x
Učitavanje
  1. Matematika 1
  2. 8. Sukladnost i sličnost
  3. 8.10 Primjena sukladnosti i sličnosti

8.10 Primjena sukladnosti i sličnosti

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Što ću naučiti?
Samostalno učenje
Procijenite svoje znanje
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Geometrija je posvuda...

Na slici je sijeno složeno u obliku rombova.

Geometrijske likove pronalazimo posvuda oko nas.

Na slici su prikazani sukladni rombovi. Romb se često koristi u arhitekturi, građevinarstvu i općenito kao uzorak za dizajn, primjerice tekstila.

Na slici su čarape s uzorkom romba.

Primjer 1.

Kako ćemo opisati romb? Kako konstruirati romb?

Koja od sljedećih svojstava možemo pri tome koristiti? Provjerite konstrukcijom.

Označite svojstva koja vrijede za proizvoljni romb:

Pomoć:

Šest je odgovora točno.

null

Neka od tih svojstava možemo koristiti za definiciju romba. Primjerice:  

Romb je četverokut kojemu su dijagonale međusobno okomite i raspolavljaju se.

Kutak za znatiželjne

  1. Koristeći ovu definiciju, pokažite da su sve stranice romba jednakih duljina.
  2. Uzmite neko drugo svojstvo kao polaznu definiciju pa dokažite preostala svojstva.
Na slici je romb i dijagonale romba.

Trokuti △ A S B , △ C S B , △ C S D , △ A S D međusobno su sukladni prema poučku S-K-S (jer je kut u vrhu S , u kojem se sastaju po dvije njihove stranice, pravi kut zbog okomitosti dijagonala, a kako se dijagonale i raspolavljaju, slijede jednakosti:  A S = C S , B S = D S ).

Drugi dio zadatka pokušajte riješiti analogno sami.

Projekt

Na slici je zmaj u obliku deltoida.

Jednakokračni trapez i deltoid također su često korišteni geometrijski likovi.

Slično kao za romb:

Pokažite...

Primjer 2.

U jednakokračnom trokutu​ △ A B C s osnovicom ​ A B ¯ simetrala kraka ​ A C ¯  siječe pravac na kojem leži osnovica u točki ​ S . Dokažite da je trokut △ S C A  jednakokračan.

Na slici je skica trokuta iz zadatka.

Ovakve se tvrdnje često dokazuju tako da uočimo trokute kojima je jedna stranica ili kut dio traženog trokuta te dokažemo sukladnost uočenih trokuta.

U našem primjeru treba uočiti trokute △ S P A i △ S P C .

Kako je pravac S P simetrala kraka A C ¯ , za promatrane trokute vrijedi:

∠ S P A = ∠ S P C = 90 °

P A = P C .

Uz to je ​ P S ¯ njihova zajednička stranica pa prema poučku S-K-S zaključujemo △ S P A ≅ △ S P C . Ako su trokuti sukladni, sve su im stranice jednakih duljina, što znači da je S A = S C , odnosno trokut ​ △ S C A jest jednakokračan.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Na slici je skica trapeza iz zadatka.

Točke P i Q jednako su udaljene od rubnih točaka na većoj osnovici jednakokračnog trapeza A B C D . Dokažite da su tada i jednako udaljene od nasuprotnih rubnih točaka na manjoj osnovici. Pogledajte sliku.

Dokaz:
Ako je A P = Q B ⇒

 

Kako je trapez jednakokračan, kutovi
 
su sukladni, a stranice
 

Prema poučku
 
 vrijedi
 
, pa su sve njihove stranice jednakih duljina.
Slijedi
 

A D = B C .
∠ D A B i ∠ C B A
Q D = P C . ​
△ A Q D ≅ △ B P C
S-K-S
A Q = Q B .

Pomoć:

Iz P = Q B ⇒ A P + P Q = Q B + P Q ⇒ A Q = Q B .

null

Zadatak 2.

Koji ćete poučak o sukladnosti koristiti da biste dokazali sukladnost obojenog i neobojenog trokuta?

Na označenu crtu ispod slike dovucite odgovor.

Na slici su tri para sukladnih trokuta.

 S-S-S

S-K-S

K-S-K

null
null
Zatvori

Izračunajte...

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Na slici je trokut s nepoznatim veličinama.

Odredite nepoznate veličine sa slike.

Uočimo sličnost trokuta:

△ A B C ∼ △ C B D (prema poučku K-K)
Tada su im odgovarajuće stranice proporcionalne, odnosno vrijedi  x 3.75 = 5 2.5 ⇒ x = 7.5 cm .  

Zadatak 4.

Na slici je trokut kojemu treba izračunati nepoznate elemente.

U trokutu sa slike pravac C F je simetrala kuta ∠ B C A , duljina ​ A C = 8 . Odredite nepoznate elemente.


x = 2 , y = 8 3 , z = 3  

Zatvori

Primjer 3.

Na slici je rijeka i zastavice na mjestima mjerenja.

Na terenskoj su nastavi Marina i Lana trebale izmjeriti širinu rijeke. Od alata su imale samo konop duljine trideset metara (s označenim metrima), kolčiće sa zastavicama i bilježnicu. Izabrale su mjesto ( D ) na obali rijeke s kojeg se, okomito u odnosu na rijeku, na drugoj strani vidi stijena ( C ).

