Fizika 2 - 4.7 Spajanje otpornika

Serijsko spajanje otpornika

Pogledajte snimku Phet animacije u kojoj je prikazan strujni krug u kojem su dva otpornika spojena u seriju.

Animacija 1

Na osnovu snimke Animacije 1 potrebno je:

odrediti ukupni (ekvivalentni) otpor serijski spojenih otpornika u strujnom krugu
objasniti strujne i naponske prilike u serijskom spoju.

Kako bismo odredili ekvivalentni otpor serijski spojenih otpornika i objasnili strujno naponske prilike u Animaciji 1, potrebno je riješiti zadatke 1 do 5.

Najprije promislite! Kako ćemo mjeriti jakosti struje kroz otpornike u strujnom krugu?

Kako ćemo mjeriti padove napona na krajevima otpornika?

Jakosti struje ćemo mjeriti ampermetrom koji se spaja serijski u strujni krug.

Padove napona na krajevima otpornika mjerimo pomoću voltmetra koji se spaja paralelno s otpornicima.

Zadatak 1.

Očitajte izmjerenu jakost struje i napon u Animaciji 1 te odredite ukupni otpor strujnog kruga.

$I = 0,1 A$

$U = 10 V$

$R = \frac{U}{I} = \frac{10 V}{0,1 A}$

$R = 100 Ω$

Zadatak 2.

Očitajte vrijednosti otpora otpornika:

R_{1} =

Ω,

R_{2} =

Ω .

null

Zadatak 3.

Koliki je zbroj otpora otpornika?

R_{1} + R_{2} =

Iz dobivenog rezultata odgovorite čemu je jednak ukupni otpor serijski spojenih otpornika.

Ukupni otpor serijski spojenih otpornika jednak je zbroju otpora otpornika spojenih u seriju.

$R = R_{1} + R_{2}$

Zatvori

Zadatak 4.

serijski spoj otpornika - mjerenje napona — Serijski spoj otpornika - mjerenje napona

U Animaciji 1 očitajte izmjerene padove napona na svakom od otpornika u strujnom krugu kako je prikazano na shemi.

Očitajte i pad napona na krajevima serijski spojenih otpornika.

U_{1} =

V

U_{2} =

V

U_{3} =

V

null

Što zaključujete o ukupnom padu napona na serijski spojenim otpornicima?

Svoj zaključak iskažite i u matematičkom obliku.

Ukupni pad napona na krajevima serijski spojenih otpornika jednak je zbroju padova napona na krajevima svakog pojedinog otpornika spojenog u seriju.

$U = U_{1} + U_{2}$

Zadatak 5.

Serijski spoj otpornika - mjerenje jakosti struje

U Animaciji 1 očitajte redom izmjerene jakosti struje $I,$ $I_{1}$ i $I_{2}$ pomoću ampermetra kako je prikazano i na shemi.

I =

A

I_{1} =

A

I_{2} =

A

null

Što na osnovu ovih mjerenja možete zaključiti?

Jakost struje kroz svaki otpornik u serijskom spoju je međusobno jednaka.

Zatvori

U nastavku pogledajte kako se pomoću Ohmova zakona izvodi relacija za ukupni ili ekvivalentni otpor serijski spojenih otpornika.

Ako su otpornici povezani u nizu jedan za drugim, kažemo da su spojeni serijski. U tom slučaju jakost struje kroz svaki otpornik ima jednaku vrijednost. Kao primjer uzmimo dva otpornika, s otporima $R_{1}$ i $R_{2},$ koji su spojeni u seriju.

Neka je napon na krajevima prvog otpornika $U_{1},$ a na krajevima drugog $U_{2} .$ Tada napon između krajeva cijele serije od dvaju otpornika iznosi:

$U = U_{1} + U_{2} .$

Ta relacija slijedi iz zakona očuvanja energije: $U_{1}$ je rad koji bi pozitivni jedinični naboj 1 C obavio pri prolazu kroz prvi otpornik, $U_{2}$ je rad koji bi obavio pri prolazu kroz drugi otpornik. Prema tomu, $U$ je rad koji bi taj naboj obavio kroz seriju od oba otpornika. Prema zakonu očuvanja energije ukupni rad mora biti jednak zbroju rada obavljenog pri gibanju naboja kroz pojedinačne otpore.

