Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Utvrdite svoja znanja o potencijama broja $10$ i proširite ih na potencije drugih brojeva.

Neki od zadataka i aktivnosti koje slijede nešto su zahtjevniji i možda će vam biti potrebna mala pomoć u rješavanju. Nakon što riješite zadatak, usporedite svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili ih zamolite da vam pomognu ako vam je neki zadatak i dalje nejasan

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Primjenjujući stečena znanja o računanju s potencijama s bazom $10,$ riješite sljedećih devet zadataka.

Redne brojeve zadataka zamijenite pridruženim slovima i dobit ćete ime poznatog grčkog matematičara i njegovu još poznatiju izreku.

Zadatak 2.

Riješite sve zadatke.

Odaberite odgovor koji smatrate točnim i obojit će se odgovarajući dio slike.

Zadatak 3.

Flota Dunavskog Lloyda sastoji se od plovila različite nosivosti. Nosivost je plovila PZ17402 $1.74 \cdot 10^{6} kg$ , a nosivost je plovila PO8506 $8.52 \cdot 10^{5} kg$ . Za koliko je nosivost plovila PO8506 manja od nosivosti plovila PZ17402?

$1.74 \cdot 10^{6} - 8.52 \cdot 10^{5} = 17.4 \cdot 10^{5} - 8.52 \cdot 10^{5} = 8.88 \cdot 10^{5}$

Zadatak 4.

Atom ugljika sadrži $6$ protona, $6$ neutrona i $6$ elektrona. Jezgra atoma ugljika sadrži $6$ protona i $6$ neutrona. Masa je šest protona $1.0038 \cdot 10^{- 28} kg,$ masa šest neutrona $1.005 \cdot 10^{- 28} kg,$ a masa šest elektrona $5.4654 \cdot 10^{- 32} kg .$

Kolika je masa jezgre atoma ugljika?
Kolika je masa atoma ugljika?

Masa je jezgre atoma ugljika $1.0038 \cdot 10^{- 28} + 1.005 \cdot 10^{- 28} = 2.0088 \cdot 10^{- 28} kg .$
Masa je atoma ugljika

$2.0088 \cdot 10^{- 28} + 5.4654 \cdot 10^{- 32} = 2.0088 \cdot 10^{- 28} + 0.00054564 \cdot 10^{- 28} = 2.00934654 \cdot 10^{- 28} kg .$

Zatvori

Potencije broja $2$

Potencija je broja $2$ umnožak broja $2$ sa samim sobom.

Ako je $n$ neki prirodni broj, onda je $2^{n} = \underset{n faktora}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot . . . \cdot 2}}$ .

Potenciju broja $2$ dovucite na odgovarajuće mjesto kako bi odgovarala vrijednost jednakosti.

$2^{9}$	$512$
$2^{4}$	$128$
$2^{1}$	$16$
$2^{7}$	$2$
$2^{6}$	$64$

Pomoć:

$n$ -ta potencija broja $2$ je umnožak $n$ faktora jednakih broju $2$ $2^{n} = (\begin{array}{l} \underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot . . . \cdot 2} \\ n f a k t o r a \end{array})$

null

Potenciju broja $2$ dovucite na odgovarajuće mjesto kako bi odgovarala vrijednost jednakosti.

$2^{8}$	$256$
$2^{5}$	$4$
$2^{3}$	$32$
$2^{10}$	$1 024$
$2^{2}$	$8$

null

Zadatak 5.

Uočavate li neku pravilnost?

