Matematika 8 - 2.4 Potencije s bazom 10 i cjelobrojnim eksponentom

Na početku...

Na slici je crtež ambrozije, prikazana je njena stabljika, list, cvat i plod/sjeme. — Ambrozija

Fotografija prikatuje pod mikroskopom uvećano zrnce peluda ambrozije. — Zrnce peluda ambrozije

Na zagrebačkom je području u kolovozu 2015. izmjerena koncentracija peludnih zrnaca ambrozije $10^{7}$ po ${km}^{3} .$ Na istom je području mjesec dana ranije izmjeren $1 000$ puta manja koncentracija peludnih zrnaca ambrozije po ${km}^{3} .$

Kolika je, izraženo potencijom, koncentracija peludnih zrnaca ambrozije izmjerena u srpnju?

Rješavanje ovog zadatka i odgovor na postavljeno pitanje ne predstavljaju vam problem!

Koncentracija je peludnih zrnaca ambrozije u srpnju 2015. godine bila $10^{7} : 10^{3} = 10^{7 - 3} = 10^{4}$ po ${km}^{3} .$

Potencije s bazom $10$ dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. Tu razliku eksponenata zapišemo u eksponent potencije s bazom $10 .$

$10^{m} : 10^{n} = 10^{m - n},$ $m, n \in N,$ $m > n$

U svim zadatcima koje ste dosad rješavali razlika je eksponenata bila pozitivna, tj. eksponent je djeljenika bio veći od eksponenta djelitelja.

No, što se događa ako djeljenik i djelitelj imaju jednake eksponente?

A što ako je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja?

Primjer 1.

Izračunajmo:

$10^{3} : 10^{3}$

$10^{6} : 10^{6}$

Podijelimo potencije s bazom $10$ i jednakim eksponentima:

$10^{3} : 10^{3} = 1 000 : 1 000 = 1$

Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja $10,$ dobit ćemo $10^{3} : 10^{3} = 10^{3 - 3} = 10^{0} .$
$10^{6} : 10^{6} = 1 000 000 : 1 000 000 = 1$

Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja $10,$ dobit ćemo $10^{6} : 10^{6} = 10^{6 - 6} = 10^{0} .$

Budući da znate da dijeljenjem broja sa samim sobom uvijek dobivamo količnik $1,$ iz ovih primjera zaključujemo da zbog $10^{3} : 10^{3} = 1 000 : 1 000 = 1$ i $10^{3} : 10^{3} = 10^{3 - 3} = 10^{0},$ odnosno zbog $10^{6} : 10^{6} = 1 000 000 : 1 000 000 = 1$ i $10^{6} : 10^{6} = 10^{6 - 6} = 10^{0}$ vrijedi $10^{0} = 1 .$

$10^{0} = 1$

Primjer 2.

Izračunajmo:

$10^{3} : 10^{4}$

$10^{3} : 10^{5}$

$10^{4} : 10^{7}$

Podijelimo sada potencije s bazom $10,$ pri čemu je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja. Učinit ćemo to na dva načina - dijeljenjem prirodnih brojeva i primjenom pravila za dijeljenje potencija s bazom $10 .$

$10^{3} : 10^{4} = 1 000 : 10 000 = \frac{1 000}{10 000} = \frac{1}{10} = 0.1$

$10^{3} : 10^{4} = 10^{3 - 4} = 10^{- 1}$
$10^{3} : 10^{5} = 1 000 : 100 000 = \frac{1 000}{100 000} = \frac{1}{100} = 0.01$

$10^{3} : 10^{5} = 10^{3 - 5} = 10^{- 2}$
$10^{4} : 10^{7} = 10 000 : 10 000 000 = \frac{10 000}{10 000 000} = \frac{1}{1 000} = 0.001$

$10^{4} : 10^{7} = 10^{4 - 7} = 10^{- 3}$

Promotrimo li dobivene rezultate, zaključujemo da vrijedi:

$10^{- 1} = \frac{1}{10} = 0.1$

$10^{- 2} = \frac{1}{100} = 0.01$

$10^{- 3} = \frac{1}{1 000} = 0.001$

Zadatak 1.

Koristeći formulu $10^{m} : 10^{n} = 10^{m - n},$ $m, n \in N,$ izračunajte:

$10^{3} : 10^{5}$
$10^{6} : 10^{9}$
$10^{7} : 10^{7}$

Rezultate izrazite u obliku potencije broja $10,$ razlomka i decimalnog broja.

$10^{3} : 10^{5} = 10^{3 - 5} = 10^{- 2} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100} = 0.01$
$10^{6} : 10^{9} = 10^{6 - 9} = 10^{- 3} = \frac{1}{10^{3}} = \frac{1}{1 000} = 0.001 $
$10^{7} : 10^{7} = 10^{7 - 7} = 10^{0} = 1$

U sljedećoj interakciji proučite način zapisivanja potencija broja $10$ s cjelobrojnim eksponentima između $- 10$ i $10$ .

Iz riješenih primjera zaključujemo da pravilo za dijeljenje potencija broja $10$ vrijedi i kada je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja.

Tada je količnik potencija s bazom $10$ i s negativnim cjelobrojnim eksponentom.

Potencija broja $10$ s negativnim cjelobrojnim eksponentomZa svaki prirodni broj $n$ vrijedi:

$10^{- n} = \frac{1}{10^{n}},$ odnosno $10^{- n} = 0 . \underset{n znamenaka}{\underset{⏟}{000 \dots 001}},$ $n \in N$

Negativni cjelobrojni eksponenti

Potenciju broja $10$ s negativnim eksponentom možemo izravno zapisati u obliku decimalnog broja. Pritom je broj decimala jednak apsolutnoj vrijednosti eksponenta potencije.

