Processing math: 11%
x
Učitavanje

2.4 Potencije s bazom 10 i cjelobrojnim eksponentom

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na zagrebačkom je području u kolovozu 2015. izmjerena koncentracija peludnih zrnaca ambrozije 107po km3. Na istom je području mjesec dana ranije izmjeren 1000 puta manja koncentracija peludnih zrnaca ambrozije po km3.

Kolika je, izraženo potencijom, koncentracija peludnih zrnaca ambrozije izmjerena u srpnju?

Rješavanje ovog zadatka i odgovor na postavljeno pitanje ne predstavljaju vam problem!

Koncentracija je peludnih zrnaca ambrozije u srpnju 2015. godine bila 107:103=107-3=104 po km3.

Potencije s bazom 10 dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. Tu razliku eksponenata zapišemo u eksponent potencije s bazom 10.

10m:10n=10m-n, m,nN, m>n 

U svim zadatcima koje ste dosad rješavali razlika je eksponenata bila pozitivna, tj. eksponent je djeljenika bio veći od eksponenta djelitelja.

No, što se događa ako djeljenik i djelitelj imaju jednake eksponente?

A što ako je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja?

Primjer 1.

Izračunajmo:

  1. 103:103
  2. 106:106

Podijelimo potencije s bazom 10 i jednakim eksponentima:

  1. 103:103=1000:1000=1

    Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja 10, dobit ćemo 103:103=103-3=100.

  2. 106:106=1000000:1000000=1

    Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja 10, dobit ćemo 106:106=106-6=100.

    Budući da znate da dijeljenjem broja sa samim sobom uvijek dobivamo količnik 1, iz ovih primjera zaključujemo da zbog 103:103=1000:1000=1 i 103:103=103-3=100, odnosno zbog 106:106=1000000:1000000=1 i 106:106=106-6=100 vrijedi 100=1.


100=1

Primjer 2.

Izračunajmo:

  1. 103:104
  2. 103:105
  3. 104:107

Podijelimo sada potencije s bazom 10, pri čemu je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja. Učinit ćemo to na dva načina - dijeljenjem prirodnih brojeva i primjenom pravila za dijeljenje potencija s bazom 10.

  1. 103 

    10 3 : 10 4 = 10 3 - 4 = 10 - 1

  2. 10 3 : 10 5 = 1 000 : 100 000 = 1 000 100 000 = 1 100 = 0.01

    10 3 : 10 5 = 10 3 - 5 = 10 - 2

  3. 10 4 : 10 7 = 10 000 : 10 000 000 = 10 000 10 000 000 = 1 1 000 = 0.001

    10 4 : 10 7 = 10 4 - 7 = 10 - 3


Promotrimo li dobivene rezultate, zaključujemo da vrijedi:

10 - 1 = 1 10 = 0.1  

10 - 2 = 1 100 = 0.01  

10 - 3 = 1 1 000 = 0.001  

Zadatak 1.

Koristeći formulu 10 m : 10 n = 10 m - n , m , n N , izračunajte:

  1. 10 3 : 10 5
  2. 10 6 : 10 9
  3. 10 7 : 10 7

Rezultate izrazite u obliku potencije broja 10 , razlomka i decimalnog broja.

  1. 10 3 : 10 5 = 10 3 - 5 = 10 - 2 = 1 10 2 = 1 100 = 0.01
  2. 10 6 : 10 9 = 10 6 - 9 = 10 - 3 = 1 10 3 = 1 1 000 = 0.001
  3. 10 7 : 10 7 = 10 7 - 7 = 10 0 = 1

U sljedećoj interakciji proučite način zapisivanja potencija broja 10 s cjelobrojnim eksponentima između - 10 i 10 .

Povećaj ili smanji interakciju

Iz riješenih primjera zaključujemo da pravilo za dijeljenje potencija broja 10 vrijedi i kada je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja.

Tada je količnik potencija s bazom 10 i s negativnim cjelobrojnim eksponentom.

