Na zagrebačkom je području u kolovozu 2015. izmjerena koncentracija peludnih zrnaca ambrozije 107po km3. Na istom je području mjesec dana ranije izmjeren 1000 puta manja koncentracija peludnih zrnaca ambrozije po km3.
Kolika je, izraženo potencijom, koncentracija peludnih zrnaca ambrozije izmjerena u srpnju?
Rješavanje ovog zadatka i odgovor na postavljeno pitanje ne predstavljaju vam problem!
Koncentracija je peludnih zrnaca ambrozije u srpnju 2015. godine bila 107:103=107-3=104 po km3.
Potencije s bazom 10 dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. Tu razliku eksponenata zapišemo u eksponent potencije s bazom 10.
10m:10n=10m-n, m,n∈N, m>n
U svim zadatcima koje ste dosad rješavali razlika je eksponenata bila pozitivna, tj. eksponent je djeljenika bio veći od eksponenta djelitelja.
No, što se događa ako djeljenik i djelitelj imaju jednake eksponente?
A što ako je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja?
Primjer 1.
Izračunajmo:
- 103:103
- 106:106
Podijelimo potencije s bazom 10 i jednakim eksponentima:
103:103=1000:1000=1
Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja
10, dobit ćemo
103:103=103-3=100.
106:106=1000000:1000000=1
Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja 10, dobit ćemo 106:106=106-6=100.
Budući da znate da dijeljenjem broja sa samim sobom uvijek dobivamo količnik 1, iz ovih primjera zaključujemo da zbog 103:103=1000:1000=1 i 103:103=103-3=100, odnosno zbog 106:106=1000000:1000000=1 i 106:106=106-6=100 vrijedi 100=1.
100=1
Primjer 2.
Izračunajmo:
- 103:104
- 103:105
- 104:107
Podijelimo sada potencije s bazom 10, pri čemu je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja. Učinit ćemo to na dva načina - dijeljenjem prirodnih brojeva i primjenom pravila za dijeljenje potencija s bazom 10.
103
Promotrimo li dobivene rezultate, zaključujemo da vrijedi:
Koristeći formulu izračunajte:
Rezultate izrazite u obliku potencije broja
razlomka i decimalnog broja.
U sljedećoj interakciji proučite način zapisivanja potencija broja
s cjelobrojnim eksponentima između
i
.
Iz riješenih primjera zaključujemo da pravilo za dijeljenje potencija broja
vrijedi i kada je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja.
Tada je količnik potencija s bazom
i s negativnim cjelobrojnim eksponentom.
Potencija broja s negativnim cjelobrojnim eksponentomZa svaki prirodni broj vrijedi:
odnosno
Potenciju broja s negativnim eksponentom možemo izravno zapisati u obliku decimalnog broja. Pritom je broj decimala jednak apsolutnoj vrijednosti eksponenta potencije.
Na primjer:
Primjer 3.
Napišimo na papir u obliku razlomka i potencije s bazom
Međunarodni dogovoreni izrazi za potencije broja
SI prefiksi | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
vrijednost | predmet | znak | vrijednost | predmet | znak | |
jota | deci | |||||
zeta | centi | |||||
eksa | mili | |||||
peta | mikro | |||||
tera | nano | |||||
giga | piko | |||||
mega | femto | |||||
kilo | ato | |||||
hekto | zepto | |||||
deka | jokto |
Pogledajte video koji pokazuje postupak računanja s potencijama broja
Primijenite naučeno pri rješavanju sljedećih zadataka povezujući parove različitih zapisa istih brojeva.
Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.
|
|
|
|
|
|
Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.
|
|
|
|
|
|
Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.
|
|
|
|
|
|
Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.
|
|
|
|
|
|
Prije rješavanja sljedećih zadataka možete pogledati video Antonije Horvatek o pretvaranju mjernih jedinica.
Primijenite naučeno o potencijama na mjerne jedinice.
O vezi između kubičnih i litrenih mjernih jedinica pogledajte video Antonije Horvatek.
Ako želite utvrditi i provjeriti svoje znanje, riješite još nekoliko zadataka.
Broj zapisan u obliku potencije broja je:
Pomoć:
Eksponent potencije jednak je broju nula u zapisu dekadske jedinice.
Dovucite zapise brojeva na njihove jednakosti.
|
|
|
|
|
|
|
Potenciji broja
pridružite odgovarajući decimalni ili razlomački zapis.
|
|
|
|
|
|
|
|
Poredajte po veličini, počevši od najmanjeg prema najvećem, brojeve:
Pomoć:
Brojeve zapiši u istom obliku!
Ogrlica izrađena od srebra ima masu
Zadana masa u decimalnom zapisu iznosi:
Valna duljina zelene svjetlosti iznosi
Valna je duljina zelene svjetlosti u decimalnom zapisu:
Masa je virusa gripe
Masa virusa gripe zapisana u obliku umnoška decimalnog broja većeg od
a manjeg od
i potencije broja
je
Pomoć:
Masa je
Potencirati možemo i brojeve s bazom različitom od broja Pritom je -ta potencija racionalnog broja definirana kao umnožak faktora od kojih su svi jednaki broju .
Ako je onda je:
i
Na primjer:
Primijenite to na sljedećim zadatcima:
Postupak:
Postupak:
Postupak:
Izraz jednak je:
Izraz jednak je:
Naučili ste o potencijama broja s eksponentom i negativnim cjelobrojnim eksponentima. Primijenite to kako biste doznali ukupnu masu sastojaka potrebnih za pripremu finog bakinog kruha.
Recept za bakin kruh:
Pomiješajte raženog i pšeničnog brašna sa suhog kvasca i praška za pecivo. Svemu dodajte soli, šećera, mlijeka, vode i masti. Zamijesite i ostavite na toplom da se diže.
A za to vrijeme izračunajte ukupnu masu upotrijebljenih namirnica. Rezultat izrazite u kilogramima kao višekratnik potencije broja
(Masa litre mlijeka jednaka je a masa je litre vode )
U slast!
Ukupna je masa svih namirnica