Primijenimo Ohmov zakon posebno na svaki otpornik. Prvi otpornik ima otpor $R_{1}$ i njime teče struja jakosti $I .$

Prema Ohmovu zakonu, napon $U_{1}$ na krajevima tog otpornika je

$U_{1} = I R_{1} .$

Analogno tome,

$U_{2} = I R_{2} .$

Seriju otpornika zamijenimo s jednim ekvivalentnim otpornikom, iznosa otpora $R,$ pri čemu je $R$ takav da se pri toj zamjeni ne mijenja jakost struje u strujnom krugu izvan serijski spojenih otpornika. Tada $R$ označava ukupni otpor serije otpornika.

S pomoću Ohmova zakona primijenjenog na ekvivalentni otpornik dobivamo napon U na krajevima ekvivalentnog otpornika

$U = I R .$

Uvrstimo li posljednji izraz u

$U = U_{1} + U_{2}$ dobijemo:

$I R = I R_{1} + I R_{2},$ odnosno

$R = R_{1} + R_{2} .$

Dva serijski spojena otpornika s otporima $R_{1}$ i $R_{2}$ djeluju u strujnom krugu na isti način kao da je umjesto njih u strujni krug uključen jedan otpornik s otporom $R = R_{1} + R_{2}$ koji nazivamo ukupni ili ekvivalentni otpor.

Dakle, kada serijski spojimo n otpornika s otporima $R_{1},$ $R_{2},$ $R_{3} ...$ $R_{n},$ njihov je ukupni otpor jednak zbroju pojedinačnih otpornika.

$R = R_{1} + R_{2} + R_{3} + . . . + R_{n}$

Paralelno spajanje otpornika

Pogledajte sljedeću snimku Phet animacije u kojoj je prikazan strujni krug u kojem su dva otpornika spojena paralelno.

Animacija 2

Patralelni spoj otpornika — Paralelni spoj otpornika - mjerenje jakosti struje i napona

U Animaciji 2 je sastavljen strujni krug u kojem su dva otpornika spojena paralelno. Vrijednosti otpora su $75 Ω$ i $25 Ω .$

Prema shemi temeljenoj na Animaciji 2, očitajte na ampermetrima jakosti struje kroz otpornike, a pomoću voltmetara padove napona na njihovim krajevima. Riješite zadatke 6 do 9.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Očitajte izmjerene vrijednosti jakosti struje pomoću ampermetra.

Vrijednosti jakosti struja su:

I =

A .

I_{1} =

A .

I_{2} =

A .

null

Zadatak 7.

Što na osnovu ovih mjerenja možete zaključiti? Kolika je ukupna jakost struje $I$ odnosno jakost struje u vanjskom dijelu strujnog kruga?

Jakost struje u vanjskom dijelu strujnog kruga jednaka je zbroju jakosti struje kroz svaki od otpornik spojen paralelno u strujnom krugu.

$I = I_{1} + I_{2}$

Zadatak 8.

Koliko iznosi izmjereni pad napona $U$ u Animaciji 2, a kojeg očitava voltmetar $V$ prema shemi?

Koliki su padovi napona na svakom pojedinom otporniku?

U =

V

U_{1} =

V

U_{2} =

V

null

Što zaključujete o padu napona na paralelno spojenim otpornicima?

Međusobno su jednaki.

Zadatak 9.

Na osnovu očitanih podataka u Animaciji 2, izračunajte otpor strujnog kruga kad su uključena oba otpornika.

$I = 0,48 A$

$U = 9$ $V$

$R = \frac{U}{I} = \frac{9 V}{0,48 A}$

$R = 18,75 Ω$

Usporedite dobivenu vrijednost ukupnog otpora s pojedinačnim otporima! Što uočavate?

Dobivena je vrijednost manja od najmanje vrijednosti otpora otpornika spojenih paralelno.

