4.3 Računanje trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta u pravokutnom trokutu

Trigonometrijske vrijednosti komplementarnih kutova

Kako je​ $\alpha +\beta =90°$ , slijedi:

$\sin \alpha =\cos \left(90°-\alpha \right)$

$\cos \alpha =\sin \left(90°-\alpha \right)$ 

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}\left(90°-\alpha \right)$ 

$\mathrm{ctg}\alpha =\mathrm{tg}\left(90°-\alpha \right).$

Trigonometrijske vrijednosti šiljastog kuta

Ponovno pogledaj gornje aktivnosti te odgovori na postavljena pitanja.

S obzirom na to da smo sinus i kosinus kutova definirali kao omjere kateta i hipotenuze, a hipotenuza je uvijek najdulja stranica u pravokutnom trokutu, taj je razlomak manji od $1$ ( $1$ bismo dobili kad bi kateta mogla biti jednako dugačka kao hipotenuza). Duljine stranica trokuta nikada ne mogu biti negativne, ni $0,$ pa je zato taj razlomak uvijek pozitivan.

Kod tangensa i kotangensa kutova omjeri kateta mogu biti i veći od $1,$ ali ponovno ne negativni ni nula.

Zadatak 1.

Za koje realne brojeve​ $a$  postoje šiljasti kutovi takvi da je $\sin \alpha =\frac{a}{1 + a^2}?$

Osnovni trigonometrijski identiteti

U trećoj aktivnosti mijenjajte duljine kateta i pratite vrijednosti sinusa i kosinusa kutova te vrijednost izraza ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha .$ Kakve vrijednosti poprima izraz ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ?$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Dokažimo da osnovni trigonometrijski identitet stvarno uvijek vrijedi.

Krenemo li od Pitagorina poučka​ $a^2+b^2=c^2$i podijelimo s $c^2$ dobijemo ${\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=1.$ Uvrštavanjem definicija trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta $\frac{a}{c}=\sin \alpha$ i $\frac{b}{c}=\cos \alpha$ dobivamo osnovni trigonometrijski identitet

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$

U sljedećoj aktivnosti mijenjajte duljine kateta i pratite vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, zatim omjere sinusa i kosinusa te kosinusa i sinusa. Uočavate li vezu između nekih podataka?

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$​, $\mathrm{c}\mathrm{tg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ , $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha },$ $\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{ctg}\alpha =1$

Kutak za znatiželjne

Dokažite prethodne tvrdnje uvrštavanjem definicija trigonometrijskih vrijednosti šiljastih kutova pravokutnog trokuta.

Primjer 2.

Koristeći se osnovnim trigonometrijskim identitetima, dokažite:​ ${\left(1-\sin \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =2-2\sin \alpha .$

Dokaz:

Kvadriramo li izraz u zagradi dobijemo $1-2\sin \alpha +{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =2-2\sin \alpha .$ . Primijenimo li da je ${\sin }^2\alpha +\mathrm{co}{s}^2\alpha =1$ , dobivamo $1-2\sin \alpha +1=2-2\sin \alpha ,$ tj. $2-2\sin \alpha =2-2\sin \alpha$ , što smo i trebali dokazati.

Zadatak 2.

Dokažite identitet:​ $\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }.$

Pokus

Pogledajte animaciju u 2D-u koja pokazuje kako kod čokolade dobiti komadić viška.

Uzmite čokoladu od $100\mathrm{g}$ i pokušajte izvesti pokus. Podijelite čokoladu kao u animaciji, pojedite komadić viška i izvažite. Je li masa i dalje $100$ grama?

Pokušajte matematički dokazati da dijelovi čokolade nisu bili jednakih dimenzija (možete izračunavati stranice i kutove pravokutnih trokuta).

Računanje trigonometrijskih vrijednosti kutova

Primjer 3.

Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta iznosi​ $10\mathrm{cm}$ i kut $\alpha =40°.$ Odredite duljine kateta.

Da bismo odredili duljine katete $\mathrm{a,}$ možemo iskoristiti sinus kuta.

$\sin \alpha =\frac{a}{c}\Rightarrow \sin 40°=\frac{a}{10},$ tj. $a=10·\sin 40°.$

Znamo trigonometrijske vrijednosti za kutove $30°,45°i60°,$ a za $40°?$ Mogli bismo pretpostaviti da je $\sin 40°$ između vrijednosti $\sin 30°=0.5$ i $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071.$

Ali kolika je točna vrijednost?

