Matematika 8 - 2.2 Množenje i dijeljenje potencija s bazom 10

Dekadske jedinice i potencija s bazom $10$

Dekadske jedinice možemo prikazati u obliku potencije s bazom $10$ i prirodnim eksponentom.

Vrijednost potencije $10^{n}, n \in ℕ$ jednaka je dekadskoj jedinici s $n$ nula.

Potencija s bazom $10$ i eksponentom $1$ jednaka je $10 .$

$10^{1} = 10$

Zadatak 1.

Odgovori je li jednakost točna ili ne.

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{5}$

Da
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4}$

Ne
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4}$

null

null
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{5}$

Da

Ne
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{6}$

null

null
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{7}$

Da

Ne
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{7}$

null

null
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9^{10}$

Da
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{9}$

Ne
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{9}$

null

null

Zadatak 2.

Dovuci odgovarajući dekadski broj na njegov prikaz potencijom.

Uparite:

$10 000$	$10^{5}$
$100 000 000$	$10^{8}$
$1 000 000$	$10^{4}$
$100 000$	$10^{6}$
$1 000$	$10^{3}$

null

Zatvori

Nazivi i zapis velikih brojeva

Upoznati ćemo se sa dvije vrste zapisa potencije baze $10$ i prirodnog eksponenta, $10^{n},$ matematički i računalno .

	Matematički zapis	Računalni zapis
Brzina svjetlosti	$3 \cdot 10^{8} m/s$	$3 E 8 m/s$
Udaljenost Zemlje od Sunca	$1.5 \cdot 10^{11} m$	$1 . SE 11 m$
Starost svemira	$4.3 \cdot 10^{17} s$	$4.3 E 17 s$

Primjer 2.

Pogledajmo predmetke za mjerne jedinice, zapis potencijom s bazom $10,$ njihovu vrijednost i naziv.

Predmetak Potencija Vrijednost Naziv

jota $10^{24}$ $1 000 000 000 000 000 000 000 000$ kvadrilijun

zeta $10^{21}$ $1 000 000 000 000 000 000 000$ trilijarda

eksa $10^{18}$ $1 000 000 000 000 000 000$ trilijun

peta $10^{15}$ $1 000 000 000 000 000$ bilijarda

tera $10^{12}$ $1 000 000 000 000$ bilijun

giga $10^{9}$ $1 000 000 000$ milijarda

mega $10^{6}$ $1 000 000$ milijun

kilo $10^{3}$ $1 000$ tisuću

hekto $10^{2}$ $100$ sto

deka $10^{1}$ $10$ deset

Predmetak	Potencija	Vrijednost	Naziv
jota	$10^{24}$	$1 000 000 000 000 000 000 000 000$	kvadrilijun
zeta	$10^{21}$	$1 000 000 000 000 000 000 000$	trilijarda
eksa	$10^{18}$	$1 000 000 000 000 000 000$	trilijun
peta	$10^{15}$	$1 000 000 000 000 000$	bilijarda
tera	$10^{12}$	$1 000 000 000 000$	bilijun
giga	$10^{9}$	$1 000 000 000$	milijarda
mega	$10^{6}$	$1 000 000$	milijun
kilo	$10^{3}$	$1 000$	tisuću
hekto	$10^{2}$	$100$	sto
deka	$10^{1}$	$10$	deset

Zanimljivost

Više o velikim brojevima možete saznati na poveznici Veliki brojevi.

Primjer 3.

Pri prijevodu teksta koji sadrži velike brojeve sa engleskog jezika često se griješi zbog različitog imenovanja potencija s bazom $10 .$

Mi koristimo takozvanu Dugu ljestvicu.

Duga ljestvica		Kratka ljestvica
Milijun	$10^{6}$	Milijun
Milijarda	$10^{9}$	Bilijun
Bilijun	$10^{12}$	Trilijun
Bilijarda	$10^{15}$	Kvadrilijun
Trilijun	$10^{18}$	Kvintilijun

Zanimljivost

U tablici su navedeni nazive za milijardu i bilijun na nekoliko europskih jezika. Uočimo da samo engleski i portugalski imaju bitno različite nazive.

Jezik	Naziv za milijardu	Naziv za bilijun	Zapis milijarde
Hrvatski	milijarda	bilijun	$10^{6}$
Talijanski	miliardo	billione
Nizozemski	miljard	biljoen
Finski	miljardi	biljoona
Mađarski	millárd	billió
Njemački	Milliarde	Billion
Francuski	milliard	billion
Španjolski	mil millones	billones
Slovenski	milijard	bilijona
Portugalski	bilhão	trilhão
Engleski	billion	trilion

Kada zapišemo $10^{6}$ svi se razumijemo.