Kojom znamenkom završavaju brojevi $2^{13},$ $2^{20},$ $2^{34},$ $2^{47},$ $2^{2017} ?$

Prema kojemu se pravilu određuje posljednja znamenka potencije broja $2 ?$

Potencije broja $2$ završavaju znamenkom $2,$ $4,$ $6$ ili $8 .$

Znamenke se ciklički ponavljaju ( $2,$ $4$ , $8$ , $6$ , $2$ , $4$ , $8$ , $6$ , $2,$ $4,$ $8,$ $6$ ...), tj. brojevi $2^{1}, 2^{5}, 2^{9}, 2^{13}, 2^{17} . . .$ završavaju znamenkom $2$ . Znamenkom $2$ završavaju i ostale potencije broja $2$ čiji eksponent pri dijeljenju brojem $4$ daje ostatak $1 .$

$2^{2}, 2^{6}, 2^{10}, 2^{14}, 2^{18} . . .$ završavaju znamenkom $4$ . Znamenkom $4$ završavaju i ostale potencije broja $2$ čiji eksponent pri dijeljenju brojem $4$ daje ostatak $2$ .

$2^{3}, 2^{7}, 2^{11}, 2^{15}, 2^{19} . . .$ završavaju znamenkom $8$ . Znamenkom $8$ završavaju i ostale potencije broja $2$ čiji eksponent pri dijeljenju brojem $4$ daje ostatak $3 .$

$2^{4}, 2^{8}, 2^{12}, 2^{16}, 2^{20} . . .$ završavaju znamenkom $6$ . Znamenkom $2$ završavaju i ostale potencije broja $2$ čiji je eksponent djeljiv brojem $4$ .

Broj $2^{13}$ završava znamenkom $2$ , a $2^{20}$ znamenkom $6$ .

Budući da broj $34$ pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $2$ , broj $2^{34}$ završava znamenkom $4$ .

Budući da broj $47$ pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $3$ , broj $2^{47}$ završava znamenkom $8$ .

Budući da broj $2 017$ pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $1,$ broj $2^{2017}$ završava znamenkom $3 .$

Zanimljivost

Podrijetlo šaha obavijeno je tamom. Postoje različite verzije legende o šahu i one se međusobno ponešto razlikuju. Neke od njih možete pročitati na sljedećim poveznicama. 1, 2, 3, 4, 5 ali i brojnim drugim.

Povezani sadržaji

U informatici se koristi tzv. binarni brojevni sustav (sustav s bazom $2$ ), pri čemu se brojevi pišu kao nizovi nula i jedinica. Primjerice,

broj $1101$ u binarnom sustavu predstavlja zapis broja

${(1101)}_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = {(13)}_{10},$

a broj $110101$ u binarnom sustavu predstavlja zapis broja

${(110101)}_{2} = 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = {(53)}_{10}$

Obratan postupak - prevođenje broja između $1$ i $31$ iz dekadskog u binarni zapis možete proučiti uz pomoć interakcije.

Općenito, ako je $a \in Q$ i $n \in N,$ onda broj $a^{n}$ nazivamo $n$ -ta potencija broja $a .$

Pritom vrijedi:

$a^{n} = \underset{n faktora}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}} .$

Prikaz broja $103$

Prikaz broja $154$

Prikaz broja $217$

Potencije broja $3$

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Uz pomoć džepnog računala izračunajte i na crte upišite odgovarajuće vrijednosti.

$3^{1}$
$3^{2}$
$3^{3}$

null
$3^{4}$

null

null
$3^{5}$

null

null
$3^{6}$

null

null
$3^{7}$

null

null
$3^{8}$
$3^{9}$

null

null
$3^{10}$

Zadatak 7.

Svi su rezultati objedinjeni u tablici koja slijedi:

Potencija broja $3$	Vrijednost potencije broja $3$
$3^{1}$	$3$
$3^{2}$	$9$
$3^{3}$	$27$
$3^{4}$	$81$
$3^{5}$	$243$
$3^{6}$	$729$
$3^{7}$	$2 187$
$3^{8}$	$6 561$
$3^{9}$	$19 683$
$3^{10}$	$59 049$

Primjećujete li neku pravilnost vezanu uz posljednju znamenku potencija broja $3 ?$

Potencije broja $3$ (ciklički) završavaju redom znamenkama $3,$ $9,$ $7,$ $1 .$

Pravilo za određivanje posljednje znamenke potencije broja $3$ analogno je pravilu za određivanje posljednje znamenke broja $2 .$ Pokušajte ga izreći.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Zadatak 8.