Marina je od mjesta D hodala i vukla konop ravno uz obalu 15 metara gdje je stavila kolčić sa zastavicom ( E ). Zatim je hodala još 6 metara u istom smjeru do točke B , a onda je nastavila okomito u odnosu na rijeku dok nije došla do mjesta gdje vidi zastavicu ( E ) i stijenu ( C ) na istom pravcu. Lana je sve bilježila i ustanovila da je ostao samo jedan metar konopa. Kako su odredile širinu rijeke?

Kako im je ostao 1 metar konopa, udaljenost B A = 8 m .

Zbog sličnosti trokuta slijedi C D 15 = 8 6 ⇒ C D = 20 metara.

Zadatak 5.

Slika prikazuje jezero koje učenici trebaju izmjeriti.

Drugi je par učenika na terenskoj nastavi mjerio širinu jezera sa slike. Opišite jedan način na koji su oni to mogli napraviti. Što su sve u tom slučaju trebali izmjeriti kako bi dobili rezultat od približno 210 metara?

Na slici je jezero i zastavice na mjestima mjerenja.
Odredili su točke A , B , C , D tako da su trokuti △ A B C ∼ △ D E C slični, odnosno da vrijedi ​ A C C D = B C C E . Na kraju su izmjerili duljinu D E te izračunali širina jezera. Duljina D E bi u tom slučaju iznosila 63 metra.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Na slici je sjena čovjeka od reflektora koji osvjetljava zgradu.

Neke se građevine noću osvijetle pomoću reflektora sa zemlje kao na slici. Reflektor se nalazi 30 metara od zgrade. Kad je Ivo stajao 4 metra od reflektora, njegova je sjena na zidu zgrade bila  iste visine kao zgrada. Koliko je visoka zgrada ako je Ivo visok 1.8 metara?

Zgrada je visoka 13.5 metara.

Zadatak 7.

Fotoaparat daje sliku predmeta na fotografskoj ploči koja je udaljena od objektiva 75.5 mm . Slika je 150 puta umanjena. Na kojoj se udaljenosti od objektiva nalazi predmet?

Na slici je skica zadatka.

Poredajte korake u računanju tražene udaljenosti.

  • x 75.5 = D E A B   ​
  •   x = 11325 mm
  • x = 11.325 m
  • x = 75.5 · E D A B
  • x = 75.5 · 150  
null
null

Zadatak 8.

Površine dvaju sličnih trokuta odnose se kao ​ 16 : 9 . Stranica a manjeg trokuta duljine je 6 cm , a visina na tu stranicu v a = 7.5 cm .
Tada je u većem trokutu a ´ =   cm .
Visina v a ´ =   cm .
Površina p ´ = cm 2 . ​
null
null
Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Trapez sa stranicama duljina a = 8 cm , b = 6 cm , c = 5 cm , d = 7 cm treba uvećati tako da novi trapez bude četiri puta veće površine. Stranice uvećanog trapeza iznose:
a ´ = cm ,
b ´ = cm ,
c ´ = cm ,
d ´ =   cm .
null
null

Zadatak 10.

Za polumjere upisanih kružnica dvaju sličnih trokuta vrijedi 2 r - r ´ = 3 , a za površine tih trokuta p ´ = 1.5625 p . Površina manjem trokutu upisane kružnice jest π cm 2 .

Ako je površina manjeg trokuta 40 cm 2 , opseg je većeg trokuta   cm .
null
null

Zadatak 11.

U pravokutnom se trokutu katete odnose kao 2.5 : 6 . Izračunajte polumjer trokutu opisane i upisane kružnice ako je njegova površina ​ 270 cm 2 .

null
null
Zatvori

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 12.

  1. Duljina osnovice trokuta iznosi 9 cm , a visine na osnovicu 6 cm . Na kojoj udaljenosti od vrha trokuta treba povući paralelu s osnovicom tako da njezin odsječak unutar trokuta ima duljinu 3 cm ?

    null
    null

  2. Visina trokuta na osnovicu a   ima duljinu  ​ v a = 4 cm . Na kojoj udaljenosti od osnovice a treba povući paralelu s njom tako da trokut bude podijeljen na dva dijela kojima je omjer površina 5 : 4 gledajući od osnovice?

    null
    null

Zadatak 13.

U pravokutnom trokutu △ A B C hipotenuza jest c = 12 cm , a omjer p : q = 1 : 3 , gdje su p i q ortogonalne projekcije kateta na hipotenuzu. Opseg trokuta iznosi

null
null
Zatvori

Konstruirajte...

Primjer 4.

U proizvoljan trokut treba smjestiti kvadrat kojemu dva vrha leže na jednoj stranici trokuta, a po jedan vrh na svakoj od preostalih stranica trokuta.

...i na kraju

Na slici je majica i logotip.

Logotip

Vaš je zadatak uvećati logotip kako bi ga mogli tiskati na majci. Faktor ili koeficijent uvećanja jest 1 : 4 . Koliku će površinu u kvadratnim jedinicama koordinatnog sustava pokrivati logotip na majci? Koristite GeoGebrin predložak.

Povećaj ili smanji interakciju