U ovom primjeru ćemo obratiti pažnju na često krivo prevedene nazive za velike brojeve pri prijevodu s engleskog jezika na hrvatski.

Primjer 4.

Planet zemlja

Prevedimo rečenicu s engleskog jezika na hrvatski s poveznice

When the sollar sistem settled into its current layout about $4.5$ billion years ago, Earth… become the third planet from the sun.

Ono što je istaknuto je procjena znanstvenika prije koliko godina je nastao

Sunčev sustav, $4.5$ billion years.

Vrlo često se to prevede kao $4.5$ bilijuna godina što nije točno.

Ispravan prijevod je $4.5$ milijardi godina.

Zadatak 3.

Kako točno treba prevesti brojeve iz zadanog teksta na engleskom jeziku?

A petaflop is a measure of a computer's processing speed and can be expressed as a thousand trillion floating point operations per second.

Podebljani je brojčani izraz u prijevodu:

Tisuću trilijuna
Bilijarda

Bilijarda

null

null
More than $50 000$ meteorites have been found on Earth. Of these, $99.8$ percent come from asteroids. Evidence for an asteroid origin includes orbits calculated from photographic observations of meteorite falls projected back to the asteroid belt; spectra of several classes of meteorites match those of some asteroid classes; and they are very old, $4.5$ to $4.6$ billion years.

Podebljani je brojčani izraz u prijevodu:

$4.5 - 4.6$ milijardi godina

$4.5 - 4.6$ bilijuna godina
$4.5 - 4.6$ milijardi godina

null

null

Primjena zapisa potencijom s bazom $10$

Zadatak 4.

Istraži potrebne podatke.

Upari odgovarajuće veličine i potencije s bazom $10$ i najvećim eksponentom koji se spominje u izgovoru ili zapisu podatka koji ste pronašli. ( Na primjer u broju $345,$ tristotine četrdeset i pet najveći je eksponent vezan uz broj $100 = 10^{2}$ ).

Zadatak 5.

Dovuci potencije s bazom $10$ na predmetke mjernih jedinica.

Uparite:

$10^{12}$	kilo
$10$	deka
$10^{3}$	tera
$10^{6}$	mega
$10^{9}$	giga

null

Zatvori

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom $10$ za rješavanje problema

Primjer 10.

Odredimo koliko je četvornih milimetara na ovom milimetarskom papiru?

Zapišimo na papir rezultat koristeći potenciju broja $10$ s prirodnim eksponentom.

Istaknuti kvadratić je kvadratni centimetar.

Dulja stranica iznosi $24$ centimetra, a kraća $19$ centimetara.

Dakle, dulja stranica iznosi $240$ milimetra, a kraća $190$ milimetara.

Kada pomnožimo $240 \cdot 190 = 45 600$

$45 600 = 456 \cdot 100 = 456 \cdot 10^{2}$

Na papiru je $456 \cdot 10^{2} {mm}^{2}$

Broj oblika $k \cdot 10^{n} = k 10^{n}, k \in Q$ sastoji se od racionalnog koeficijenta $k$ i potencije broja $10$ s prirodnim eksponentom.

U videu je opisano kako prikazati iznos koristeći umnožak racionalnog broja i potencije s bazom $10 .$

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 11.

Dovuci iznose zapisane u dekadskom obliku na odgovarajuće zapise umnoška koeficijenta i potencije broja $10$ s prirodnim eksponentom.

Uparite:

$150 000 000$	$15 \cdot 10^{7}$
$15 000 000$	$15 \cdot 10^{6}$
$1 500$	$15 \cdot 10^{8}$
$1 500 000 000$	$15 \cdot 10^{2}$
$150 000$	$15 \cdot 10^{4}$

null

Zadatak 12.

Udaljenost od Zemlje do Sunca približno iznosi $150 000 000 km .$ Zapiši na papir tu udaljenost u metrima koristeći potenciju broja $10$ s prirodnim eksponentom.

Izražen u kilometrima zapis je $150 000 000 = 15 \cdot 10 000 000 = 15 \cdot 10^{7} km .$

Preračunajmo to sada u metre.

