8.2 Kocka

Odaberimo jedan vrh, na primjer vrh $F.$ Bridovi koji se spajaju u vrhu $F$ su svi međusobno okomiti, $\overline{EF}\perp \overline{FG}\perp \overline{BF}.$​

Oplošje ćemo najlakše odrediti koristeći se mrežom kocke. Odredimo površinu svakog kvadrata sa stranicom duljine $a.$

$O=6·a^2$

Zapišimo izraz za oplošje kocke $O$ zadane duljinom brida ​ $a.$

$O=6·a^2$

$O=6·{1.5}^2$

$O=6·2.25$

$O=13.5$

Oplošje kocke s bridom duljine $1.5\mathrm{m}$ iznosi $13.5{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Napišimo izraz za računanje oplošja kocke $O$ zadane duljinom brida ​ $a$ i uvrstimo oplošje.

$\begin{array}{l}O=6·a^2\\ 150=6·a^2\\ a^2=150:6\\ a^2=25{/}^{\sqrt{2}}\\ a=5\end{array}$   ​

Duljina brida kocke $a$ oplošja $150{\mathrm{dm}}^2$ iznosi $5\mathrm{dm}.$ ​

Kako bismo odredili cijenu ploča potrebnih za oblaganje, moramo izračunati koliku površinu one trebaju prekrivati. Ta je površina jednaka oplošju $O$ kocke brida duljine $a=180\mathrm{cm}=1.8\mathrm{m}.$

$\begin{array}{l}O=6a^2\\ O=6·{1.8}^2\\ O=6·3.24\\ O=19.44{\mathrm{m}}^2\end{array}$ 

Također treba odrediti i površinu koju prekriva jedna ploča dimenzija $1700\mathrm{mm}\times 2500\mathrm{mm}.$

Preračunano u metre površina jedne ploče iznosi $1.7·2.5=4.25{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}.$

Kako bismo saznali broj ploča, podijelimo ukupnu površinu s površinom jedne ploče:

$19.44:4.25=4.57$

Iznos nije cjelobrojan pa možemo zaključiti kako je minimalni broj ploča koji treba kupiti $5.$

Cijena je pet ploča $c_5$ jednaka broju ploča pomnoženom s cijenom jedne koja iznosi $100.63\mathrm{kn}.$

$c_5=5·100.63=503.15$

Cijena će oblaganja kućice iznositi $503.15$ kuna.

Rastvorimo kocku u njezin ravninski prikaz, mrežu.

Uočimo trokute $EFD$ i $ETB.$

Ti su trokuti slični jer imaju dva sukladna kuta. Svaki od njih ima pravi kut, a kut $\angle DEF$ je zajednički.
Slični trokuti imaju stranice u istom omjeru.

Označimo udaljenosti kao $\left|AB\right|=a$ , $\left|TB\right|=x,$ tražimo $a:x.$

$\begin{array}{l}a:x=\left(a+\frac{a}{2}\right):\frac{a}{2}\\ a:x=\frac{3a}{2}:\frac{a}{2}\\ a:x=\frac{3{\cancel{a}}^1}{{\bcancel{2}}_1}·\frac{{\bcancel{2}}^1}{{\cancel{a}}_1}\\ a:x=3:1\end{array}$

Omjer dužina iznosi $3:1.$

Najkraća je udaljenost vrhova $A$ i $G$ prostorna dijagonala kocke.

Zapišimo izraz za duljinu prostorne dijagonale i uvrstimo duljinu brida kocke $a=5\mathrm{cm}.$

$D=a\sqrt{3}$ 

$D=5\sqrt{3} \mathrm{cm}$ 

$D\approx 8.66 \mathrm{cm}$ 

Duljina prostorne dijagonale kocke brida $a=5\mathrm{cm}$ iznosi $5\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Zapišimo izraz za duljinu prostorne dijagonale i uvrstimo duljinu brida kocke $\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

$\begin{array}{l}D=a\sqrt{3}\\ D=\sqrt{3}·\sqrt{3}\\ D=3\end{array}$ 

Duljina prostorne dijagonale kocke brida $a=\sqrt{3}\mathrm{cm}$ iznosi $3\mathrm{cm}.$

Za oplošje kocke treba nam duljina brida kocke. Duljinu ćemo brida kocke izračunati iz duljine prostorne dijagonale.

$\begin{array}{l}D=a\sqrt{3}\\ 12=a\sqrt{3}\\ a=\frac{12}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ a=\frac{12\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^2}\\ a=4\sqrt{3}\end{array}$

Izračunajmo oplošje.

$\begin{array}{l}O=6a^2\\ O=6·{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\\ O=6·16·3\\ O=288\end{array}$ 

Oplošje kocke s prostornom dijagonalom duljine $12$ iznosi $288.$

Površinu dijagonalnog presjeka kocke računamo po formuli:

​ $\begin{array}{l}{p}_{dp}=a^2\sqrt{2}\\ p_{dp}=5^2\sqrt{2}\\ p_{dp}=25\sqrt{2}\\ p_{dp}\approx 35.36{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\end{array}$  

Izračunajmo opseg dijagonalnog presjeka $o_{dp}.$

Dijagonalni je presjek kocke pravokutnik.