Potencija broja 10 s negativnim cjelobrojnim eksponentomZa svaki prirodni broj n vrijedi:

10 - n = 1 10 n , odnosno 10 - n = 0 . 000 001 n znamenaka , n N

Negativni cjelobrojni eksponenti

Potenciju broja 10 s negativnim eksponentom možemo izravno zapisati u obliku decimalnog broja. Pritom je broj decimala jednak apsolutnoj vrijednosti eksponenta potencije.

Na primjer:

10 - 4 = 0 . 0001 4   z n a m e n k e

10 - 7 = 0 . 0000001 7   znamenaka

Primjer 3.

Napišimo na papir u obliku razlomka i potencije s bazom 10 .

  1. 0.001
  2. 0.00000001
  3. 0.00000000001
  1. 0.001 = 1 1 000 = 10 - 3
  2. 0.00000001 = 1 100 000 000 = 10 - 8
  3. 0.00000000001 = 1 100 000 000 000   = 10 - 11

Povezani sadržaji

Međunarodni dogovoreni izrazi za potencije broja 10.

SI prefiksi
vrijednost predmet znak vrijednost predmet znak
10 24 jota Y 10 - 1 deci d
10 21 zeta Z 10 - 2 centi c
10 18 eksa E 10 - 3 mili m
10 15 peta P 10 - 6 mikro μ
10 12 tera T 10 - 9 nano n
10 9 giga G 10 - 12 piko p
10 6 mega M 10 - 15 femto f
10 3 kilo k 10 - 18 ato a
10 2 hekto h 10 - 21 zepto z
10 1 deka da 10 - 24 jokto y

Pogledajte video koji pokazuje postupak računanja s potencijama broja 10 .

Zadatak 2.

Primijenite naučeno pri rješavanju sljedećih zadataka povezujući parove različitih zapisa istih brojeva.

  1. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    0.000001
    1 100 000   ​
    0.0001
    1 10 000 000   ​
    0.000000001
    1 10 000   ​
    null
    null
  2. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    0.000001
    10 - 6
    0.000000001
    10 - 4
    0.0001
    10 - 9
    null
    null
  3. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    10 - 10
    1 10 000 000
    10 - 7
      1 10 000 000 000
    10 - 8
    1 100 000 000
    null
    null
  4. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    10 - 7
    0.0000001
    10 - 8  
    0.0000000001
    10 - 10
    0.00000001
    null
    null

Mjerne jedinice

Prije rješavanja sljedećih zadataka možete pogledati video Antonije Horvatek o pretvaranju mjernih jedinica.

Zadatak 3.

Primijenite naučeno o potencijama na mjerne jedinice.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. 1 cm =

    null
    null
  2. 1 mm =

    null
    null
  3. 1 dm =

    null
    null
  4. 1 cm =

    null
    null
  5. 1 g =

    null
    null
  6. 1 dag =  

    null
    null
  7. 1 kg =

    null
    null

Zanimljivost

O vezi između kubičnih i litrenih mjernih jedinica pogledajte video Antonije Horvatek.

U sljedećoj interakciji uvježbajte množenje i dijeljenje potencija broja 10 , odnosno računanje s potencijama baze 10 .
Povećaj ili smanji interakciju
Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Ako želite utvrditi i provjeriti svoje znanje, riješite još nekoliko zadataka.

  1. Broj 10 000 000 000 zapisan u obliku potencije broja 10 je:

    Pomoć:

    Eksponent potencije jednak je broju nula u zapisu dekadske jedinice.

    null
  2. Dovucite zapise brojeva na njihove jednakosti.

    0.00001
    10 - 5
    1 1000
    10 - 2
    1 100
    10 - 3
    0.00001
    10 - 6
    null
  3. Potenciji broja 10 pridružite odgovarajući decimalni ili razlomački zapis.

    10 - 4
    0.0000000001
    10 - 1
      1 10
    10 - 7
    1 10 000 000
    10 - 10
    0.0001
    null
  4. 10 - 8 =

    null
  5. Poredajte po veličini, počevši od najmanjeg prema najvećem, brojeve:

    • 10 - 5
    • 10 0
    • 1 10 7
    • 0.001
    • 1 10

    Pomoć:

    Brojeve zapiši u istom obliku!