$15 \cdot 10^{7} = 15 \cdot 10^{7} \cdot 10^{3} = 15 \cdot 10^{7 + 3} = 15 \cdot 10^{10}$

Udaljenost od Zemlje do Sunca iznosi približno $15 \cdot 10^{10} m .$

Zadatak 13.

Zemlja ima atmosferu.

Podijelili smo ju na nekoliko slojeva.

Pridruži podatcima na slici zapis pomoću koeficijenta i potencije s bazom $10$ i prirodnim eksponentom.

Zatvori

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom $10$

Brojeve oblika $a \cdot 10^{n}$ i $b \cdot 10^{m}$ množimo tako da pomnožimo koeficijente $a i b$ i potencije $10^{n} i 10^{m} .$

$a \cdot 10^{n} \cdot b \cdot 10^{m} =$

Brojeve oblika $a \cdot 10^{n}$ i $b \cdot 10^{m}$ dijelimo tako da podijelimo koeficijente $a i b$ i potencije $10^{n} i 10^{m} .$

$(a \cdot 10^{n}) : (b \cdot 10^{m}) = (a : b) \cdot 10^{n - m}$ gdje su $a, b \in Q, b \neq 0, m, n \in N, n \geq m$

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 14.

Mravlji mozak ima oko $250 000$ moždanih stanica.

Ljudski mozak ih ima oko $10$ milijardi.

Koliko bi brojila kolonija mrava, mravinjak, koja ima isti broj moždanih stanica kao jedan čovjek?

Zapišimo podatke umnoškom koeficijenta i potencije s bazom $10 .$

Zapišimo broj moždanih stranica kod ljudi

$10$ milijardi, $1 000 000 000 = 10^{10} .$

Zapišimo broj moždanih stranica kod mrava

$250 000 = 25 \cdot 10^{4}$

Podijelimo broj moždanih stanica lljudskog mozga s brojem stanica mravljeg mozga.

$10^{10} : (25 \cdot 10^{4}) =$

$10^{2 + 8} : (25 \cdot 10^{4}) =$

$(10^{2} \cdot 10^{8}) : (25 \cdot 10^{4}) =$

$(100 : 25) \cdot (10^{8} : 10^{4}) =$

$4 \cdot 10^{8 - 4} = 4 \cdot 10^{4}$

Ljudski mozak ima $4 \cdot 10^{4},$ $40 000$ puta više moždanih stanica od mrava.

Kolonija mrava, mravinjak, koja ima isti broj moždanih stanica kao jedan čovjek bi imala $40 000$ mrava.

Zadatak 15.

Jedna kolonija mrava prosječno broji oko pola milijuna mrava.

Kolonija mrava, mravinjak, koja ima isti broj moždanih stanica kao jedan čovjek ima oko $40 000$ mrava.

Koliko bi ljudi trebalo živjeti skupa kako bi imali jednak broj moždanih stanica kao jedan prosječni mravinjak?

Podijelimo prosječni broj marava u mravinjaku $500 000 = 5 \cdot 10^{5}$ s brojem mrava koji imaju isti broj moždanih stanica kao i čovjek $40 000 = 4 \cdot 10^{4} .$

$(5 \cdot 10^{5}) : (4 \cdot 10^{4}) =$

$(5 : 4) \cdot (10^{5} : 10^{4}) =$

$1.25 \cdot 10^{5 - 4} =$

$1.25 \cdot 10^{1} = 1.25 \cdot 10 = 12.5$

Broj koji predstavlja broj ljudi mora biti prirodni broj pa je rješenje zadatka prvi veći prirodni broj od dobivenog rješenja.

Skupa bi trebalo živjeti barem $13$ ljudi.

Zadatak 16.

Masa Zemlje približno iznosi $6 \cdot 10^{24} kg,$ masa Mjeseca $735 \cdot 10^{20} kg .$

Koliko je puta Zemljina masa veća od Mjesečeve mase?

Prikažimo iznos mase Zemlje tako da koeficijent bude veći od koeficijenta kod iznosa mase Mjeseca

$6 \cdot 10^{24} = 6 \cdot 10^{21 + 3} = 6 \cdot 10^{3} \cdot 10^{21} = 6 \cdot 1 000 \cdot 10^{21} = 6 000 \cdot 10^{21}$

Podijelimo iznose mase Zemlje i mase Mjeseca

$(6 \cdot 10^{24}) : (735 \cdot 10^{20}) =$

$(6 000 \cdot 10^{21}) : (735 \cdot 10^{20}) =$

$(6 000 : 735) \cdot (10^{21} : 10^{20}) \approx 8.1 \cdot 10^{1} = 81$

Zemljina masa je $81$ puta veća od Mjesečeve mase.

