10.4 Kugla

Oplošje kugle

Do sada smo oplošja geometrijskih tijela određivali tako da smo pobočja ili plašteve i baze razvili i raširili u ravninu. Kod kugle to nije moguće. Kako god razrezali kuglu i pokušali dio po dio ispraviti u ravnini, nećemo uspjeti i uvjek će dio ostati zakrivljen.

Kako biste si to predočili, uzmite staru loptu i razrežite je što pravilnije s pomoću skalpela (budite oprezni, skalpel je oštar) i pokušajte dobiti oplošje.

Još jedan primjer su geografske karte, koje nikada ne daju iste udaljenosti kao na globusu.

Kako onda dobiti oplošje kugle?

Ako na kuglinoj sferi nacrtamo trokut i izrežemo ga, imat ćemo opet problem da je dio ostao zakrivljen. Taj trokut, sferni trokut, ne možemo zamijeniti ravninskim. Ipak, ako je trokut dovoljno malen, razlika između sfernoga i ravninskog trokuta neće biti prevelika. To je put za izračun oplošja kugle.

Arhimed je do formule za oplošje kugle došao metodom ekshaustije ili iscrpljivanja.

Arhimed zamišlja kako kugla nastaje rotacijom pravilnog $n$-terokuta (kao u animaciji).

Unutar kugle tada imamo dva stošca i $\frac{n}{2}-2$ krnjih stožaca. Zaključuje da je oplošje kugle četiri puta veće od površine njezina najvećeg kruga.

Krug polumjera, tj. radijusa $R$ ima površinu $R^2·\pi ,$ pa je oplošje kugle $4·R^2·\pi .$

Kako bi to izgledalo, pogledajte u animaciji.

Oplošje kugle računamo s pomoću formule:

$O=4·R^2·\pi .$

Primjer 1.

Izračunajmo oplošje kugle čiji je promjer $10\mathrm{cm}.$

Ako je promjer $10\mathrm{cm},$ to znači da je polumjer $5\mathrm{cm}.$ Podatke uvrstimo u formulu za oplošje.

$O=4·R^2·\pi =4·5^2·\pi =100\pi {\mathrm{cm}}^2$ 

Primjer 2.

Umjetnik je zamislio da dio umjetničke skulpture, koja će predstavljati sladoled u kornetu, izradi od aluminija. Donji dio je stožac čija je visina $2\mathrm{m},$ a na njegovu bazu ide polukugla. Baza stošca ima promjer $1.5\mathrm{m}.$ Koliko aluminija umjetnik treba naručiti za izradu skulpture?

Zadatak rješavamo u dva dijela. U prvom računamo plašt stošca, a u drugom oplošje polukugle.

Što nam treba za računanje plašta stošca?

Trebamo polumjer i izvodnicu. Najprije ćemo izračunati izvodnicu iz polumjera i visine.

$s=\sqrt{R^2+v^2}=\frac{\sqrt{73}}{4}=2.14\mathrm{cm}$

Sada možemo izračunati površinu plašta.

$P=R\pi s=5.04{\mathrm{cm}}^2$

Oplošje polukugle je polovica oplošja kugle.

$O_{pk}=\frac{O_k}{2}=2R^2\pi =3.53{\mathrm{cm}}^2$

Materijal koji treba umjetniku jednak je zbroju.

Treba naručiti ​ $8.57{\mathrm{m}}^2$ metara aluminija.

Poredajte formule tako da dobijete postupak izvoda polumjera kugle iz zadanog oplošja.

• $R=\frac{1}{2}·\sqrt{\frac{O}{\pi }}$  ​
• $4R^2\pi =O$  ​
• $O=4R^2\pi$  ​
• $R^2=\frac{O}{4\pi }$  ​

null

null

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Kugla ima oplošje $196\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$ Koliki je polumjer kugle u metrima?

Rješenje

$R=0.07{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$  ​

---

Zadatak 2.

U kuglu je upisan stožac, kao na slici. Izvodnica stošca jednaka je promjeru baze stošca.

Izračunajte omjer oplošja stošca i kugle.

Rješenje

Najprije treba izračunati visinu stošca.

$h=\sqrt{{\left(2r\right)}^2-r^2}=\sqrt{3}·r$

Zatim treba izračunati polumjer kugle. (Što je težišnica i kako težište dijeli težišnicu?)

$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\sqrt{3}r$

Sada računamo oplošja.

$O_{stošca}=3r^2\pi$

$O_{kugle}=\frac{16}{3}{r}^2\pi$

Omjer je $9:16.$

---

Zatvori

Volumen kugle

Volumen kugle polumjera $R$ računamo s pomoću formule:

$V=\frac{4}{3}{R}^3\pi .$

Kako smo dobili tu formulu?

