5.1 Opći zakon gravitacije

Keplerovi zakoni

Prvi Keplerov zakon odnosi se na izgled staza planeta i glasi:

Planeti se oko Sunca gibaju po elipsama, a u jednom od žarišta elipsi nalazi se Sunce.

Kepler je prvim zakonom srušio teorije i vjerovanja da se planeti oko Sunca gibaju po kružnicama.

Povezani sadržaji

Iz Matematike znamo da elipsu karakteriziraju dva žarišta ili fokusa ( ${\mathrm{F}}_1$ i ${\mathrm{F}}_{\mathrm{2}}$) koja leže na velikoj osi elipse. Mala os elipse okomita je na veliku os koju siječe u središtu elipse, $\mathrm{C}.$

Polovica duljine velike osi elipse naziva se velika poluos i obično se označava slovom $\mathrm{a},$ a mala poluos slovom $\mathrm{b}.$ 

Žarište u kojem se nalazi Sunce zajedničko je svim eliptičnim stazama jer je Sunce zajedničko (središnje tijelo) svim planetima. Položaji planetarnih staza u prostoru mogu biti veoma različiti jer se velike poluosi elipsi ne podudaraju ni po smjeru, ni po veličini, ni po ravninama u kojima se nalaze. Veličina i izduženost elipse određena je velikom poluosi i ekscentritetom. Velika poluos elipse, tj. planetarne staze $\mathrm{a},$ ujedno je i srednja udaljenost planeta od Sunca, $r.$ Kada je planet najbliži Suncu, kažemo da je tada u perihelu. Kada je planet najudaljeniji od Sunca, nalazi se tada u afelu.

Povezani sadržaji

Dužina koja spaja nasuprotne točke, najbližu i najdalju točku staze (elipse) nekog tijela u gibanju oko središnjega tijela, tj. oko središta gravitacijskog privlačenja, te koja prolazi kroz oba žarišta, u astronomiji se naziva apsida. Kod planetarnih staza apside su perihel i afel, kod Mjesečeve perigej i apogej, a kod staza dvojnih zvijezda periaster i apoaster.

Drugi Keplerov zakon

Iz drugog Keplerova zakona slijedi da se planet po elipsi giba nejednoliko, brže kada je bliži Suncu, tj. u blizini perihela, a sporije kada je dalje od njega, tj. u blizini afela.

Pritom spojnica planet – Sunce u jednakim vremenskim intervalima prebriše jednake površine.

Spojnica planet – Sunce u jednakim vremenskim intervalima prebriše jednake površine.

Treći Keplerov zakon

Kvadrati perioda ophoda, $T,$ planeta oko Sunca odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti, $\mathrm{a,}$ od Sunca.​

$\frac{{T_1}^2}{{T_2}^2}=\frac{{a_1}^3}{{a_2}^3}$ 

$\frac{T^2}{a^3}=k$ 

Pogledajmo animaciju u kojoj su objašnjeni Keplerovi zakoni.

Opći zakon gravitacije

Keplerovi zakoni opisuju kako se planeti gibaju oko Sunca. Međutim, ostalo je otvoreno pitanje zašto se planeti gibaju baš tako, tj. koja je prirodna sila uzrok gibanju planeta.

U 17. stoljeću dolazi do velikog napretka znanosti u području nebeske mehanike. Isaac Newton, jedan od najznačajnih znanstvenika tog razdoblja, opisao je dinamiku gibanja planeta. Tvrdio je da se sva tijela privlače međusobno gravitacijskom silom, bez obzira na njihov sastav, oblik ili veličinu.

Newton je postavio hipotetski model jednoplanetarnog sustava u kojem se jedan planet giba oko Sunca po kružnici i u kojem strogo vrijede Keplerovi zakoni.

Polazeći od tih pretpostavki, uvrstio je u izraz za centripetalnu silu

$F_{cp}=m·a_{cp}$ 

$F_{cp}=\frac{m·v^2}{r}$ 

$F_{cp}=\frac{4·{\pi }^2·r·m}{T^2}$ 

treći Keplerov zakon

$\frac{T^2}{a^3}=\mathrm{k,}$

pri čemu je $a=r$ (srednja udaljenost planeta od Sunca) i dobio izraz za gravitacijsku silu:

$F_{cp}=\frac{4·{\pi }^2}{k}·\frac{m}{r^2}$

odnosno

$F\sim \frac{m}{r^2}$

pri čemu je $m$ masa planeta koji kruži oko Sunca, a $r$ udaljenost planeta od Sunca.​

Provjeru je izvršio na gibanju Mjeseca oko Zemlje.

Osnovno polazište od kojeg je Newton krenuo bilo je da se Zemljina sila teža, tj. sila koja uzrokuje padanje tijela, proteže i na Mjesec. Pretpostavio je da Mjesec pada prema Zemlji kao što pada neki kamen (poznata je anegdota prema kojoj je do te ideje došao kada mu je sa stabla pala jabuka na glavu).

Na temelju teorijskih razmatranja i proračuna te raspoloživih podataka za gibanje Mjeseca zaključio je da Mjesec u gibanju oko Zemlje ima akceleraciju koja je posljedica Zemljina privlačenja. Zaključio je da je akceleracija kojom pada Mjesec toliko puta manja od akceleracije padanja kamena koliko je puta kvadrat polumjera Zemlje manji od kvadrata udaljenosti između središta Zemlje i Mjeseca.

Nakon zaključka da Zemlja privlači Mjesec, kao i kamen, i da se sila privlačenja smanjuje s kvadratom udaljenosti, zaključio je da isto vrijedi i za planete u njihovu gibanju oko Sunca.