Duljina je jedne stranice jednaka duljini brida kocke $a.$

Druga je stranica jednaka duljini plošne dijagonale kocke $d=a\sqrt{2}.$

Opseg je zbroj duljina stranica

$\begin{array}{l}{o}_{dp}=2a+2a\sqrt{2}\\ o_{dp}=2·5+2·5\sqrt{2}\\ o_{dp}=10+10\sqrt{2}\\ o_{dp}=10\left(1+\sqrt{2}\right)\approx 2.41\mathrm{m}\end{array}$

Za oplošje kocke trebamo duljinu brida kocke​ $a,$ koju ćemo odrediti iz površine dijagonalnog presjeka.

$\begin{array}{l}{p}_{dp}=a^2\sqrt{2}\\ 18\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}/:\sqrt{2}\\ a^2=18\end{array}$

Nije potrebno korjenovati jer nam za oplošje treba baš ​ $a^2.$

$\begin{array}{l}O=6a^2\\ O=6·18\\ O=108{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}\end{array}$

Oplošje kocke dijagonalnog presjeka ​ $18\sqrt{2}\mathrm{cm}$ iznosi $108{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Napišimo izraz za računanje volumena kocke $V$ brida duljine $a$ i uvrstimo zadanu duljinu brida.

$\begin{array}{l}V=a^3\\ V=5^3\\ V=125{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

Volumen kocke duljine brida ​ $a=5\mathrm{m}$ iznosi $125{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Kako bismo našli duljinu brida kocke zadanog volumena, moramo odrediti broj koji pomnožen tri puta sam sa sobom daje $8,$ odnosno koji broj je kub zadanog broja.

$\begin{array}{l}8=2·2·2=2^3\\ a=2\end{array}$

Duljina brida kocke čiji je volumen ​ $V=8{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ iznosi $.$ $a=2\mathrm{m}$

Treba izračunati volumen te zgrade te ga pomnožiti s jediničnom cijenom komunalnog doprinosa.

$\begin{array}{l}V=a^3\\ V={9.5}^3\\ V=857.375{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

Pomnožimo taj iznos s jediničnom cijenom.

Komunalni doprinos za tu građevinu iznosi $\mathrm{<!--EndFragment-->\; 857.375}·118=101170.25$ kuna.

Za volumen nam treba duljina brida $a.$ Duljinu ćemo brida izračunati iz zadanog oplošja.

$\begin{array}{l}O=6a^2\\ 294=6a^2\\ a^2=294:6\\ a^2=49{/}^{\sqrt{}}\\ a=7\end{array}$ 

Izračunajmo volumen.

$\begin{array}{l}V=a^3\\ V=7^3\\ V=343{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\end{array}$ 

Volumen kocke oplošja $294{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ iznosi $343{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

1. Duljina je brida $0.35\mathrm{mm}.$

   $\begin{array}{l}V=a^3\\ V={0.35}^3\\ V=0.042875{\mathrm{mm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$
   

2. Kako bismo dobili maksimalni iznos takvih kristala u kocki duljine brida $1\mathrm{cm},$ izračunajmo volumen te kocke i podijelimo ga s volumenom kristala soli.

   $\begin{array}{l}V=a^3\\ V=1^3\\ V=1{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$
   

   Podijelimo volumene.

   $1{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{:}0.042875{\mathrm{mm}}^3=1000{\mathrm{mm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{:}0.042875{\mathrm{mm}}^3=23323.61516$

   Maksimalni bi broj cijelih kristalića bio $23323.$
   

Na slici je $10$ kocaka. Izračunajmo volumen jedne kocke i pomnožimo ga s $10$ .

$\begin{array}{l}V=10a^3\\ V=10·{1.5}^3\\ V=10·3.375\\ V=33.75{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

Ukupan volumen iznosi $33.75{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$

Na slici je $10$ kocaka. Izračunajmo volumen jedne kocke i pomnožimo ga s $10.$

$\begin{array}{l}V=10a^3\\ V=10·{\sqrt{5}}^3\\ V=10·\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{5}\\ V=10·{\sqrt{5}}^2·\sqrt{5}\\ V=50\sqrt{5}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

Ukupan volumen iznosi $50\sqrt{5}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$

Za volumen početne kocke treba nam duljina njezina brida. Označimo duljinu brida početne kocke s $x.$ Tada vrijedi:

$\begin{array}{l}6{\left(x-12\right)}^2=1944\\ {\left(x-12\right)}^2=1944:6\\ {\left(x-12\right)}^2=324{/}^{\sqrt{}}\\ x-12=\pm \sqrt{324}\\ x-12=\pm 18\\ x_1=12+18=30\\ \cancel{x_2}=12-18=-6<0\end{array}$

Duljina brida mora biti veća od nule stoga negativno rješenje odbacimo i uzmemo rješenje $30\mathrm{cm}.$

Volumen tražene kocke iznosi:

$\begin{array}{l}V=a^3\\ V={30}^3\\ V=27000{\mathrm{cm}}^3\end{array}$