Na primjer:

$10^{- 4} = 0 . \underset{4 z n a m e n k e}{\underset{⏟}{0001}}$

$10^{- 7} = 0 . \underset{7 znamenaka}{\underset{⏟}{0000001}}$

Primjer 3.

Napišimo na papir u obliku razlomka i potencije s bazom $10 .$

$0.001$

$0.00000001$

$0.00000000001$

$0.001 = \frac{1}{1 000} = 10^{- 3}$
$0.00000001 = \frac{1}{100 000 000} = 10^{- 8}$
$0.00000000001 = \frac{1}{100 000 000 000} = 10^{- 11}$

Povezani sadržaji

Međunarodni dogovoreni izrazi za potencije broja $10.$

SI prefiksi
vrijednost	predmet	znak	vrijednost	predmet	znak
$10^{24}$	jota	$Y$	$10^{- 1}$	deci	$d$
$10^{21}$	zeta	$Z$	$10^{- 2}$	centi	$c$
$10^{18}$	eksa	$E$	$10^{- 3}$	mili	$m$
$10^{15}$	peta	$P$	$10^{- 6}$	mikro	$μ$
$10^{12}$	tera	$T$	$10^{- 9}$	nano	$n$
$10^{9}$	giga	$G$	$10^{- 12}$	piko	$p$
$10^{6}$	mega	$M$	$10^{- 15}$	femto	$f$
$10^{3}$	kilo	$k$	$10^{- 18}$	ato	$a$
$10^{2}$	hekto	$h$	$10^{- 21}$	zepto	$z$
$10^{1}$	deka	$da$	$10^{- 24}$	jokto	$y$

Pogledajte video koji pokazuje postupak računanja s potencijama broja $10 .$

Zadatak 2.

Primijenite naučeno pri rješavanju sljedećih zadataka povezujući parove različitih zapisa istih brojeva.

Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

$0.000000001$	$\frac{1}{100 000}$
$0.0001$	$\frac{1}{10 000 000}$
$0.000001$	$\frac{1}{10 000}$

null

Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

$0.0001$	$10^{- 6}$
$0.000000001$	$10^{- 4}$
$0.000001$	$10^{- 9}$

null

Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

$10^{- 8}$	$\frac{1}{10 000 000}$
$10^{- 7}$	$\frac{1}{10 000 000 000}$
$10^{- 10}$	$\frac{1}{100 000 000}$

null

Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

$10^{- 10}$	$0.0000001$
$10^{- 8}$	$0.0000000001$
$10^{- 7}$	$0.00000001$

null

...i na kraju

Naučili ste o potencijama broja $10$ s eksponentom $0$ i negativnim cjelobrojnim eksponentima. Primijenite to kako biste doznali ukupnu masu sastojaka potrebnih za pripremu finog bakinog kruha.

Recept za bakin kruh:

Pomiješajte $45 dag$ raženog i $0.35 kg$ pšeničnog brašna sa $7 g$ suhog kvasca i $1.5 dag$ praška za pecivo. Svemu dodajte $5 g$ soli, $2 dag$ šećera, $3 dl$ mlijeka, $0.2 l$ vode i $0.1 kg$ masti. Zamijesite i ostavite na toplom da se diže.

A za to vrijeme izračunajte ukupnu masu upotrijebljenih namirnica. Rezultat izrazite u kilogramima kao višekratnik potencije broja $10!$

(Masa $1$ litre mlijeka jednaka je $1.03 kg,$ a masa je $1$ litre vode $1 kg .$ )

U slast!

$45 dag = 0.45 kg = 450 \cdot 10^{- 3} kg$

$0.35 kg = 350 \cdot 10^{- 3} kg$

$7 g = 0.007 kg = 7 \cdot 10^{- 3} kg$

$1.5 dag = 0.015 kg = 15 \cdot 10^{- 3} kg$

$5 g = 0.005 kg = 5 \cdot 10^{- 3} kg$

$2 dag = 0.02 kg = 20 \cdot 10^{- 3} kg$

$3 dl = 0.3 l = 0.3 \cdot 1.03 kg = 0.309 kg = 309 \cdot 10^{- 3} kg$

$0.2 l = 0.2 \cdot 1 kg = 0.2 kg = 200 \cdot 10^{- 3} kg$

$0.1 kg = 100 \cdot 10^{- 3} kg$

Ukupna je masa svih namirnica $1 456 \cdot 10^{- 3} kg .$

$0.00001$	$10^{- 5}$
$\frac{1}{100}$	$10^{- 2}$
$\frac{1}{1000}$	$10^{- 3}$
$0.00001$	$10^{- 6}$

2.4 Potencije s bazom 10 i cjelobrojnim eksponentom

Na početku...

Zadatak 1.

Negativni cjelobrojni eksponenti

Povezani sadržaji

Zadatak 2.

Mjerne jedinice

Zadatak 3.

Zanimljivost

Zadatak 4.

Kutak za znatiželjne

Potencije s bazom različitom od $10$

Zanimljivost

Zadatak 5.

...i na kraju

2.5 Zbrajanje i oduzimanje potencija s bazom 10

Na početku...

Zadatak 1.

Negativni cjelobrojni eksponenti

Povezani sadržaji

Zadatak 2.

Mjerne jedinice

Zadatak 3.

Zanimljivost

Zadatak 4.

Kutak za znatiželjne

Potencije s bazom različitom od 10

Zanimljivost

Zadatak 5.

...i na kraju

2.5 Zbrajanje i oduzimanje potencija s bazom 10

Potencije s bazom različitom od $10$