Primjenjujući treći Newtonov zakon (2.4. Treći Newtonov zakon) zaključuje da, osim što Sunce djeluje privlačnom silom na sve planete, i svaki planet privlači Sunce jednakom silom, ali suprotne orijentacije.

Tako dolazi do izraza za silu kojom se međusobno privlače planeti i Sunce i koji pokazuje da je sila proporcionalna masama promatranih tijela

$F\sim m_1·m_2$

odnosno obrnuto proporcionalna kvadratu njihove međusobne udaljenosti:

$F\sim \frac{m_1·m_2}{r^2}.$

Newton je pretpostavio, što je kasnije i dokazano, da ta zakonitost vrijedi za sva tijela u svemiru, a ne samo za tijela Sunčeva sustava. Međusobno privlačenje silom Newton je nazvao gravitacijom.

Neka se tijelo mase $m_1$ i tijelo mase $m_2$ nalaze na međusobnoj udaljenosti  $r.$ Tada između njih djeluje gravitacijsko privlačenje.

Tijelo 2 djeluje na tijelo 1 silom $\stackrel{\to }{F_{21}},$ a tijelo 1 na tijelo 2 silom $\stackrel{\to }{F_{12}}.$ Iznosi su tih sila jednaki, ali su suprotne orijentacije.​

Newtonov opći zakon gravitacije (nazvan općim zato što se odnosio na sva tijela, i nebeska i zemaljska) može se iskazati na sljedeći način:

$F=G·\frac{m_1·m_2}{r^2}$

pri čemu je:

$F$ – gravitacijska sila između dvaju tijela

$G$ – univerzalna gravitacijska konstanta koja približno iznosi $\mathrm{6,67}·{10}^{-11}{\mathrm{Nm}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{kg}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$

$m_1$ – masa prvog tijela (kg)

$m_2$ – masa drugog tijela (kg) i

$r$ – međusobna udaljenost između središta dvaju tijela (m).

Gravitacijsku konstantu $G$ prvi je izmjerio lord Henry Cavendish stoljeće nakon nastanka Newtonove teorije.​

Primjer 1.

Usporedimo gravitacijsku silu između dvaju tijela masa $1\mathrm{kg}$ čija su središta udaljena $1\mathrm{m}$ i silu između tijela mase $1\mathrm{kg}$ i Zemlje. Masa Zemlje iznosi ​ $\mathrm{5,97}·{10}^{24}$ $\mathrm{kg},$ a polumjer $6371\mathrm{km}.$

Rješenje

---

Zemlja privlači neku osobu na svojoj površini gravitacijskom silom koja iznosi $800\mathrm{N}$ ( $g=10{\mathrm{ms}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$). Ta osoba privlači Zemlju silom koja je:

$<800\mathrm{N}$

$=800\mathrm{N}$

$>800\mathrm{N.}$

null

 

Gravitacijska sila je sila kojom se Zemlja i osoba na njezinoj površini uzajamno privlače. Ali akceleracije koje pritom dobiju osoba i Zemlja nisu jednake. Masa osobe u navedenom primjeru iznosi $80 \mathrm{kg}$ pa je po drugom Newtonovu zakonu akceleracija koju ta osoba dobije zbog Zemljina privlačenja ​

$a=\frac{800\mathrm{N}}{80\mathrm{kg}}$

$a=10\mathrm{\text{m}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}},$

tj. jednaka je ubrzanju slobodnog pada.

Da bismo odredili akceleraciju Zemlje, uvrstit ćemo njezinu masu $\mathrm{5,97}·{10}^{24}\mathrm{kg}.$

Tada je iznos Zemljine akceleracije:

$a_Z=\frac{800\mathrm{N}}{5.97·{10}^{24}\mathrm{kg}}$ 

$a_Z=\mathrm{1,34}·{10}^{-22}\mathrm{\text{m}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}.$

Pokažite u interakciji da je iznos gravitacijske sile iznimno malen za vrijednosti koje svakodnevno susrećemo kod masa i udaljenosti između njih.

Zadatak 1.

Kolika je gravitacijska sila između Zemlje i Mjeseca? Masa Zemlje iznosi $\mathrm{\text{5,97}}\mathrm{·}{\mathrm{10}}^{\mathrm{24}}\mathrm{kg},$ a masa Mjeseca $\mathrm{\text{7,35}}\mathrm{·}{\mathrm{10}}^{\mathrm{22}}\mathrm{kg}.$ Prosječna udaljenost između Zemlje i Mjeseca iznosi $\mathrm{\text{384}}\mathrm{401}\mathrm{km}.$

Rješenje

---

Newtonov zakon u svojem poznatom obliku vrijedi i u situaciji u kojoj se privlače tijela oblika homogene kugle, tj. kugle koja je posvuda jednake gustoće, i koja se međusobno ne prožimaju. Newton je pokazao da ona gravitacijski djeluju kao da su stegnuta u materijalne točke. Budući da skoro sva nebeska tijela imaju približno oblik kugle, možemo ih smatrati materijalnim točkama pri analizi njihovih gibanja. Čak i ako tijela nisu oblika homogene kugle, ako su dimenzija mnogo manjih od njihove međusobne udaljenosti $r$ , vrijedi aproksimacija kao za slučaj dviju materijalnih točaka. ​

Zadatak 2.

Kako se promijeni gravitacijska sila između dvaju tijela ako se njihova međusobna udaljenost:

1. udvostruči ​
2. utrostruči.
   

Rješenje prikažite na papiru $F,r$ dijagramom. ​

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

1. Izvedite matematičkim putem Keplerove zakone iz Newtonova zakona gravitacije.
   
2. ​ Napišite esej s temom Od geocentričkog sustava svijeta do suvremene kozmologije, u kojem ćete se osvrnuti na povijesni put koji nas je doveo do današnjih spoznaja o svemiru i našem mjestu u njemu.