Koristeći džepno računalo, istražite postoji li pravilnost za određivanje posljednje znamenke $n$ -te potencije brojeva $0,$ $1,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8$ i $9 .$

Svaka potencija broja $0$ jednaka je $0 .$

Svaka potencija broja $1$ jednaka je $1 .$

Potencije broja $4$ naizmjenično završavaju znamenkom $4$ (za neparne eksponente) ili znamenkom $6$ (za parne eksponente).

Svaka potencija broja $5$ završava znamenkom $5 .$

Svaka potencija broja $6$ završava znamenkom $6 .$

Potencije broja $7$ ciklički završavaju znamenkama $7,$ $9,$ $3$ ili $1 .$

Potencije broja $8$ ciklički završavaju znamenkama $8,$ $4,$ $2$ ili $6 .$

Potencije broja $9$ naizmjenično završavaju znamenkom $9$ ili znamenkom $1 .$

Potenciranje negativnih brojeva

Primjer 1.

Promotrimo niz potencija brojeva $- 1,$ $- 2$ i $- 10 :$

${(\begin{array}{l} - 1 \end{array})}^{1} = 1$

${(\begin{array}{l} - 1 \end{array})}^{2} = (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) = 1$

${(\begin{array}{l} - 1 \end{array})}^{3} = (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) = - 1$

${(\begin{array}{l} - 1 \end{array})}^{4} = (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 1 \end{array}) = 1$

$⋮$

${(\begin{array}{l} - 2 \end{array})}^{1} = - 2$

${(\begin{array}{l} - 2 \end{array})}^{2} = (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) = 4$

${(\begin{array}{l} - 2 \end{array})}^{3} = (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) = - 8$

${(\begin{array}{l} - 2 \end{array})}^{4} = (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) = 16$

$⋮$

${(- 10)}^{1} = - 10$

${(- 10)}^{2} = (- 10) \cdot (- 10) = 100$

${(- 10)}^{3} = (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) = - 1 000$

${(- 10)}^{4} = (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) = 10 000$

$⋮$

${(\begin{array}{l} - 2 \end{array})}^{3} = (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} - 2 \end{array}) = - 8$

Zadatak 9.

Uočavate li neku pravilnost vezanu za predznak rezultata?

Opišite uočenu pravilnost i provjerite vrijedi li i za potencije broja $- 10$ s negativnim eksponentom.

Ako je eksponent potencije s negativnom bazom parni broj, potencija je pozitivna.

Ako je eksponent potencije s negativnom bazom neparni broj, potencija je negativna.

${(- 10)}^{- 1} = - \frac{1}{10},$ ${(- 10)}^{- 2} = \frac{1}{100},$ ${(- 10)}^{- 3} = - \frac{1}{1 000},$ ${(- 10)}^{- 4} = \frac{1}{10 000} . . .$

Uočena pravilnost vrijedi i za potencije broja $- 10$ s negativnim eksponentom.

Kutak za znatiželjne

Formati papira

U tablici su navedene dimenzije papira za formate od B0 do B10.

Format	Dimenzije u mm
$B 0$	$1 000 \times 1 414$
$B 1$	$707 \times 1 000$
$B 2$	$500 \times 707$
$B 3$	$353 \times 500$
$B 4$	$250 \times 353$
$B 5$	$176 \times 250$
$B 6$	$125 \times 176$
$B 7$	$88 \times 125$
$B 8$	$62 \times 88$
$B 9$	$44 \times 62$
$B 10$	$31 \times 44$

Zadatak 10.

Označite početnu duljinu papira formata $B 0$ s $a,$ te širinu s $b .$ Formulom izrazite duljinu i širinu papira formata $B n$ u ovisnosti o broju $n .$ Rezultat izrazite i zapišite na papir koristeći potencije.

