računa o tome da je u ovom zadatku trokut $A' B' C'$ veći od trokuta $A B C,$ i u brojniku koeficijenta je veći broj.

$\frac{a'}{a} = \frac{5}{3},$ $\frac{a'}{12} = \frac{5}{3},$ $a' = 20 cm$

$\frac{b'}{b} = \frac{5}{3},$ $\frac{b'}{7.8} = \frac{5}{3}$ $,$ $b' = 13 cm$

$\frac{c'}{c} = \frac{5}{3},$ $\frac{c'}{13.5} = \frac{5}{3},$ $c' = 22.5 cm$

Duljine stranica trokuta iznose $a' = 20 cm,$ $b' = 13 cm,$ $c' = 22.5 cm .$

Zadatak 14.

Trokut $A B C$ sličan je manjem trokutu $A' B' C'$ s koeficijentom $k = \frac{3}{4} .$ Izračunajte duljine stranica trokuta $A B C$ ako je zadano $a' = 2.4 cm,$ $b' = 2.7 cm$ i $c' = 3 cm .$

$△ A B C$ veći trokut: $a, b, c = ?$

$△ A' B' C'$ manji trokut: $a' = 2.4 cm,$ $b' = 2.7 cm,$ $c' = 3 cm$

$\frac{a'}{a} = \frac{3}{4},$ $\frac{2.4}{a} = \frac{3}{4},$ $a = 3.2 cm$

$\frac{b'}{b} = \frac{3}{4},$ $\frac{2.7}{b} = \frac{3}{4},$ $b = 3.6 cm$

$\frac{c'}{c} = \frac{3}{4},$ $\frac{3}{c} = \frac{3}{4},$ $c = 4 cm$

Duljine stranica trokuta $A B C$ iznose $a = 3.2 cm,$ $b = 3.6$ i $c = 4 cm .$

Zatvori

6.4 Poučci o sličnosti trokuta

Na početku...

Kut ‒ Kut poučak o sličnosti trokuta

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Stranica ‒ Stranica ‒ Stranica poučak o sličnosti trokuta

Projekt

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Uvježbajmo

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

...i na kraju

6.5 Primjena sličnosti trokuta