Kada smo tražili oplošje kugle, podijelili smo sferu na $n$ sfernih trokuta. Podijelimo sada kuglu u $n$-piramida kojima je vrh u središtu kugle, visina jednaka polumjeru kugle, a baza sferni trokut.

Volumen svake od malih piramida je $\frac{1}{3}·\left(površinabaze\right)·\left(visina\right).$ Visina svake od piramida jednaka je polumjeru kugle. Dakle, volumen jedne od piramida jest:

$V_1=\frac{1}{3}·B_1·R$

Volumen kugle je zbroj volumena svih piramida.

$\begin{array}{l}V=\frac{1}{3}{B}_1·R+\frac{1}{3}{B}_2·R+...+\frac{1}{3}{B}_n·R\end{array}$

$V=\frac{R}{3}\left(B_1+B_2+...+B_n\right)$

Pogledajmo sada zbroj u zagradi. To su baze piramida. Baze su mali sferni trokuti koji se nalaze na oplošju kugle i zajedno čine oplošje kugle. Izraz u zagradi možemo zamijeniti oplošjem kugle.

$V=\frac{R}{3}·4R^2\pi$

$V=\frac{4}{3}{R}^3\pi$

Volumen kugle možemo dobiti i primjenom Cavalierijeva principa.

Usporedimo polovicu kugle i valjak iste visine (tj. visina je jednaka polumjeru kugle). Iz valjka izvadimo stožac čija se baza podudara s gornjom bazom valjaka, a vrh je u središtu donje baze.

Ta dva tijela postavimo u istu ravninu i presijecimo s ravninom usporednom bazama na udaljenosti $a$ od baza.

Dokažite da je presjek obaju tijela jednak.

Ako su presjeci jednaki, onda je volumen polukugle jednak razlici volumena valjka i stošca.

$V=R^2\pi ·R-\frac{R^2\pi ·R}{3}=\frac{2}{3}{R}^3\pi$

$\begin{array}{l}{V}_{polukugle}=\frac{2}{3}{R}^3\pi \Rightarrow V_{kugle}=\frac{4}{3}{R}^3\pi \end{array}$

Primjer 3.

Oplošje kugle iznosi $121\pi {\mathrm{cm}}^2.$ Izračunajmo volumen kugle.

$R=\frac{1}{2}·\sqrt{\frac{O}{\pi }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{121\pi }{\pi }}=\frac{11}{2}\mathrm{cm}$​

$V=\frac{4}{3}{R}^3\pi =\frac{4}{3}·{\left(\frac{11}{2}\right)}^3\pi =696.56{\mathrm{cm}}^3$ ​

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 3.

Imamo zlatnu kuglu čiji je volumen $\frac{4}{3}\pi {\mathrm{cm}}^3.$ Želimo da zlatar napravi zlatnu kuglu dva puta veću. Koliko zlata trebamo donijeti?

Rješenje

Polumjer početne kugle je $1\mathrm{cm}.$ Polumjer nove kugle treba biti $2\mathrm{cm}.$

Volumen nove kugle je $\frac{32}{3}\pi {\mathrm{cm}}^3.$ Volumen zlata koji trebamo donijeti je $\frac{28}{3}\pi {\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$

---

Zadatak 4.

Volite li sladoled u kornetu? Ako sporo jedemo sladoled, on se topi i završava u kornetu. Polumjer korneta (stošca) jednak je polumjeru kuglice sladoleda. Visina korneta i visina kuglice također su jednake. Ako se kuglica otopi, hoće li stati u kornet ili će dio sadržaja izići izvan korneta?

Rješenje

Trebamo provjeriti je li volumen korneta veći ili manji od volumena kugle.

Volumen kugle dva je puta veći od volumena korneta pa će pola sadržaja završiti izvan korneta.

---

Zadatak 5.

Uparite volumene kugli sa zadanim polumjerom.

$36\pi$	30.529
$972\pi$	30.529
$\frac{32}{3}\pi$  ​	30.529
$\frac{\pi }{6}$  ​	30.529

null

null

Volumen kugle polumjera $\frac{R}{2}$ dan je izrazom:

$\frac{R^2}{6}\pi$  ​

$\frac{R^3}{6}\pi$  ​

$\frac{R^3}{32}\pi .$ ​

null

null

Oplošje kugle $4$ je ​ $16\pi .$

null

null

Oplošje 

 

 četiri je

 

veće od

 

 kruga s

 

 polumjerom.

 istim

površine

 puta

 kugle

null

null

Zadatak 6.

Organizator utrke nudi sudionicima osvježenje u dvama različitim pakiranjima. Jedno je u obliku kugle polumjera $20\mathrm{cm},$ a drugo u obliku valjka koji ima jednaku visinu i polumjer baze $20\mathrm{cm}.$ Koje pakiranje trkač treba uzeti kako bi uzeo najveću količinu tekućine?

Rješenje

Trebamo izračunati volumen jednoga i drugog tijela i usporediti ih. Veći volumen ima kugla. Trkači trebaju izabrati kuglu.