     

  6. Ogrlica izrađena od srebra ima masu 4.5 · 10 - 4 kg . Zadana masa u decimalnom zapisu iznosi:

    null
  7. Valna duljina zelene svjetlosti iznosi 5.5 · 10 - 7 m . Valna je duljina zelene svjetlosti u decimalnom zapisu:

    null
  8. Masa je virusa gripe 0.000000000000707 g . Masa virusa gripe zapisana u obliku umnoška decimalnog broja većeg od 1 , a manjeg od​ 10 i potencije broja 10 je 7.07 · 10 15 g .

    Pomoć:

    Masa je 7.07 · 10 - 15 g .

    null
  9. Gljiva poslije kiše raste brzinom 0.0000799 m/s .
    Brzina rasta gljive poslije kiše u obliku umnoška decimalnog broja većeg od nule i manjeg od 10 i potencije broja 10 je 7.99 · 10 - 5 m/s.

    null

Kutak za znatiželjne

Potencirati možemo i brojeve s bazom a   različitom od broja 10 . Pritom je n -ta potencija racionalnog broja a definirana kao umnožak n faktora od kojih su svi jednaki broju a .​

a n = a · a · a · . . . · a n faktora  

Potencije s bazom različitom od 10

Zanimljivost

Ako je a Q , a 0 , onda je:

a 0 = 1  

a - 1 = 1 a i

a - n = 1 a n

Na primjer:

3 5 - 1 = 5 3  

2 3 - 2 = 3 2 2 = 9 4  

0.04 - 3 = 4 100 - 3 = 100 4 3 = 25 3 = 15 625 .

Zadatak 5.

Primijenite to na sljedećim zadatcima:

  1. 4 0 + 6 0 =   

    Postupak:

    4 0 + 6 0 = 1 + 1 = 2  

  2. 4 + 6 0 =  

     

    Postupak:

    4 + 6 0 = 10 0 = 1

  3. 2 3 0 =

  4. 2 0 3 =

     

  5. 2 5 - 2 = 4 25 ?

    Postupak:

    2 5 - 2 = 5 2 2 = 25 4

  6. 3 5 3 =  

    null
  7. - 5 2 - 2 =  

    null
    null
  8. Izraz - 0.1 - 4 jednak je:​

    null
  9. Izraz 1 - 5 4 2 jednak je:​

    null
    null

...i na kraju

Naučili ste o potencijama broja 10 s eksponentom 0 i negativnim cjelobrojnim eksponentima. Primijenite to kako biste doznali ukupnu masu sastojaka potrebnih za pripremu finog bakinog kruha.

Recept za bakin kruh:

Pomiješajte 45 dag raženog i 0.35 kg pšeničnog brašna sa 7 g suhog kvasca i 1.5 dag praška za pecivo. Svemu dodajte 5 g soli, 2 dag šećera, 3 dl mlijeka, 0.2 l vode i 0.1 kg   masti. Zamijesite i ostavite na toplom da se diže.

A za to vrijeme izračunajte ukupnu masu upotrijebljenih namirnica. Rezultat izrazite u kilogramima kao višekratnik potencije broja 10 !

(Masa 1 litre mlijeka jednaka je 1.03 kg , a masa je 1 litre vode 1 kg . )

U slast!

45 dag = 0.45 kg = 450 · 10 - 3 kg

0.35 kg = 350 · 10 - 3 kg

7 g = 0.007 kg = 7 · 10 - 3 kg

1.5 dag = 0.015 kg = 15 · 10 - 3 kg

5 g = 0.005 kg = 5 · 10 - 3 kg

2 dag = 0.02 kg = 20 · 10 - 3 kg

3 dl = 0.3 l = 0.3 · 1.03 kg = 0.309 kg = 309 · 10 - 3 kg

0.2 l = 0.2 · 1 kg = 0.2 kg = 200 · 10 - 3 kg

0.1 kg = 100 · 10 - 3 kg

Ukupna je masa svih namirnica 1 456 · 10 - 3 kg .

Idemo na sljedeću jedinicu

2.5 Zbrajanje i oduzimanje potencija s bazom 10