Zatvori

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 17.

Dovucite izračun vrijednosti zadanih izraza na točno rješenje.

Spojite parove:

$(24 \cdot 10^{5}) : (12 \cdot 10^{3})$	$12$
$(9 \cdot 10^{7}) \cdot (8 \cdot 10^{3})$	$(\frac{1}{4} \cdot 10^{6}) (2 \frac{2}{5} \cdot 10^{2})$
$\frac{3}{5} \cdot 10^{4}$	$\frac{2}{3} \cdot 10^{8}$
$(\frac{3}{4} \cdot 10^{6}) (\frac{8}{9} \cdot 10^{2})$	$13 \cdot 10^{10}$
$(14.4 \cdot 10^{8}) : (12 \cdot 10^{7})$	$72 \cdot 10^{10}$
$(78 \cdot 10^{21}) : (6 \cdot 10^{11})$	$2 \cdot 10^{2}$

null

Zadatak 18.

Površina Republike Hrvatske iznosi $56 594 {km}^{2}$ , ili približno $56 600 {km}^{2}$ . Koliko je puta površina američke savezne države Colorado, $27 \cdot 10^{4} {km}^{2},$ veća od površine Republike Hrvatske?

Podijelomo iznose površina država Colorado i Hrvatske.

$(27 \cdot 10^{4}) : (5.6 \cdot 10^{4}) = (27 : 5.6) \cdot (10^{4} : 10^{4}) = 4.82 \cdot 1 = 4.82$

Površina američke savezne države Kolorado veća je od površine Republike Hrvatske skoro $5$ puta.

Zadatak 19.

Zemlja je od Sunca udaljena približno $15 \cdot 10^{7}$ kilometara.

Neptun je od Sunca udaljen približno $45 \cdot 10^{8}$ kilometara.

Koliko je puta Neptun udaljeniji od Sunca nego Zemlja?

Podijelimo iznose udaljenosti od Sunca do Neptuna i od Sunca do Zemlje.

$(45 \cdot 10^{8}) : (15 \cdot 10^{7}) = (45 : 15) \cdot (10^{8} : 10^{7}) = 3 \cdot 10^{8 - 7} = 3 \cdot 10 = 30$

Neptun je $30$ puta udaljeniji od Sunca nego Zemlja.

Zatvori

Zanimljivosti, projekti...

Zanimljivost

Današnji svijet zasnovan je na procesorima koji u sekundi izvrše nekoliko milijardi proračuna, a najnoviji procesor kompanije IBM pod nazivom TrueNorth baziran je na ljudskom mozgu, tj. imitira njegovu strukturu. Iako današnji procesori imaju nekoliko jezgara i puno snage, nikako se ne mogu mjeriti s našim mozgom.

Ljudski mozak sastoji se od $1$ bilijardu sinapsi, a jedan od najjačih superračunala na svijetu "razmišlja" $1 500$ puta sporije od čovjeka. Računalima je za oponašanje ljudskog mozga potrebno jako puno snage jer je ono što naš mozak radi čak i pasivno nevjerojatno složeno. Situacije poput one u kojoj lopta leti prema vama, a vi je uhvatite rukom za ljude je poprilično jednostavna, ali da bi to učinilo računalo potrebni su kompleksni proračuni i puno snage.

Rad na TrueNorth procesoru IBM je započeo sada već davne 2008. godine, sve u cilju kreiranja nove forme računalne arhitekture, računalnih jezgri, koja će biti bazirana na ljudskom mozgu. Sve ove jezgre rade u harmoniji i čine milijun neurona te $256$ milijuna sinapsi. Ovo je i dalje daleko od snage ljudskog mozga i naših $100$ milijardi neurona i $1$ bilijardu sinapsi, ali to je upravo i krajnji cilj IBM-ovog projekta.

Više o ovoj zanimljivoj temi pročitajte na poveznici .

Projekt

Sve podatke iz teksta u Zanimljivosti napišite koristeći potenciju s bazom deset.

Zanimljivost

Superračunala nevjerojatno su moćni strojevi.

Superračunala se koriste u programima za razvoj oružja, u istraživanjima procesa fuzije, klimatskih promjena, kod velikih i kompleksnih simulacija u genetici i sl.

Povezuju desetke tisuća procesora kako bi se postigle nevjerojatne računalne brzine koje se mjere u Petaflopsima.