---

Uz „vježbalicu” usavršite računanje volumena i oplošja kugle.

Zatvori

Zanimljivost

Na slici je jedna od najpreciznijih stvorenih kugli, koja u pozadini odbija Einsteinovu sliku. Ova je kugla bila fuzionirani kvarcni žiroskop za pokus Gravity Probe B i razlikuje se od oblika savršene kugle za manje od $10$ nanometara.

Volumen kuglina odsječka i isječka

Ako kuglu presiječemo ravninom, podijelili smo ju na dva dijela. Manji je dio kuglin odsječak.

Volumen kuglina odsječka također možemo odrediti s pomoću Cavalierijeva principa.
Zapravo, usporedbom odsječaka polukugle i tijela dobivena isjecanjem stošca iz valjka.
Kada novonastalo tijelo presiječemo ravninom kao i polukuglu, dobit ćemo:

• ​od polukugle kuglin odsječak
  
• od novog tijela valjak iz kojeg je isječen krnji stožac.

Uz poznate formule za volumen valjka i krnjeg stošca dobijemo volumen kuglina odsječka:

$V_o=\frac{\left(3R-h\right)h^2\pi }{3}$

pri čemu je $h$ visina kuglina odsječka.

Ako iz kugle izvadimo dio koji ima oblik stošca i vrh u središtu kugle, a baza je zakrivljeni dio oplošja kugle, imamo kuglin isječak.

Volumen kuglina isječka dobit ćemo tako da kuglinu odječku dodamo volumen stošca. Visina mu je $R-h,$ polumjer baze $r,$ a izvodnica $R.$

Uz uočavanje pravokutnog trokuta s katetama $R-h$ i $r$ možemo izračunati volumen kuglina isječka:

$V_i=\frac{2}{3}\pi R^{2}h$

Primjer 4.

Domaćica želi iznenaditi goste. Kupila je lubenicu u obliku kugle. Iz lubenice će rezati dijelove u obliku kuglina isječka i poslužiti ih gostima. Polumjer lubenice iznosi $5\mathrm{dm}.$ Polumjer isječka iznosi $3\mathrm{dm}.$ Koliko takvih komada može dobiti od jedne lubenice?

Iz pravokutnog trokuta računamo visinu stošca koja je $4\mathrm{dm}.$ Iz toga slijedi da je visina $h=1\mathrm{dm}.$

Volumen kuglina isječka je $V_i=\frac{50}{3}\pi .$

Volumen kugle je $V_k=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500}{3}\pi .$

Vidljivo je da je volumen isječka deseti dio volumena kugle.

Iz jedne je lubenice moguće dobiti $10$ porcija.

Volumen kuglina sloja

Ako kuglu presiječemo s dvije usporedne ravnine, dobili smo kuglin sloj.

Volumen kuglina sloja možemo izvesti s pomoću polumjera prvoga presječnog kruga $r_1,$ drugoga presječnog kruga $r_2$ i visine sloja, koju ćemo označiti s $h.$

Na isti način na koji smo izveli volumen kugle s pomoću Cavalierijeva principa, možemo to napraviti i za kuglin sloj. Volumen kuglina sloja jednak je volumenu valjka visine $h$ iz kojeg je izrezan krnji stožac iste visine.

$V_{ks}=\frac{\pi h}{6}\left(3{r^2}_1+3{r^2}_2+h^2\right)$

Ako je drugi polumjer jednak nuli, tada imamo još jedan oblik formule za volumen kuglina odsječka:

$V_o=\frac{\pi h}{6}\left(3r^2+h^2\right).$

Uparite formulu za volumen s kuglinim elementom.

Kuglin odsječak	$V=\frac{1}{3}\pi h^2\left(3R-h\right)$
Kuglin sloj	$V=\frac{\pi h}{6}\left(3{r^2}_1+3{r^2}_2+h^2\right)$
Kuglin isječak	$V=\frac{2}{3}{R}^2\pi h$​

null

null

Površina kugline kapice i pojasa

Primjer 5.

Odredimo formulu za površinu kugline kapice.

Možemo postupiti na sličan način na koji smo došli do volumena kugle i obrnuti ga. Kuglu smo razrezali na $n$ malih piramida.

$V=\frac{1}{3}R·O$

Jednako tako, volumen isječka jest:

$V_i=\frac{1}{3}R·P_k$

Sada imamo sljedeće:

$P_k=\frac{3V_i}{R},$ i ako uvrstimo formulu za volumen kuglina isječka, dobit ćemo da je površina kugline kapice:

$P_k=2R\pi h$

Zadatak 7.

Izračunajte površinu kuglina pojasa koristeći se formulom za površinu kugline kapice.

Ako je $R$ polumjer kugle, a $h$ visina kugline kapice i kuglina sloja, onda je njihova površina:

$P=2R\pi h.$