Zatvori

U nastavku jedinice pokazat ćemo kako se pomoću Ohmova zakona izvodi relacija za ukupni ili ekvivalentni otpor paralelno spojenih otpornika.

Kada su otpornici spojeni paralelno, napon na krajevima svakog od njih očito ima istu vrijednost. Označimo ga sa U. Kao primjer uzmimo dva paralelno spojena otpornika, s otporima $R_{1}$ i $R_{2} .$

Jakosti struje kroz svaki pojedini otpornik nisu jednakog iznosa. Na kraju prvog otpornika s otporom $R_{1}$ napon ima vrijednost U.

Prema Ohmovu zakonu, jakost struje kroz taj otpornik iznosi:

$I_{1} = \frac{U}{R_{1}} .$

Analogno tome,

$I_{2} = \frac{U}{R_{2}} .$

Označimo s $I$ jakost struje u strujnom krugu prije grananja na paralelno spojene otpornike. Ukupna struja $I$ grana se na dvije struje kroz svaki otpornik, jakosti struje $I_{1}$ i $I_{2} .$

Prema prvome Kirchhoffovu pravilu vrijedi

$I = I_{1} + I_{2} .$

Zamijenimo ta dva paralelno spojena otpornika jednim ekvivalentnim otpornikom, s otporom iznosa $R .$ Pri toj se zamjeni ne mijenja jakost struje u krugu izvan paralelno spojenih otpornika. Tada je $R$ ukupni otpor tih dvaju paralelno spojenih otpornika.

Na krajevima ekvivalentnog ili nadomjesnog otpornika s otporom $R$ napon bi opet imao vrijednost $U,$ a struja kroz njega bila bi ukupna struja jakosti $I .$

Koristeći se Ohmovim zakonom, ukupnu struju $I = I_{1} + I_{2}$ možemo pisati:

$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_{1}} + \frac{U}{R_{2}} .$

U paralelnom spoju dvaju otpornika recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti pojedinih otpornika spojenih paralelno.

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

Za n paralelno spojenih otpornika ukupni otpor $R$ nalazimo s pomoću formule:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + . . . + \frac{1}{R_{n}} .$

Primjer 1.

Odredimo jakost struje koju pokazuje ampermetar u strujnom krugu prikazanom na slici.

Vrijednosti otpora su $R_{1} = R_{2} = 10 Ω,$ $R_{3} = 20 Ω,$ $R_{4} = 6 Ω.$

Napon izvora je $U = 10 V .$

Rjesenje zadatka sa mješovitim spojem otpornika

Veličine su označene na slici.

Radi bolje preglednosti u rješavanju zadataka mogu se nacrtati nadomjesne sheme.

Otpornik $R_{12}$ je ekvivalentni otpor paralelno spojenih otpornika $R_{1}$ i $R_{2} .$

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{10 Ω} + \frac{1}{10 Ω} = \frac{2}{10 Ω}$

$R_{12} = 5 Ω$

Otpornik $R_{123}$ je ekvivalenrni otpor paralelno spojenih otpornika $R_{12}$ i $R_{3.}$

$\frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{3}}$

$\frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{5 Ω} + \frac{1}{20 Ω} = \frac{5}{20 Ω}$

$R_{123} = 4 Ω$

Ukupni otpor $R_{u k}$ je nadomjesni otpornik koji zamjenjuje sve otpornike u shemi.

$R_{u k} = R_{4} + R_{123}$

$R_{u k} = 6 Ω + 4 Ω$

$R_{u k} = 10 Ω$

$I = \frac{U}{R_{u k}} = \frac{10 V}{10 Ω}$

$I = 1 A$

$U_{4} = I \cdot R_{4}$

$U_{4} = 1 A \cdot 6 Ω$

$U_{4} = 6 V$

$U_{12} = U_{3} = U - U_{4}$

$U_{12} = 4 V$

$I_{12} = \frac{U_{12}}{R_{12}}$

$I_{12} = \frac{4 V}{5 Ω}$

Ampermetar pokazuje:

$I_{12} = 0,8 A$

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Poredajte prema sjaju šest jednakih žarulja spojenih u strujni krug kako je prikazano na slici, počevši od najsjajnije žarulje.