Da bismo izračunali $\sin 40°$na džepnom računalu, najprije moramo provjeriti je li ono postavljeno na računanje u stupnjevima. Ako na džepnom računalu nemamo oznaku D ili DEG (moguće su R, RAD za radijane ili G, GRAD za grad), potrebno je prebaciti tipkom $\boxed{MOD}$ ili $\boxed{DRG}$ ili $\boxed{SETUP}.$ Ako upotrebljavate džepno računalo koji dolazi s Windowsima, mijenjanje s računanja u stupnjevima u radijane i grad koristi se tipkom na kojoj piše oznaka mjere kuta (slika 1.).

Postupak računanja $\sin 40°$je različit na raznim vrstama džepnog računala, ali možemo ga podijeliti na dvije vrste:

PREFIKSNO: upišemo broj $40$ i pritisnemo tipku $\boxed{SIN}$

POSTFIKSNO: pritisnemo tipku $\boxed{SIN}$ pa upišemo broj $40.$

U oba bi slučaja vrijednost koju dobijemo trebala biti: $0.6427876097...$ (slika 2. i slika 3.).

S obzirom na to da su većina trigonometrijskih vrijednosti iracionalni brojevi, decimalni zapis im je beskonačan neperiodičan decimalan broj, sve ćemo vrijednosti zaokruživati na četiri decimale. Iako su to približne vrijednosti, radi jednostavnosti zapisa stavljat ćemo znak jednakosti.

Primjer 4.

$\sin 40°=0.6428$

Istovrsno možemo izračunati vrijednosti za kosinus i tangens.

$\cos 40°=0.766$

$\mathrm{tg}40°=0.8391$

Za određivanje vrijednosti kotangensa nema tipke na džepnom računalu. Zato ćemo se snalaziti i upotrijebiti vezu između tangensa i kotangensa $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }.$

PREFIKSNO: broj $40,$ tipka $\boxed{tg},$ tipka $\boxed{1/x}$ (​ $\boxed{x^{-1}}$)

POSTFIKSNO: tipka $\boxed{tg},$ broj $40,$ (tipka $\boxed{ANS}$), tipka $\boxed{1/x}$ ( $\boxed{x^{-1}}$)

$\mathrm{c}\mathrm{tg}40°=1.1918$

Postupak računanja kotengensa prikazan je u aktivnosti koja slijedi.

Minute i sekunde

Kut može biti zadan i s pomoću minuta i sekundi. Prisjetimo se odnosa među njima.

Pretvorimo​ $20°12\text{'}$ u stupnjeve.

$20°12\text{'}=20°+{\left(\frac{12}{60}\right)}^{\text{'}}=20.2°$

Pretvorimo​ $35.42°$ u stupnjeve, minute i sekunde.

$35.42°=35°+0.42·60\text{'}=35°+25.2\text{'}=35°+25\text{'}+0.2·60"=35°+25\text{'}+12"=35°25\text{'}12"$

Pretvarati kutove iz stupnjeva, minuta i sekundi u decimalni oblik i obratno možemo i s pomoću džepnog računala. Tome služi tipka​ $\boxed{°\text{'}"}$ ili $\boxed{DEG}.$

Pokušajte na prethodnim primjerima. Postupak možete pratiti u idućoj aktivnosti.

Zadatak 3.

Pretvorite u decimalni oblik (prikažite u stupnjevima) kutove:

1. $32°15\text{'}10"$
2. $77°7\text{'}7".$

Primjer 5.

Pokušajte sad obratno, iz decimalnog oblika odrediti stupnjeve, minute i sekunde.

$20.2°=20°12\text{'}$

$35.42°=35°28\text{'}12"$

Katkad je za to dovoljno otipkati decimalni broj i staviti oznaku za stupnjeve $\boxed{°\text{'}"}$ te tipku $\boxed{=},$ a na nekim se džepnim računalima upotrebljava tipka $\boxed{DMS}$ (slika 4.).

Pretvorite u stupnjeve, minute i sekunde kutove:

1. $35.2528$
2. $77.1186.$

Odredite trigonometrijske vrijednosti za kut​ $23°32\text{'}15.$

1. $\sin 23°32\text{'}15"=$ 
2. $\cos 23°32\text{'}15"=$ 
3. $\mathrm{tg}23°32\text{'}15"=$
4. $\mathrm{ctg}23°32\text{'}15"=$   

null

null

Odredite trigonometrijske vrijednosti za kut $23.4°.$  

1. $\sin 23.4=$
2. $\cos 23.4°=$ 
3. $\mathrm{tg}23.4=$
4. $\mathrm{ctg}23.4°=$    

 

 

Primjer 6.