Ako je $n$ parni broj ( $n = 2 k$ , $k \in N_{0}$ ), onda je $a_{n} = \frac{1}{2^{k}} \cdot a$ i $b_{n} = \frac{1}{2^{k}} \cdot b .$

Ako je $n$ neparni broj ( $n = 2 k + 1$ , $k \in N_{0}$ ), onda je $a_{n} = \frac{1}{2^{k + 1}} \cdot b$ i $b_{n} = \frac{1}{2^{k}} \cdot a .$

Kutak za znatiželjne

Potencije i djeljivost prirodnih brojeva

Slika prikazuje simboličku podjelu skupa prirodnih brojeva na tri dijela. U prvom su dijelu prosti brojevi (2, 3, 5, 7, 11, 13,...), u drugom su dijelu složeni brojevi (4, 6, 9, 15, 16, ...), a u trećem dijelu je broj 1 - jedini broj koji nije ni prost ni složen.

Prirodne brojeve možemo podijeliti u skupine prema djeljivosti na proste, složene i broj 1 koji nije ni prost ni složen.

Prosti brojevi imaju točno dva djelitelja, broj $1$ i samog sebe.

Složeni brojevi imaju barem tri djelitelja.

Svaki složeni broj možemo na jedinstven način rastaviti na proste faktore.

Primjer 2.

Rastavimo broj $24$ na proste faktore.

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Znamo da uzastopni umnožak istih faktora možemo zapisati potencijom.

$24 = 2^{3} \cdot 3$

Odredimo sve djelitelje broja $24$ i prebrojimo koliko ih ima.

Djelitelji su broja $24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 .$ Ima ih osam.

Proučimo zapis rastava na proste faktore broja $24$ :

$24 = 2^{3} \cdot 3 = 2^{3} \cdot 3^{1.} .$

U zapisu se pojavljuju eksponenti $3$ i $1 .$

Uvećajmo svaki od njih za jedan i pomnožimo ih:

$(3 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8.$

Primjer 3.

Odredimo koliko djelitelja ima broj $16 .$

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$

Samo je jedan eksponent u zapisu rastava, $4 + 1 = 5 .$

Broj $16$ ima $5$ djelitelja.

Ispišimo ih: $1, 2, 4, 8, 16 .$

Ako želimo odrediti broj djelitelja nekog broja, rastavimo ga na proste faktore i rastav zapišemo u obliku potencije. Svaki eksponent uvećamo za jedan i rezultate pomnožimo. Rezultat odgovara broju djelitelja.

Zadatak 11.

Odredite broj djelitelja za zadane prirodne brojeve. Pokušajte ispisati sve djelitelje.

Broj djelitelja broja $48$ je .

Postupak:

$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{4} \cdot 3^{1}$

$(4 + 1) \cdot (1 + 1) = 5 \cdot 2 = 10$
Broj djelitelja broja $60$ je .

Postupak:

$60 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1}$

$(2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$
Broj djelitelja broja $200$ je .

Postupak:

$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$
$(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$

Prebrojavanje

Primjer 4.

Poštanski su sandučići u jednom naselju zaštićeni troznamenkastim PIN-om. Koliko najviše sandučića može biti postavljeno ako svaki od njih mora imati drukčiji PIN?

Znamenke su: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 .$

Na prvo mjesto PIN-a može doći bilo koja od $10$ znamenki.
Na drugo mjesto PIN-a može doći bilo koja od $10$ znamenki.
Na treće mjesto PIN-a može doći bilo koja od $10$ znamenki.

Takvih PIN-ova ima $10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3} = 1 000 .$

U tom naselju može biti najviše $1 000$ poštanskih sandučića.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 12.

Na fotografiji je lokot za bicikl sa šifrom.

Lokot sa zaporkom za bicikl ima četiri niza koluta s brojevima od $1$ do $8 .$

Samo jedan niz daje kombinaciju koja otvara lokot.

Kolika je vjerojatnost pogađanja šifre iz prvog pokušaja?

Na raspolaganju imamo osam brojeva, od $1$ do $8 .$

Broj svih mogućnosti je $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^{4} .$

Samo je jedna zaporka ona koja otvara lokot.