3,

1,

2,

6,

4,

5

1 = 2,

3,

4,

5 = 6

3,

1 = 2,

6,

4 = 5

4 = 5,

6,

1 = 2,

3

null

Zadatak 11.

Odredite ukupni otpor spoja prikazanog na slici i jakost struje koja teče tim strujnim krugom.

Tri otpornika s otporom po $6$ $Ω$ spojena su paralelno i ekvivalentni otpor tih triju otpornika iznosi $2$ $Ω .$ Ekvivalentni otpor cijelog strujnog kruga je $1$ $Ω .$ Jakost struje koja teče strujnim krugom dobije se s pomoću Ohmova zakona i iznosi $2 A .$

Zatvori

Praktična vježba

Eksperimentalni zadatak: OTPORNA KOCKA

Pribor: $12$ jednakih otpornika, izvor napona, digitalni multimetar, spojne žice

Zadaci

Sastavite otpornu kocku. Otporna kocka je sastavljena od otpornika $100 Ω$ a koji tvore bridove kocke.
Odredite ekvivalentni (ukupni otpor) između točaka A i C (plošna dijagonala) i točaka A i G (prostorna dijagonala) kocke:
eksperimentalno, tako da smislite i opišete dvije eksperimentalne mogućnosti određivanja otpora; izvedete jedno eksperimentalno utvrđivanje otpora i provedete odgovarajući račun pogrešaka;
teorijski, na osnovu teorijskih razmatranja izvedite izraze za tražene ekvivalentne otpore i izračunajte ih.

Kada se kocka spoji na izvor napona traže se točke jednakih potencijala, odnosno točke između kojih je pad napona jednak nuli. Između tih točaka struja ne teče.

Plošna dijagonala - ekvivalentna shema:

Točke D i H i točke B i F su na istom potencijalu i između tih točaka struja ne prolazi. Otpornici se ne crtaju.

Ekvivalentni otpor između točaka A i F:

$\begin{array}{l} \frac{1}{R_{A C}} = \frac{1}{2 R} + \frac{1}{R + \frac{1}{\frac{1}{2 R} + \frac{1}{2 R}} + R} + \frac{1}{2 R} \end{array}$

$R_{A C} = \frac{3}{4} R$

$R_{A C} = \frac{3}{4} \cdot 100 Ω$

$R_{AC}=75Ω$

Prostorna dijagonala - ekvivalentna shema:

Točke B, D, E i C, F, H su na istom potencijalu.

Ekvivalentni otpor između točaka A i G:

$R_{u k} = \frac{1}{\frac{3}{R}} + \frac{1}{\frac{6}{R}} + \frac{1}{\frac{3}{R}}$

$R_{u k} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} + \frac{R}{3}$

$R_{u k} = \frac{5}{6} R$

$R_{u k} = \frac{5}{6} \cdot 100 Ω$

$R_{uk} = 83,3 Ω$

Kutak za znatiželjne

Dodirni zasloni se nalaze na mobitelima, dlanovnicima, računalima. Po njima možete pisati i pomoću posebne olovke . Posebni oblik takvih zaslona su otporni dodirni zasloni, a koji rade na načelu serijski spojenih otpornika. Takav zaslon se sastoji od čvrstog donjeg staklenog dijela čija je gornja strana presvučena vodljivim i prozirnim slojem (na primjer indij-cink-oksidom). Preko toga je postavljen savitljiv prozirni sloj s čije se donje strane također nalazi sloj indij-cink-oksida, a koji je odmaknut od donjeg sloja.

Na slici je vrlo pojednostavljen prikaz načela rada dodirnog zaslona. Istražite što se događa kada pritisnete zaslon i kad se dva sloja oksida dodirnu. Istražite detaljnije načelo rada dodirnih zaslona.

4.7 Spajanje otpornika

Na početku...

Serijsko spajanje otpornika

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Paralelno spajanje otpornika

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Praktična vježba

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

Serijski spoj dvaju otpornika

Paralelni spoj dvaju otpornika

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

4.8 Električni mjerni instrumenti