Vratimo se našem primjeru: Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta iznosi​ $\mathrm{10 }\mathrm{cm}$ i kut $\mathrm{\alpha }= 40°.$ Odredite duljine kateta.

$a=10·\sin 40°=10·0.6428=6.428\mathrm{cm}$

$b=10·\cos 40°=10·0.766=7.66\mathrm{cm}$

Računanje kutova

Duljina katete u pravokutnom trokutu je​ $a=3\mathrm{cm},$ a hipotenuze $c=5\mathrm{cm}.$ Koliki je kut nasuprot kateti $a?$

I u ovom zadatku možemo iskoristiti omjer za sinus kuta, $\sin \alpha =\frac{a}{c}\Rightarrow sin\alpha =\frac{3}{5}.$ Da bismo se riješili sinusa, trebamo djelovati s njegovim inverzom. Neka džepna računala imaju tipku inverz $\boxed{INV},$ a kod nekih je to tipka $\boxed{SHIFT}$ te s pomoću njih dobivamo inverzne vrijednosti od sin, cos i tg, koje su na džepnom računalu označene sitnim slovima ispisanima iznad tipki za trigonometrijske funkcije (često u narančastoj boji). Te inverzne vrijednosti označavamo sa ${\sin }^{-1},$ ${\cos }^{-1},$ ${\mathrm{tg}}^{-1}$ i ${\mathrm{ctg}}^{-1}.$

Postupak računanja vrijednosti kuta na džepnom računalu

Primjer 7.

$\sin \alpha =0.4$ 

PREFIKSNO: unesemo broj $0.4,$ pritisnemo tipku $\boxed{INV}$ ili $\boxed{SHIFT},$ pa tipku $\boxed{SIN}$ (time dobijemo ${\sin }^{-1}$ ) i na kraju pritisnemo tipku $\boxed{DMS}$ da bismo kut pretvorili u stupnjeve, minute i sekunde.

POSTFIKSNO: pritisnemo $\boxed{INV}$ ili $\boxed{SHIFT},$ tipku $\boxed{SIN}$ (time dobijemo ${\sin }^{-1}$ ) i na kraju pritisnemo tipku $\boxed{°\text{'}"}$ ili $\boxed{DMS}$ da bismo kut pretvorili u stupnjeve, minute i sekunde.

Za $\sin \alpha =0.4$ dobijemo kut $\alpha =23°34\text{'}41".$ (I u ovom ćemo slučaju vrijednosti zaokruživati, dovoljno je na sekunde).

Postupak određivanja kuta iz poznate vrijednosti za sinus kuta možete pogledati u idućoj aktivnosti.

Za $\cos \alpha =0.4$ kut $\alpha =66°25\text{'}19".$

Za $\mathrm{tg}\alpha =0.4$ kut $\alpha =21°48\text{'}5".$

Za određivanje kotangensa opet se snalazimo i prebacujemo na tangens upotrebom tipke $\boxed{1/x}$ ( $\boxed{x^{-1}}$) i nakon toga je postupak kao da određujemo ${\mathrm{tg}}^{-1}.$

Za $\mathrm{c}\mathrm{tg}\alpha =0.4$ $\boxed{1/x}$ daje $\mathrm{tg}\alpha =2.5$ i kut $\alpha =68°11\text{'}55".$

Postupak određivanja kuta od poznate vrijednosti kotangensa kuta možete pogledati u idućoj aktivnosti.

Zadatak 4.

Odredi vrijednosti kutova u stupnjevima, minutama i sekundama ako je:

1. $\sin \alpha =0.03$
2. $\cos \alpha =0.9$​
3. $\mathrm{tg}\alpha =1.4$
4. $\mathrm{ctg}\alpha =10$
5. $\sin \alpha =3.$

Kutak za znatiželjne

Poigrajte se džepnim računalom!

Pokušajte odrediti trigonometrijske vrijednosti za kutove koji su veći ili jednaki $90°$ i za kutove čije su vrijednosti negativne.

Pokušajte odrediti kutove čije su trigonometrijske vrijednosti veće od $1$ i manje od $0.$ Jesmo li na početku pogriješili kad smo ograničili trigonometrijske vrijednosti sinusa i kosinusa na interval $⟨0,1⟩,$ a vrijednosti tangensa i kotangensa na interval $⟨0,+\infty ⟩?$

Odgovore možeš potraži na internetu, u udžbenicima za treći razred ili pitati nastavnike.