3.2. Bohrov model i spektar zračenja vodikovog atoma

Najjači argument u prilog Bohrovim idejama bilo je njegovo uspješno tumačenje vodikovog spektra, odnosno Rydbergove i Balmerove empirijske formule.

Bohr je to učinio na sljedeći način:

Rydbergovu formulu je, koristeći izraz [latex]\frac{1}{\lambda }=\frac{f}{c}[/latex] napisao u obliku:

[latex]f=cR_∞(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2})[/latex][latex]{\Huge /}\cdot h[/latex]

[latex]hf=cR_∞h(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2})[/latex].

Primjenom drugog postulata:                           

[latex]hf=E_n-E_m[/latex]

slijedi:

U Bohrovom kvantnom uvjetu je:

[latex]n[/latex] = 1,2,3,...    

[latex]n[/latex] ... kvantni broj

[latex]r[/latex] ... polumjer kružne putanje elektrona u atomu

[latex]p[/latex] ... iznos količine gibanja elektrona koji jednoliko kruži

[latex]h[/latex] ... Planckova konstanta,  [latex]h = [/latex]6,626 · 10^-34 Js

Kutna količina gibanja određena je relacijom:

[latex]L=r·p[/latex]

Uvršavanjem relacije za količinu gibanja [latex]p=mv[/latex] slijedi:

[latex]L=mrv[/latex]

Uvođenjem kvantnog uvjeta, Bohr na jednostavan način izračunava svojstva vodikova atoma. Na taj način odredio je polumjere stacionarnih putanja, brzinu gibanja elektrona, energiju elektrona na tim stazama odnosno matematički izraz za energijski spektar vodikovog atoma koji je u skladu s pokusima.

Uzrok kružnom gibanju elektrona oko jezgre je centripetalna sila, a ovdje ulogu centripetalne sile ima Coulombova električna sila kojom jezgra (+e) djeluje na elektron (-e).

[latex]F_{cp}=F_{el}[/latex]

Uvršavanjem izraza za centripetaknu silu i Coulombovog zakona slijedi:

[latex]\dfrac{1}{4\pi \epsilon _o}\cdot \dfrac{e^2}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}[/latex]

Ako brzinu izrazimo pomoću količine gibanja

[latex]p=mv\Rightarrow v=\dfrac{p}{m}\Rightarrow v^2=\dfrac{p^2}{m^2}[/latex]

dobije se

[latex]\dfrac{1}{4\pi \epsilon _o}\cdot \dfrac{e^2}{r^2}=\dfrac{m}{r}\dfrac{p^2}{m^2}[/latex]

Odnosno

[latex]\dfrac{m}{4\pi \epsilon _o}\cdot \dfrac{e^2}{r}={p^2}[/latex][latex]{\Huge /}\cdot r^2[/latex]

[latex]\dfrac{m}{4\pi \epsilon _o}\cdot {e^2}r=(pr)^2[/latex]

Uvrštavanjem                                                               [latex]r\cdot p=n\dfrac{h}{2\pi }[/latex]

dolazimo do jednakosti                                    [latex]\dfrac{m}{4\pi \epsilon _o}\cdot e^2r={n^2}\dfrac{h^2}{4\pi ^2}[/latex]

Konačno slijedi:

Pokažite da vrijedi jednakost kojom se iskazuje veza između kinetičke i potencijalne energije u vodikovu atomu

[latex]E_k=-\dfrac{1}{2}E_p[/latex]

i da je ukupna energija

[latex]E=-E_k[/latex]

Uvrstimo izraz za centripetalnu silu u izraz za kinetičku energiju elektrona:

[latex]E_k=\dfrac{m{v^2}}{2}=\dfrac{r}{2}\cdot \dfrac{m{v^2}}{r}=\dfrac{r}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi \epsilon _o}\cdot \frac{e^2}{r^2}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi \epsilon _o}\cdot \frac{e^2}{r}=-\dfrac{1}{2}E_p[/latex]

Ukupna energija elektrona je:

[latex]E=E_k+E_p=-\dfrac{1}{2}E_p+E_p=\dfrac{1}{2}E_p=-E_k[/latex]

Na osnovu prethodnih razmatranja energija stacionarnih stanja određena je relacijom:

[latex]E_n=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi \epsilon _o}\cdot \dfrac{e^2}{r_n}[/latex]

 Ako se u prethodnu jednakost uvrsti izraz za polumjer r_n ,   [latex]r_n=n^2\dfrac{h^2\varepsilon _0}{\pi me^2}[/latex]

slijedi

 [latex]E_n=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4\pi \epsilon _0}\cdot \dfrac{e^2\pi me^2}{\pi ^2h^2\epsilon _0}=-\dfrac{1}{8}\dfrac{e^4m}{\epsilon ^2_0h^2}\cdot \dfrac{1}{n^2}[/latex]

Vodikov atom koji se nalazi u prvom pobuđenom stanju izložen je snopu elektrona kinetičke energije 2,7 eV. Koji su energijski prijelazi mogući? Skicirajte te prijelaze.

Energije vodikova atoma u osnovnome, prvom, drugom, trećem i četvrtom pobuđenom kvantnom stanju redom jesu -13,6 eV, -3,39 eV, -1,51 eV, -0,85 eV i -0,54 eV.

Energija vodikovog atoma u prvom pobuđenom stanju je [latex]E_2=-3,39eV[/latex]

Za prijelaz iz prvog pobuđenog u drugo pobuđeno stanje, atom vodika mora dobiti energiju:

[latex]E_{23}=-1,51eV-(-3,39eV)=1,88eV[/latex]

Da bi atom prešao iz prvog pobuđenog u treće pobuđeno stanje potrebna je energija:

[latex]E_{24}=-0,85eV-(-3,39eV)=2,54eV[/latex]

Za prijelaz u četvrto pobuđeno stanje potrebno je primiti energiju:

[latex]E_{25}=-0,54eV-(-3,39eV)=2,85eV[/latex]

Upadni elektroni energije 2,7 eV omogućuju jedino prijelaze iz prvog pobuđenog u drugo i treće pobuđeno kvantno stanje. Elektron nema dovoljno energije za prijelaz atoma u 4. pobuđeno kvantno stanje.

Pokažite da pobuđeni vodikov atom koji se nalazi u stanju n=3 može apsorbirati vidljivu svjetlost bilo koje valne duljine. To su valne duljine između 380 nm i 780 nm.

Energije vodikova atoma drugom pobuđenom kvantnom stanju je  -1,51 eV.

[latex]E_{lj}=h\frac{c}{\lambda }=6,626\cdot 10^{-34}Js\frac{3\cdot 10^8ms^{-1}}{3,8\cdot 10^{-7}m}=5,231\cdot 10^{-19}J=3,27eV[/latex]

[latex]E_{c}=h\frac{c}{\lambda }=6,626\cdot 10^{-34}Js\frac{3\cdot 10^8ms^{-1}}{7,8\cdot 10^{-7}m}=2,545\cdot 10^{-19}J=1,59eV[/latex]

Fotoni vidljive svjetlosti imaju energije u intervalu 1,59 eV i 3,27 eV.

Energija veze elektrona u stanju n=3 je 1,51 eV pa su energije u ovom intervalu su dostatne da vodikov atom bude ioniziran.

Elektron ima kinetičku energiju u rasponu:

[latex]\triangle E_{lj}=-1,51eV+3,27eV=1,76eV[/latex]

[latex]\triangle E_{ljc}=-1,51eV+1,59eV=0,08eV[/latex]

Stoga je moguće da svi fotoni vidljive svjetlosti budu apsorbirani.