Matematika 5 - 4.2 Simetrala dužine i njezina svojstva

Dužina

Na pravcu $p$ istaknute su dvije točke, $F$ i $G$ .

Dužina

Dio pravca omeđen dvjema istaknutim točkama nazivamo dužina.

Istaknute točke $F$ i $G$ pripadaju dužini i one su krajnje ili rubne točke dužine.

Dužinu s krajnjim točkama $F$ i $G$ označavamo oznakom $\bar{F G}$ ili $\bar{G F} .$

Duljinu dužine $\bar{F G}$ označavamo $|F G| .$

Sukladne dužine

Za dvije dužine $\bar{A B}$ i $\bar{C D}$ kažemo da su sukladne ako imaju jednake duljine, tj. ako vrijedi $|A B| = |C D| .$

Činjenicu da su dužine $\bar{A B}$ i $\bar{C D}$ sukladne simbolički zapisujemo $\bar{A B} ≅ \bar{C D} .$

Primjer 1.

Na pravcu $p$ istaknute su četiri točke, $A,$ $B,$ $C$ i $D$ , kao na slici.

Ispišimo sve dužine koje određuju te točke.

4 točke na pravcu

Na slici su prikazane dužine $\bar{A B},$ $\bar{A C},$ $\bar{A D},$ $\bar{B C},$ $\bar{B D}$ i $\bar{C D} .$

Pet točaka na pravcu — 5 točaka na pravcu

Zadatak 1.

Na pravcu $p$ istaknuto je pet točaka, $J,$ $K,$ $L,$ $M$ i $N$ , kao na slici. Koliko dužina određuju te točke?

Zadatak možemo riješiti sustavnim ispisivanjem svih dužina, kao u prošlom primjeru.

No, možemo ga riješiti i prebrojavanjem.

Kao prvu rubnu točku možemo odabrati bilo koju od pet istaknutih točaka. Kao drugu rubnu točku možemo odabrati bilo koju od preostalih četiriju točaka. To bi značilo da tih pet točaka određuje ukupno $4 \cdot 5 = 20$ dužina. Ipak, broj dužina je dvostruko manji jer je, npr., $\bar{J K}$ ista dužina kao i $\bar{K J} .$

Dakle, pet točaka pravca određuje ukupno 10 dužina.

Dvije su dužine paralelne ako su paralelni pravci kojima te dužine pripadaju.

Dvije su dužine okomite ako su okomiti pravci kojima te dužine pripadaju.

Primjer 2.

Četverokut $A B C D$ na slici je pravokutnik.

Uočimo na slici

a) parove okomitih dužina,

b) parove paralelnih dužina,

c) parove sukladnih dužina.

Pravokutnik

a) $\bar{A B} ⊥ \bar{B C},$ $\bar{B C} ⊥ \bar{C D},$ $\bar{C D} ⊥ \bar{D A},$ $\bar{D A} ⊥ \bar{A B} .$

b) $\bar{A B} ∥ \bar{C D},$ $\bar{A D} ∥ \bar{B C} .$

c) $\bar{A B} ≅ \bar{C D},$ $\bar{A D} ≅ \bar{B C} .$

Zadatak 2.

Četverokut $P Q R S$ na slici je kvadrat.

Označi istinite tvrdnje.

\bar{P Q} ⊥ \bar{R S}

P Q ∥ R S

P Q = R S

|P Q| = |R S|

\bar{P Q} ≅ \bar{R S}

null

Polovište i simetrala dužine

Pokreni interakciju i promatraj udaljenost istaknutih točaka od rubova nacrtane dužine.

Ravnalom je mjerena udaljenost pojedine točke dužine od obiju rubnih točaka. Među točkama ističe se točka dužine koja je jednako udaljena od obiju rubnih točaka.

Polovište dužine

Točka $P$ dužine $\bar{A B}$ koja je jednako udaljena od rubnih točaka dužine naziva se polovište dužine.

$|A P| = |P B|$

Zadatak 3.

Duljina dužine $\bar{A B}$ je $46 mm .$ Kolika je udaljenost polovišta te dužine od rubnih točaka dužine?

$46 mm$

$92 mm$

$23 mm$

Pomoć:

Polovište dijeli dužinu na dva dijela jednakih duljina.

Postupak:

$46 : 2 = 23 mm$
Točka $P$ je polovište dužine $\bar{A B},$ pri čemu je točka $P$ od točke $A$ udaljena $48 mm .$ Kolika je duljina dužine $\bar{A B} ?$

$24 mm$

$96 mm$

$48 mm$

Pomoć:

Točka $P$ je polovište dužine $\bar{A B} .$ To znači da je točka $P$ i od točke $A$ i od točke $B$ udaljena $48 mm .$

Postupak:

$48 + 48 = 96 mm$

Naučili ste da je svakom točkom ravnine moguće nacrtati beskonačno mnogo pravaca.

Promotrimo nekoliko pravaca koji prolaze polovištem $P$ dužine $\bar{A B} .$

Među nacrtanim pravcima ističe se jedan, onaj koji je okomit na dužinu $\bar{A B} .$

Simetrala dužine

Pravac koji prolazi polovištem dužine i okomit je na tu dužinu nazivamo simetrala dužine.

Zanimljivost

U svojem djelu Elementi grčki matematičar Euklid (rođen oko 365. g. pr. Krista) postavio je i riješio problem podjele dužine na jednake dijelove. Podjelu dužine na dva dijela jednakih duljina (tj. konstrukciju simetrale i polovišta) opisao je i dokazao slično opisanom postupku.

Svojstva simetrale dužine

Praktična vježba

Zadatak 4.

Koristeći se apletom, izmjeri udaljenost točke koja pripada simetrali dužine od rubnih točaka te dužine.

Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od rubnih točaka dužine.

Zadatak 5.

Koristeći se apletom, nacrtaj kružnicu sa središtem u točki na simetrali dužine koja prolazi jednom rubnom točkom dužine.

Svaka točka simetrale dužine središte je kružnice koja prolazi objema rubnim točkama dužine.

Konstrukcija simetrale dužine

Primjer 3.

Konstruirajmo simetralu dužine $\bar{A B} .$

Pri konstrukciji simetrale dužine postupamo na sljedeći način:

1. oko točke $A$ opišemo kružnicu koja prolazi točkom $B$

2. oko točke $B$ opišemo kružnicu koja prolazi točkom $A$

3. konstruiramo pravac koji prolazi sjecištima nacrtanih kružnica – taj je pravac tražena simetrala dužine $\bar{A B}$

Simetrala dužine siječe dužinu u njezinu polovištu.

Pogledajte animirane postupke konstrukcije simetrale dužine.

Primjena svojstava simetrale

Primjer 4.

Konstruirajmo dužinu $\bar{A B}$ na zadanom pravcu $p$ ako je točka $A$ njezina rubna točka uz uvjet da simetrala te dužine prolazi točkom $T .$

Druga rubna točka dužine