Matematika 4 - 2.2 Aritmetički niz

Na početku...

Slaganje kvadrata od šibica. — Šibice u nizu

Luka slaže šibice u nizove kvadrata kao na slici. Prvo složi jedan kvadrat, onda dva kvadrata u nizu, tri kvadrata u nizu i tako dalje. Koliko će mu komada šibica trebati da složi $10$ kvadrata u jednome nizu? Može li neki niz kvadrata složiti od točno $200$ komada šibica?

Možda ste uočili da je jedan kvadrat složen od $4$ šibice, dva kvadrata od $7$ šibica, tri kvadrata od $10$ šibica, a za svaki sljedeći kvadrat treba dodati $3$ šibice. Tako smo dobili niz brojeva $4,$ $7,$ $10,$ $13,$ $. . .$

Ako nastavimo dalje, na desetom će mjestu biti broj $31,$ odnosno za $10$ kvadrata potrebna je $31$ šibica.

Hoćemo li nizanjem brojeva na ovaj način doći do broja $200 ?$

Definicija aritmetičkoga niza

Aritmetički niz

Niz brojeva $(a_{n})$ je aritmetički niz ako postoji realni broj $d$ takav da je $a_{n} - a_{n - 1} = d,$ za $n \geq 2 .$ Broj $d$ nazivamo razlika ili diferencija.

Drugim riječima, ako nekome početnom broju stalno dodajemo jedan te isti broj, dobivamo aritmetički niz.

Zadatak 1.

Je li dani niz aritmetički niz? Ako jest, odredite razliku.

Zadatak 2.

Zapišite prvih 6 članova aritmetičkog niza ako je zadan prvi član niza i razlika.

a_{1} = 3,

d = 2

null

a_{1} = 6,

d = - 3

null

a_{1} = - 25,

d = 4

null

a_{1} = 5.2,

d = 1.6

null

Zašto aritmetički?

Zašto se ovakav niz naziva aritmetičkim?

Prema definiciji aritmetičkoga niza, razlika između svaka dva susjedna člana stalna je, primjerice $a_{n - 1}$ i $a_{n}$ te $a_{n}$ i $a_{n + 1},$ odnosno vrijedi $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} - a_{n - 1} .$

Izrazite iz ove jednakosti $a_{n} .$ Što zaključujete?

$2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1},$ odnosno

$a_{n} = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}$

Znači, svaki je član aritmetičkog niza, osim prvoga, jednak aritmetičkoj sredini susjednih članova.

Zadatak 5.

Za koje će vrijednosti realnog broja $x$ niz $x,$ $x^{2},$ $x^{2} + 6$ biti aritmetički niz?

- 3

- 2

- 1

1

2

3

null

Kutak za znatiželjne

Pogledajte sljedeću sliku.

Svaki član aritmetičkog niza je aritmetička sredina onih dvaju članova niza koji su jednako udaljeni. — Aritmetička sredina

Čemu je jednako $\frac{a_{n + 2} + a_{n - 2}}{2} ?$

A $\frac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2} ?$

Što možete općenito zaključiti?

Svaki je član aritmetičkoga niza jednak aritmetičkoj sredini onih dvaju članova koji su od njega jednako "udaljeni".

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza

Primjer 2.

Aritmetički niz ima $10$ članova, prvi je član niza jednak $3,$ a razlika među susjednim članovima jednaka je $4 .$ Koliki je zbroj svih članova niza?

To je jednostavno izračunati. Ispišemo svih deset članova niza: $3,$ $7,$ $11,$ $15,$ $19,$ $23,$ $27,$ $31,$ $35$ i $39$ te ih zbrojimo

$3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = 210 .$

Članove aritmetičkoga niza možemo i brže zbrojiti.

Označimo sa $S_{n}$ zbroj prvih $n$ članova niza $a_{1},$ $a_{1} + d,$ $a_{1} + 2 d,$ $. . .,$ $a_{1} + (n - 1) d .$

Zapišimo $S_{n}$ prvo od $a_{1}$ do $a_{n},$ onda u obrnutom redoslijedu pa ih zbrojimo.

$\begin{array}{ll} S_{n} = & a_{1} + a_{1} + d + a_{1} + 2 d + . . . + a_{1} + (n - 2) d + a_{1} + (n - 1) d \\ S_{n} = & a_{1} + (n - 1) d + a_{1} + (n - 2) d + a_{1} + (n - 3) d + . . . + a_{1} + d + a_{1} \end{array}$

Slijedi,

$S_{n} = \frac{n \cdot [2 a_{1} + (n - 1) d]}{2} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] .$

Budući da je $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d,$ možemo zapisati $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) .$

Zbroj prvih $n$ članova aritmetičkog niza jednak je $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ako znamo prvi član i $n$ -ti član, odnosno $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$ ako znamo prvi član i razliku niza.

Zadatak 6.

Riješite prethodni primjer koristeći se formulom za zbroj prvih $n$ članova aritmetičkoga niza.

$S_{10} = \frac{10}{2} [2 \cdot 3 + 9 \cdot 4] = 210 .$

Zadatak 7.

Uparite odgovarajuće vrijednosti.

$a_{n} = 1 + 5 (n - 1),$ $S_{15} =$
$a_{n} = 3 + 7 n,$ $S_{10} =$
$a_{n} = - 4 + 3.8 (n - 1),$ $S_{16} =$
$a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (n - 1),$ $S_{27} =$

null

Primjer 3.

Zbroj svih članova aritmetičkoga niza iznosi $390,$ prvi član jednak je $3,$ a razlika je $8 .$ Koliko je članova u tome nizu?

Budući da su nam poznati prvi član i razlika, uvrstimo ih u formulu $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] .$

$390 = \frac{n}{2} [2 \cdot 3 + 8 (n - 1)]$

Sredimo jednadžbu.

$780 = 6 n + 8 n (n - 1)$

$8 n^{2} - 2 n - 780 = 0 / : 2$

$4 n^{2} - n - 390 = 0$

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $n_{1} = 10,$ $n_{2} = - \frac{39}{4} .$

Broj članova niza prirodni je broj, što znači da je rješenje $10,$ odnosno zadani aritmetički niz ima $10$ članova.

Zadatak 8.

Spojite parove.

$a_{1} = - 2,$ $d = 5$	$S_{27} = 1161$
$a_{1} = - 2,$ $d = 1.2$	$S_{16} = 112$
$a_{1} = 4,$ $d = 3$	$S_{20} = 86$
$a_{1} = \frac{1}{2},$ $d = \frac{2}{5}$	$S_{15} = 495$

null

2.2 Aritmetički niz

Na početku...

Definicija aritmetičkoga niza

Aritmetički niz

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Opći član aritmetičkoga niza

Primjer 1.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zašto aritmetički?

Zadatak 5.

Kutak za znatiželjne

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza

Primjer 2.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Primjer 3.

Zadatak 8.

...i na kraju

Zadatak 9.