Kocka je kvadar sa svim bridovima jednake duljine.
Ima
8 vrhova,
12 bridova i
6 strana.
Svi su bridovi, osnovni i pobočni, jednake duljine.
Bridovi kocke:
¯AB,¯BC,¯CD,¯DA,¯AE,¯BF,¯CG,¯DH,¯EF,¯FG,¯GH i
¯HE.
BazeABCD, EFGH i pobočkeBCGF,DCGH,DAEH,ABFE su sukladnikvadrati.
Bilo koja strana može preuzeti ulogu baze.
Zanimljivost
Platonova tijela: tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar
Kocka je jedno od pet Platonovih tijela.
Svakom je tijelu Platon dao značenje nekog od pet elemenata: zemlja, zrak, voda, vatra i život.
Kocka je predstavljala vodu.
Na poveznici možete promatrati njihove 3D animacije.
Odnosi bridova i strana kocke
Primjer 1.
Odredimo u kakvu su međusobnom odnosu bridovi kocke koji se spajaju u jednom njezinu vrhu.
Odaberimo jedan vrh, na primjer vrh
F.
Bridovi koji se spajaju u vrhu Fsu svi međusobno okomiti,
¯EF⊥¯FG⊥¯BF.
Primjer 2.
Odredimo u kakvu su međusobnom odnosu parovi susjednih strana kocke.
okomitost susjednih strana kocke
Susjedne su strane kocke međusobno okomite.
Zadatak 1.
Odredimo u kakvu su međusobnom odnosu parovi nasuprotnih strana kocke.
Paralelnost (usporednost) nasuprotnih strana kocke
Parovi nasuprotnih strana kocke su paralelni (usporedni).
Sad kada smo ponovili osnovne odnose strana i bridova kocke, možemo učiti o njezinim osnovnim mjerljivim obilježjima:
Mjerljivo obilježje
Dogovorna oznaka
duljina brida kocke
a
oplošje kocke
O
volumen (obujam) kocke
V
duljina plošne dijagonale kocke
d
duljina prostorne dijagonale kocke
D
Kocku ćemo nadalje označavati njezinim osnovnim mjerljivim svojstvom, duljinom brida. Duljinu ćemo brida označavati malim pisanim slovom, najčešće
a.
Naravno, može se upotrijebiti i bilo koje drugo slovo abecede.
Mreža kocke
Primjer 3.
Petrina se sestra igrala drvenom kockom i temperama. Svaku je stranu kocke obojila jednom bojom i napravila otisak na papiru. Što je na taj način nacrtala?
Otiskujući svaku stranu samo jednom, napravila je jednu mrežu kocke.
Mreža je kocke ravninski prikaz svih strana kocke.
Mreža kocke brida duljinea sastoji se od šest kvadrata sa stranicom duljinea.
Primjer 4.
Predstavlja li svaki oblik sastavljen od šest sukladnih kvadrata kocku? Odgovor potražimo u animaciji koja slijedi.
Duljina brida kocke iznosi
a=6cm. Oplošje te kocke iznosicm2.
Kocka oplošja
486mm2
ima brid duljine
Pomoć:
O=6a2
Postupak:
O=6a2486=6a2a2=81/√|a|=9a1,2=±9a=9mm
Kocka s bridom duljine
0.2m ima oplošje iznosa
dm2.
Pomoć:
O=6a2
Postupak:
O=6a2O=6·0.22O=6·0.04O=0.24O=24dm2
Oplošje kocke iznosi
24dm2.
Duljina brida te kocke iznosi
cm.
Pomoć:
O=6a2
Postupak:
O=6a224=6a2a2=4/√|a|=2a1,2=±2a=2dm=20cm
Duljina brida kocke iznosi
10√2cm. Njezino oplošje iznosi
cm2.
Pomoć:
O=6a2
Postupak:
O=6a2O=6·(10√2)2O=6·100·2O=1200cm2
Zadatak 5.
U sljedećoj aktivnosti uvježbajte izračun oplošja kocke sa zadanom duljinom brida i izračunavanje duljine brida kocke iz zadanog oplošja kocke. (Točni rezultati unutar greške 0.2).
Zadatak 6.
Rubikova kocka
Rubikova kocka ima brid duljine
5.75cm. Koliko približno iznosi obojena površina Rubikove kocke?
Obojeni je dio Rubikove kocke jednak oplošju
Okocke s bridom duljine a=5.75cm.
Kućicu na drvetu koja ima oblik kocke cijelu treba iznutra obložiti vodootpornim pločama. Visina unutrašnjosti kućice iznosi
180cm. Cijena vodootporne ploče dimenzija
1700mm×2500mm iznosi
100.63kn. Kolika će biti minimalna cijena šperploče potrebne za cjelokupno oblaganje unutrašnjosti kućice?
Kako bismo odredili cijenu ploča potrebnih za oblaganje, moramo izračunati koliku površinu one trebaju prekrivati. Ta je površina jednaka oplošju Okocke brida duljine a=180cm=1.8m.
O=6a2O=6·1.82O=6·3.24O=19.44m2
Također treba odrediti i površinu koju prekriva jedna ploča dimenzija 1700mm×2500mm.