Neka je:

A - događaj otvaranja lokota

P(A) je vjerojatnost da će se lokot od prve otvoriti.

$P (A) = \frac{1}{8^{4}} = 8^{- 4}$

Vjerojatnost pogađanja šifre iz prvog pokušaja iznosi

$8^{- 4} = 0.000244140625 \approx 0.024 %$

To znači da bi se trebalo izvršiti $8^{4} = 4 096$ različitih pokušaja kako bi jedan bio dobitni.

Zadatak 13.

Izračunajte i upišite rješenje.

Koliko troznamenkastih brojeva možemo napisati koristeći znamenke $1,$ $2$ i $3,$ ako se znamenke smiju ponavljati?

Postupak:

$3^{3} = 27$
Koliko dvoznamenkastih brojeva možemo napisati koristeći znamenke $3,$ $4$ i $5,$ ako se znamenke smiju ponavljati?

Pomoć:

$3^{2} = 9$
Koliko peteroznamenkastih zaporki možemo napisati koristeći brojeve $1$ i $2$ te slova $A,$ $B,$ $C$ i $D,$ ako se znakovi u zaporci smiju ponavljati?

Postupak:

$6^{5} = 7 776$
Zaporka se sastoji od $6$ znakova koji su odabrani između $8$ raspoloživih. Koliko najviše puta treba pokušati da bi se probila ta zaporka, ako se znakovi u zaporci smiju ponavljati?

Postupak:

$8^{6} = 262 144$

Zatvori

Zanimljivost

Veliki je matematičar Pierre de Fermat (17. stoljeće) tvrdio da su svi brojevi oblika $2^{2^{n}} + 1, n \in N$ prosti.

Međutim, tvrdnja je istinita samo za prvih pet brojeva.

Isto tako, veliki je matematičar Euler otkrio (tada nije bilo džepnih računala) da šesti Fermatov broj nije prost, $4 294 967 297 = 641 \cdot 6 700 417 .$

Naučeno o potencijama možete dodatno uvježbati igricama Potencije - Memory i Znanstveni - Memory.

Članak Ivice Gusića objavljen u časopisu Matka, broj $8$ (lipanj 1994.) sadrži zanimljive zadatke za vas.

Zabavite se!

Iz Rhindova papirusa
(Egipat, prije više od 3500 godina)

Jedan zadatak iz Rhindova papirusa može se shvatiti na ovaj način:

Na imanju je bilo sedam kuća. U svakoj je kući bilo sedam mačaka. Svaka mačka pojede po sedam miševa. Svaki bi miš pojeo po sedam klasova ječma.
Iz svakog bi klasa ječma izniklo po sedam pregršti ječma. Koliko su ječma mačke spasile?

U mnogih je naroda taj zadatak poprimio oblik pjesmice.
Navodimo dva takva primjera.

ENGLESKA DJEČJA BROJALICA (18. st.)

As I was going to St. Ives
I met a man with seven wives.
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks, wives,
How many were going to St. Ives?

BRANJE BRINJA

Kad sam išao brinje brati,
Kraj mene prođoše čudni svati.
Mladoženja se žalosno klimao,
Sedam je žena, jadnik imao.
Svaka je bila od njega veća,
Svaka je nosila po sedam vreća.
Vreće su bile od kozje dlake,
Sedam je mačaka mijaukalo iz svake.
I nijedna mačka nije ispala,
A svaka je po sedam mačića imala.
Mačići, mačke, vreće i žene!
Koliko nogu je prošlo kraj mene?

Na početku...

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Potencije broja 2

Zadatak 5.

Zanimljivost

Povezani sadržaji

Potencije broja 3

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 8.

Potenciranje negativnih brojeva

Zadatak 9.

Kutak za znatiželjne

Formati papira

Zadatak 10.

Kutak za znatiželjne

Potencije i djeljivost prirodnih brojeva

Zadatak 11.

Prebrojavanje

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zanimljivost

Potencije broja $2$

Potencije broja $3$