Jedan FLOPS označava jednu matematičku radnju sa pomičnim zarezom (floating point) u sekundi.

Jedan Petaflops iznosi $1$ bilijardu izračuna u sekundi.

Više o superračunalima pročitajte na povetnici superračunala

Kolekcija zadataka 8

Zadatak 20.

Zapiši potencijom s bazom $10$ i prirodnim eksponentom koliko vrijedi jedan Petaflops.

Jedan Petaflops predstavlja $10^{15}$ izračuna u sekundi.

Zadatak 21.

Najjače superračunalo je kineski Sunway Taihu Light sa $93$ PFlopsa .

Najjače američko superračunalo je Titan sa $17$ PFlopsa.

Koliko je puta brži Sunway TaihuLight od Titana?

Podijelimo

$(93 \cdot 10^{15}) : (17 \cdot 10^{15}) = (93 : 17) \cdot (10^{15} : 10^{15}) \approx 5.5$

Sunway TaihuLight je $5.5$ puta brži od Titana.

Zatvori

Zanimljivost

Hrvatska, prema podatcima iz 2014., ima dva superračunala, Isabella u Zagrebu i Bura u Rijeci.

Više o Isabelli počitajte na poveznici Isabella

Više o Buri počitajte na poveznici Bura

Kolekcija zadataka 9

Zadatak 22.

Neuroni su živčane stanice.

Ljudski mozak ih ima oko $100$ milijardi.

Sinapse su specijalizirani oblici veza među neuronima.

U ljuskom mozgu je približno $1$ bilijarda sinapsi.

To je jednako pola milijarde sinapsi po kubičnom milimetru.

Koliko je sinapsi po kubičnom centimetru?

Preračunajmo kubični centiometar u kubične milimetre.

$1 {cm}^{3} = 1 000 {mm}^{3} = 10^{3} {mm}^{3}$

Pola milijarde, zapisano potencijom $0.5 \cdot 10^{9},$ sinapsi po kubičnom milimetru.

U kubičnom centimetru je $0.5 \cdot 10^{9} \cdot 10^{3} = 0.5 \cdot 10^{9 + 3} = 0.5 \cdot 10^{12},$ pola bilijuna sinapsi.

Zadatak 23.

Koliko bi, najmanje, trajalo brojanje svih neurona, $100$ milijardi na način da nam za svakog treba $1$ sekunda?

Zatvori

Zanimljivost

Za brojanje svih neurona u ljudskom mozgu trebalo bi nam najmanje $3 172$ godine.

Odaberimo sadašnjost kao 2017. godinu.

Koja je godina bila prije $3 172$ godina?

$2 017 - 3 172 = - 1 155$

Kako smo dobili negativan broj znači da je to godina prije Krista, 1155 pr. Kr.

U to doba je živio i umro Ramzes III, egipatski faraon.

Da je on počeo brojati do broja neurona, $100$ milijardi, tek danas bi završio brojanje.

$10^{6} \cdot 10 \cdot 10$	$10^{11}$
$10^{9} \cdot 10^{10} \cdot 10$	$10^{9}$
$10^{2} \cdot 10^{3} \cdot 10$	$10^{6}$
$10 \cdot 10^{2} \cdot 10^{6}$	$10^{8}$
$10^{3} \cdot 10 \cdot 10^{7}$	$10^{20}$

$10^{6} : 10^{3} \cdot 10^{3}$	$10^{1}$
${10 : (10}^{5} : 10^{4})$	$10^{6}$
$10^{10} : 10^{10} \cdot 10$	$1$
$10^{9} : 10 \cdot 10^{3}$	$10^{5}$
$10^{5} : (10 :10)$	$10^{11}$
$10 \cdot 10^{5} : 10^{4}$	$10^{2}$

Na početku...

Dekadske jedinice i potencija s bazom 10

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Nazivi i zapis velikih brojeva

Zanimljivost

Zanimljivost

Zadatak 3.

Primjena zapisa potencijom s bazom 10

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Množenje i dijeljenje potencija s bazom 10

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom 10 za rješavanje problema

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom 10

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zanimljivosti, projekti...

Zanimljivost

Projekt

Zanimljivost

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zanimljivost

Zadatak 22.

Zadatak 23.

Zanimljivost

...i na kraju

2.3 Potenciranje potencije s bazom 10

Dekadske jedinice i potencija s bazom $10$

Primjena zapisa potencijom s bazom $10$

Množenje i dijeljenje potencija s bazom $10$

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom $10$ za rješavanje problema

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom $10$