Preračunano u metre površina jedne ploče iznosi 1.7·2.5=4.25m2.
Kako bismo saznali broj ploča, podijelimo ukupnu površinu s površinom jedne ploče:
19.44:4.25=4.57
Iznos nije cjelobrojan pa možemo zaključiti kako je minimalni broj ploča koji treba kupiti 5.
Cijena je pet ploča c5 jednaka broju ploča pomnoženom s cijenom jedne koja iznosi
100.63kn.
c5=5·100.63=503.15
Cijena će oblaganja kućice iznositi 503.15 kuna.
Povezani sadržaji
Na slici je prikazana kocka brida duljine
24cm. Točka
F je na polovištu brida, a točka
E je vrh kocke. Koliko iznosi najkraći put kojim će pauk, hodajući po stranama kocke, iz točke
F stići u točku
E?
Povezani sadržaji
Na slici je prikazana kocka brida duljine
24cm. Točka E je na polovištu brida, a točka Fje vrh kocke. Točka T nalazi se na presjeku brida i najkraće spojnice točaka E iFkoja pripada susjednim stranama kocke. Točke A i Bvrhovi su kocke. Odredite omjer dužina
|AB|:|TB|.
Rastvorimo kocku u njezin ravninski prikaz, mrežu.
Uočimo trokute EFD i ETB.
Ti su trokuti slični jer imaju dva sukladna kuta. Svaki od njih ima pravi kut, a kut
∠DEF je zajednički. Slični trokuti imaju stranice u istom omjeru.
Označimo udaljenosti kao
|AB|=a
,
|TB|=x, tražimo
a:x.
a:x=(a+a2):a2a:x=3a2:a2a:x=3a121·21a1a:x=3:1
Omjer dužina iznosi
3:1.
Dijagonale kocke
Primjer 8.
Na slici je kocka ABCDEFGHbrida duljine
a.
Odredimo najkraću udaljenost vrhovaA i
G.
Najkraća je udaljenost vrhovaA i
Gprostorna dijagonala kocke.
Prostorna dijagonala kocke
je spojnica dvaju nasuprotnih vrhova kocke koji ne pripadaju istim stranama kocke.
Zanimljivost
Kocka ima četiri prostorne dijagonale koje se sijeku u jednoj točki. Međusobno se raspolavljaju. Točka S središte je kocke.
Promotrimo sliku. Prostorna je dijagonala hipotenuza pravokutnog trokuta. Jedna je kateta brid kocke, a druga je plošna dijagonala, tj. dijagonala kvadrata.
Duljinu ćemo prostorne dijagonale označiti s D.
Primjer 9.
Izrazimo duljinu prostorne dijagonale kocke
D s pomoću duljine brida kocke
a.
Podsjetimo se: duljina dijagonale kvadrata stranice duljine
a iznosi
d=a√2.
D2=a2+d2D2=a2+(a√2)2D2=a2+a2√22D2=a2+2a2D2=3a2/√
√D2=√3·√a2D=a√3
Duljina prostorne dijagonale kocke
Dbrida duljine a
je D=a√3.
Volumen je kocke jednak broju jediničnih kocaka koje ju potpuno popune.
Na primjer, broj je jediničnih kocaka velike kocke na slici jednak
Mjerne su jedinice za volumen kubne mjerne jedinice:
...
Obujam ili volumen je broj jediničnih kocaka koje u potpunosti popunjavaju tijelo.
Volumen ili obujam kocke s bridom duljine
računa se po formuli
Primjer 16.
U sljedećoj aktivnosti odaberite duljinu brida kocke na klizaču. Popunite odabranu kocku jediničnim kockama i odredite volumen (obujam) te kocke. Jedinične kocke odaberite s iste razine na koju želite slagati.
Primjer 17.
Izračunajmo volumen kocke duljine brida
Napišimo izraz za računanje volumena kocke
brida duljine
i uvrstimo zadanu duljinu brida.
Volumen kocke duljine brida
iznosi
Primjer 18.
Izračunajmo duljinu brida kocke čiji
volumen
iznosi
Kako bismo našli duljinu brida kocke zadanog
volumena, moramo odrediti broj koji pomnožen tri puta sam sa sobom daje
odnosno koji broj je kub zadanog broja.
Duljina brida kocke čiji je
volumen
iznosi
Primjer 19.
Kada moramo odrediti koji je broj kub zadanog broja (obično je to volumen), najsigurnija je metoda rastavljanje broja na proste faktore i traženje među njima tri istovrsna faktora.
Evo primjerakubovaprvih deset prirodnih brojeva.
Zadani broj – volumen
Rastav broja
Kub
Zadatak 11.
Komunalni doprinos mora platiti svaki vlasnik objekta pri njegovoj izgradnji i obračunava se cijenom po metru kubičnom. U Zagrebu je najveća cijena u prvoj građevnoj zoni
Obitelj je sagradila novu dvorišnu gospodarsku zgradu oblika kocke duljine brida metara. Koliko će iznositi komunalni doprinos za tu građevinu?